(6.10)--扭转材料力学材料力学.doc

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1、3-1 扭转的概念和实例一、工程实例：以扭转为主要变形的构件称为轴，如攻丝的丝锥，桥式起重机的传动轴。二、扭转特点：1受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。2变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动；角位移称为扭转角，其物理意义是用来衡量扭转程度的。杆件在外力作用下，其横截面上只有扭矩一个内力分量。这种受力形式称为扭转。3-2 扭矩 扭矩图在研究扭转构件的强度和刚度问题时，先计算出作用在构件上的外力偶矩及横截面上的内力。1外力偶矩的计算通常外力偶矩不是直接给出的，而是给出所输入功率。由于1kW=1000Nm/s，千瓦的功率相当于每分钟作功，单位

2、为Nm；而外力偶在每分钟内所作的功为 （Nm）由于二者作的功应该相等，则有所以（Nm） （4-1）式中：输入功率（千瓦，kW） 轴转速（r/min）如果输入功率以马力计算，由于1马力=735.5 Nm/s，则个马力所以（Nm） （4-2）式中：输入功率（马力） 轴转速（I/min）2扭矩求出作用在构件上的所有外力偶矩后，由图4-4知，从而得所以称为截面nn上的扭矩；扭矩的正负号规定为：矢量离开截面为正，反之为负。例 传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。试画出轴的扭矩图。解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩现在用截面法，根据平衡

3、方程计算各段内的扭矩。在BC段内，由平衡方程得在CA段内，得 在AD段内（图4-5d），根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况用图4-5e表示出来，就是扭矩图。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。并规定：任一横截面上的扭矩，其扭矩矢量（右螺旋）与横截面外法线法向一致者为正，反之为负。从图中看出，最大扭矩发生于CA段内，且。对同一根轴，若把主动轮A安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩是：。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然图4-5所示布局比较合理。3-3纯剪切1以薄壁圆筒的扭

4、转来研究纯剪切1）实验现象：薄壁圆筒的外表面上画有一些纵向直线和横向圆周线，如图4-7a所示，使筒在两端垂直于轴线的平面内受到大小相等而转向相反的外力偶的作用，扭转后方格由矩形变成平行四边形，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。2）现象表明：当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上便只有切于截面的剪应力，因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变。3）纯剪切：是横截面上只有剪应力，而没有正应力。4）薄壁圆筒横截面剪应力：如图4-7c所示截面部分的平衡方程，得2剪应力互等定理如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的一块厚度为的单元体，它的宽度和高度分别为，。当薄壁圆筒

5、受扭时，此单元体的左、右侧面上有剪应力，因此在这两个侧面上有剪力，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为。为保持平衡，此单元体的上、下侧面上有剪应力，并组成力偶与力偶平衡。对整个单元体，由得所以 （4-3）上式表明，一对相互垂直的平面，剪应力大小相等，垂直交线，方向共同指向或共同背离交线。这是剪应力互等定理。3剪切胡克定律1）剪应变：纯剪切单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，称为剪切应变或角应变。若为圆筒两端的相对扭转角，为圆筒的长度，则剪应变为 （4-4）2）剪切胡克定律：纯剪切试验结果表明，在弹性范围内，剪应变与剪应

6、力成正比，即 （4-5）式（4-5）为剪切胡克定律；称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。对各向同性材料有三者的关系 （4-6）4剪切变形能1）剪力所作的功：若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体，如图4-8，作用在单元体左、右侧面上的剪力由零逐渐增至，左、右侧面相对错动量由零增至。因此剪力所作的功为等于单元体内储存的变形能，故 （4-7）2）剪切变形能：单位体积内的剪切变形能为当剪应力在剪切比例极限以内时，剪应力与剪应变成正比，有根据剪切胡克定律，最终得 （4-8）3-4 圆轴扭转时的应力和强度条件一、实验现象：如图4-9二、平面假设：圆轴扭转变形前后都保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线

7、；且相邻两截面间的距离不变，如图4-9。三、理论分析：1变形几何关系取一楔形体如图4-9b所示，直角角度发生改变，改变量为 （1）是圆截面边缘上a点剪应变，显然，发生在垂直于半径Oa的平面内。根据平面假设，距圆心为处的剪应变为 （2）也同样发生于垂直于半径Oa的平面内。由式（2）表明，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离成正比，即当；当。2物理关系由剪切胡克定理和式（2）得 （3）这表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，即当；当，取最大值。由剪应力互等定理，则在纵向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图4-10。3静力平衡关系图4-11表明在横截面内，有，截面上的扭矩，由，得

8、令 （4-9）为几何量，只与横截面的尺寸有关，称为横截面图形对圆心点的极惯性矩；单位为m4或cm4。则所以 （4-10）由（3）式知，所以 （4-11）则在圆截面边缘上，为最大值时，得最大剪应力为 （4-12）令 称为截面系数，单位为m3或cm3。所以式（4-12）又可写成 （4-13）上述公式适用范围：符合剪切胡克定律，且为圆轴（实心，空心）。四. 、计算对实心圆轴 （4-15）对空心圆轴 （4-16）令五、扭转强度条件： （4-14）例 一轴AB传递的功率为，转速。轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，如图4-12所示。已知，。试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘处

9、的剪应力。解：（1）计算扭矩，轴所受的外力偶矩为由截面法，各横截面上的扭矩均为（2）计算极惯性矩，AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为 （3）计算应力，AC段轴在横截面边缘处的剪应力为CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件一、扭转变形的标志为扭转角：扭转角是指两个横截面绕轴线的相对转角。由知所以（rad） （4-17）式中称为圆轴的抗扭刚度，定义为剪切模量与极惯性矩乘积。越大，扭转变形越小，则扭转角越小。为了消除的影响，引入单位长度扭转角，且（rad/m）二、扭转的刚度条件： （rad/m） （4-18）在工程上 （/m） （4-19）例 如图，传动轴r/

10、min，马力，马力，马力，已知MPa，/m，GPa。求（1）确定AB段，BC段直径。（2）轴改为外径 mm，的空心轴，比较两轴重量之比。解：（1）1）计算外力偶矩（Nm）（Nm）（Nm）作扭矩图，如图4-13b所示。2）计算直径AB段：由扭转强度条件，所以（mm）由扭转刚度条件 （mm） 取（mm）BC段：同理，由扭转强度条件得（mm） 由扭转刚度条件得（mm） 取（mm）（2）外径 mm，则内径 （mm）则由于材料长度相同，所以空轴的重量为实轴重量的36%。例 如图4-14，已知KNm，MPa，试绘扭矩图。解：此题属于一次超静定。（1）静力方程，由得所以 （1）（2）变形几何方程解除B端约束

11、，则有 （2） （3）物理方程， （3）式（3）代入式（2）得补充方程即得 (4）又所以假设的方向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示，由图可知CD段为危险段。3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形图4-15是一条螺旋弹簧，当螺旋角时，簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内上，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。1弹簧丝横截面上的应力根据平衡方程，以簧丝的任意横截面取出上部分为研究对象，如图4-15，剪力，扭矩。由引起的剪应力，而且认为均匀分布于横截面上（图4-15）；由引起的剪应力 所以得到近似式 （4-20）和精确式 （4-21）式中：称为曲度系数（）， （4-22） ，称为弹簧指数，当时，使用（4

12、-21） 当时，使用（4-22）簧丝的强度条件是 （4-23）式中：弹簧材料许用应力2. 弹簧的变形弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量，就是弹簧的变形，如图4-16，由于在簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为 （1）则其单位体积的变形能是 （2）弹簧的变形能应为 （3）其中积分式（3）得 （4）由，则得到 （4-24）式中是弹簧圈的平均半径。若引入记号则式（4-16）可写成 （4-25）代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。越大则越小。例3-5 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝横截面直径，有效圈数。材料的，。弹簧工作时总压缩变形（包括预压变形）为。试校核

13、弹簧的强度。解：由公式求出弹簧所受压力P为由R及d求出由表查出弹簧的曲度系数k的值为1.17，故弹簧满足强度要求。3-7 非圆截面杆扭转的概念受扭转的杆件除圆形截面外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17。1矩形截面杆扭转可分为约束扭转和自由扭转。杆件受外力作用发生变形，在变形前后其横截面将由平面变为曲面，这种现象称截面翘曲。扭转时，各截面可以自由翘曲，横截面上只有剪应力没有正应力的扭转，称为自由扭转。1）边缘各点的剪应力与周边相切，形成环力流。2）整个横截面上发生在矩形长边中点处，公式为： （4-26）3）四角点处剪应力。 杆件两端相对扭转角为 （4-27）与有关系。当时，

14、截面成为狭长矩形截面，若以表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为 （4-28）例3-6 某柴油机曲轴的曲柄截面可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若，已知曲柄所受扭矩为，试求这一矩形截面上的最大剪应力。解：由截面的尺寸求得查表，并利用插入法，求出于是得3-8 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸（高和宽）。若杆件的截面中线是一条封闭的折线或曲线，如图4-19，则称为开口薄壁杆件。1开口薄壁杆件的自由扭转若以表示开口薄壁杆件整个截面的扭转角；表示整个截面上的扭矩，则可以得到 （4-29）其中引入记号2闭口薄壁杆件此处讨论闭口薄壁杆件自由扭转的变形。最终可得到横截面上一点处的剪应力为扭转角为式中：截面中线围成面积 截面中线长度 杆件的壁厚例3-7 如图4-20，比较开口、闭口薄壁杆件的环应力和变形。设两杆具有相同的平均半径和壁厚。解：（1）计算开口薄壁杆件的应力和变形时，可把环形展直，作为狭长矩形。此时矩形的长边为，宽为，于是 （）（2）闭口薄壁杆件截面的和分别是，其应力和变形是（3）比较，通过比较发现，开口薄壁杆件的应力和变形都远大于同样情况下的闭口薄壁杆件。