(6.11)--组合变形材料力学.doc

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1、10-1 概述1构件的受力情况分为基本受力（或基本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转，平面弯曲,剪切）和组合受力（或组合变形）形式。组合变形由两种以上基本变形形式组成。2处理组合变形构件的内力、应力和变形（位移）问题时，可以运用基于叠加原理的叠加法。叠加原理：如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。说明：保证上述线性关系的条件是线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证

2、与加载次序无关。如10-1a图所示纵横弯曲问题，横截面上内力（图10-1b）为N=P，M(x)=。可见当挠度（变形）较大时，弯矩中与挠度有关的附加弯矩不能略去。虽然梁是线弹性的，弯矩、挠度与P的关系却仍为非线性的，因而不能用叠加法。除非梁的刚度较大，挠度很小，轴力引起的附加弯矩可略去。10-2两个互相垂直平面内的弯曲图10-2(a)所示构件具有两个对称面（y，z为对称轴），横向载荷P通过截面形心与y轴成a夹角，现按叠加法写出求解梁内最大弯曲正应力的解法与步骤：根据圣维南原理，将截荷按基本变形加载条件进行静力等效处理，现将P沿横截面对称轴分解为Py、Pz，则有，（图a）得到相应的几种基本变形形式

3、，分别计算可能危险点上的应力。现分别按两个平面弯曲（图b，c）计算。Py，Pz在危险面（固定端）处分别有弯矩：，（图d）。My作用下产生以y轴为中性轴的平面弯曲，bd与ac边上分别产生最大拉应力与最大压应力(a)Mz作用下产生以z轴为中性轴的平面弯曲,ab与cd边上分别产生最大拉应力与最大压应力(b)由叠加法得组合变形情况下，亦即原载荷作用下危险点的应力。现可求得Py，Pz共同作用下危险点（b、c点）弯曲正应力（同一点同一微面上的正应力代数相加） (10-1)上述横向载荷P构成的弯曲区别于平面弯曲，称斜弯曲。它有以下两个特点：构件的轴线变形后不再是载荷作用平面内的平面曲线，而是一条空向曲线；横

4、截面内中性轴不再与载荷作用线垂直；或中性轴不再与弯矩矢量重合（如为实心构件）。如图10-2(e)所示，横截面上任意点m（y，z）的正应力为 (10-2)根据中性轴定义，令s=0，即得中性轴位置表达式当，；现为矩形（hb），则。形成斜弯曲，中性轴与M矢量不重合。当（如图10-2中为圆截面），即载荷通过截面形心任意方向均形成平面弯曲，若圆截面直径为D，则有 (10-3)10-3中心拉伸或压缩与弯曲的组合以图10-3a所示偏心压缩问题为例1求危险点应力可以用上述载荷处理法，将作用于点F（yp，zp）的偏心载荷P向构件轴线（或端面形心O）平移，得到相应于中心压缩和两个平面弯曲的外载荷。现直接用截面法（

5、内力处理法）。如图10-3b所示，端面上偏心压缩力P在横截面上产生的内力分量为N=P，My=PZp，Mz=Pyp在该横截面上任意点m（y，z）的正应力为压应力和两个平面弯曲（分别绕y和z轴）正应力的叠加： (10-4)a点有最大压应力，b点有最大拉应力 (10-5)其中，2中性轴位置和截面核心让式（10-4）中，并定义截面惯性半径，。设中性轴上任意点坐标为yo，zo。则由式（10-4）得 （10-6）这是一不通过形心O的中性轴方程（直线方程）。它在y轴和z轴上截距分别为， (10-7)对于混凝土、大理石等抗拉能力比抗压能力小得多的材料，设计时不希望偏心压缩在构件中产生拉应力。满足这一条件的压缩

6、载荷的偏心距yp，zp应控制在横截面中一定范围内（使中性轴不会与截面相割，最多只能与截面周线相切或重合），由式（10-7）有， (10-8)横截面上存在的这一范围称为截面核心，它由式（10-8）的偏心距轨迹线围成。式中yot，zot现为横截面周边（轮廓线）上一点的坐标。例10-1 短柱的截面为矩形，尺寸为（图10-4a）。试确定截面核心。解：对称轴y，z即为截面图形的形心主惯性轴，。设中性轴与AB边重合，则它在坐标轴上截距为，于是偏心压力P的偏心距为 ，即图10-4a中的a点。同理若中性轴为BC边，相应为b点，b(0 ,)。余类推，由于中性轴方程为直线方程，最后可得图10-4a中矩形截面的截面

7、核心为abcd（阴影线所示）。例10-2 读者可证图10-4b所示半径为r的圆截面短柱，其截面核心为半径为的图形。10-4扭转与弯曲的组合1圆截面杆件设图10-5a所示为圆截面杆横截面上分别作用有弯矩My，Mz和扭矩T。对圆截面，通过圆心（形心）的任意方向的轴均为对称轴，因而合力矩作用轴即中性轴，因而M作用下圆轴产生平面弯曲，分布如图a，在扭矩T作用下圆轴产生剪应力，分布如图b，分别为， （a）危险点应力状态如图c所示，主应力为， （b）对塑性材料，可选用第三和第四强度理论，考虑式（b）后 （c） （d）对直径为d的圆截面，有，考虑式（a）后式（c）与（d）分别有2矩形截面杆设图10-6a和b

8、所示为矩形截面上作用有弯矩My，Mz和扭矩T。对矩形截面（），My，Mz分别形成以y轴和z轴为中性轴的平面弯曲，弯曲正应力分布如图a所示。扭矩T在矩形截面上形成的扭转剪应力分布如图b所示。综合考虑弯曲正应力和扭转剪应力的分布情况，可以选出危险点a、b、c，其应力状态如图c所示。a点具有正应力最大值b点具有和，c点具有和，对塑性材料，a点的强度条件为对b，c点可选择第三或第四强度理论，如选第三强度理论，可比较和，较大者应满足例10-3 齿轮轴AB如图10-7a所示。已知轴的转速n=265r/min，输入功率N=10kw，两齿轮节圆直径D1=396mm，D2=168mm，压力角，轴的直径d=50m

9、m，材料为45号钢，许用应力。试校核轴的强度。解：（1）轴的外力分析：将啮合力分解为切向力与径向力，并向齿轮中心（轴线上）平移。考虑轴承约束力后得轴的受力图如图10-7b所示。由得由扭转力偶计算相应切向力，径向力，轴上铅垂面内的作用力P1y、P2y，约束力YA，YB构成铅垂面内的平面弯曲，由平衡条件和可求得YA=1664N，NB=3300N由平衡条件校核所求约束力的正确性N，N轴上水平面内的作用力P1Z、P2Z，约束力ZA、ZB构成水平面内的平面弯曲，由平衡条件和，可求得 ， 由平衡条件校核所求约束力的正确性N，N（2）作内力图：分别作轴的扭矩图T图（图10-7c），铅垂面内外力引起的轴的弯矩

10、图Mz图，水平面外力引起的轴的弯矩图My图（图10-7d）（3）作强度校核：由弯矩图及扭矩图确定可能危险面为C（右）面和D（左）面。比较可知D面更危险。对塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论作强度校核第三 第四 例10-4 图10-8a所示曲轴的尺寸为r，。连杆轴颈直径d1=50mm，主轴颈直径d=60mm。曲柄截面III-III的尺寸为b=22mm，h=102mm。作用于曲轴上的力如图10-8b所示：连杆轴颈上的力P=32KN，F=17KN，曲柄惯性力C=3KN，平衡重惯性力C1=7KN。曲轴材料为碳钢，。试校核曲柄的强度。解：（1）求约束力和扭转力偶：由平衡条件可求得（见图10-8b）（2）连杆轴颈强度校核：危险面在中间截面I-I处。在xy和xz平面内分别有弯矩扭距为如果用第四强度理论校核（3）主轴颈的强度校核：危险面为主轴颈与曲轴联接处II-II截面。此处有内力分量 强度校核（4）曲柄的强度校核：危险面为切于主轴颈的曲柄横截面III-III截面（见图10-8c）。其内力分量分别有轴力N，扭转T，弯矩Mx、Mz，剪力Qz由于危险面为矩形截面，从与多内力分量相应的应力分布可知危险点为A，B点。A点为单向应力状态B点应力状态如图10-8d所示现计算扭矩T引起的B点剪应力（即最大扭转剪应力）。由，查表，利用插入法得。则剪力Qz引起剪应力采用第四强度理论，得