(6.5)--应力状态材料力学.doc

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1、7-1 应力状态概述一、应力状态基本概念：1点的应力与位置：凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。一点处的应力状态: 是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。单元体: 一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,

2、b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。特点： 根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布；相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。2）定义：正应力取极值的面（或剪应力为零的面）为主平面，主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：，故也称平面应力状态为二向应力状态。7-二向和三向应力状态的实例一、二向应力状态实例：薄壁圆筒压力容器由平衡条件得轴向应力： （8-1a）由平衡条件或得环向应力： （8-1b）2球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半

3、球写平衡条件：得 （8-2）3弯曲与扭转组合作用下的圆轴4受横向载荷作用的梁7-3平面一般应力状态分析解析法一、空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，；面上的，；面上的， 。1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定律，有：，。2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，其中，分别为，的简写，而=。3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。二平面一般应力状态斜截面上应力如图8-1

4、0所示斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件： 和 可求得斜截面上应力，。 （8-3a） (8-3b)注意到：1）图8-10b中应力均为正值，并规定倾角自轴开始逆时针转动者为正，反之为负。2）式中均为 面上剪应力，且已按剪应力互等定理将换成。三正应力极值主应力根据（8-3a）式，由求极值条件，得即有 （8-4a）为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分别代入(8-3a)，(8-3b)即得： （8-4b） (8-4c)说明：当倾角转到和面时，对应有，其中有一个为极大值，另一个为极小值；而此时，均为零。可见在正应力取极值的截面上剪应力为零（如图8-11a）。四剪应力极值主剪应力根据(8-3b

5、)式及取极值条件，可得： （8-5a）为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分别代入(8-3b)，(8-3a)即得： (8-5b)说明：1）当倾角转到和面时，对应有，且二者大小均为，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小均取平均值（如图8-11b）。2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。五、主剪平面与主平面关系： 或 因而主剪平面与主平面成夹角。六、主应力迹线7-4二向应力状态分析应力圆法一应力圆方程由式（8-3a）和(8-3b)消去，得到 (8-6)此为以，为变量的圆方程，以为横坐标轴，为纵坐标轴，则此圆圆心坐标为，半径为，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆

6、。二应力圆的作法应力圆法也称应力分析的图解法。作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为的斜截面上应力，的步骤如下：1）根据已知应力，值选取适当比例尺；2）在坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1（，），2（，-）两点；3）过1，2两点作直线交轴于点，以为圆心，为半径作应力圆；4）半径逆时针（与微元体上转向一致）转过圆心角得3点，则3点的横坐标值即为，纵坐标值即为。三微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系1）=， =的证明：= 已知： ； 则 让，对照上式与式（8-3a），可知=。 对照上式与式（8-3b），可知 =。2）几个重要的对应关系（即式

7、（8-5b）主平面位置：应力圆上由1点顺时针转过到点。，（即式（8-4a），对应微元体内从面顺时针转过角（面）。应力圆上继续从点转过到，对应微元体上从面继续转过到面，此时（即式（8-4c）四、在应力圆上确定主应力、主平面、最大切应力：五、单元体与应力圆的对应关系：圆上一点，体上一面；点面对应，确定基准。转向一致，夹角两倍；直径两端，垂直两面。7-5三向应力状态1主应力对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个非零的主应力，故也

8、称三向应力状态。约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。例8-1 式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力， 内壁有内压 工程上略去不计，则有：，。例8-2 图8-7所示受弯曲与扭转组合作用圆轴中的1点，可用图8-14所示应力圆求其主应力： ， 二向应力状态。所以，2主剪应力，最大剪应力若已知（或已求得）三个 主应力，可求：1）平行方向的任意斜截面上应力（如图8-15a）。由于不参加图8-15b所示微元体的力平衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)：相应于图8-15c中，构成的应力圆，此时主剪应力：，（图8-15c上的点）。2）平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-

9、16c中，构成的应力圆上点）。主剪应力： 。3）求平行方向斜截面上的主剪应力（见图8-14c中点）。结论：在按约定排列的三个非零主应力，作出的两两相切的三个应力圆中，可以找到三个相应的主剪应力，其中最大剪应力值为：处在与，作用面成的面上。例8-1中：而非。例8-2中：3任意斜截面上应力已知主应力，设斜截面法线的方向余弦为，。求任意斜截面上应力。设斜面面积，则三个侧面面积：，三个方向余弦满足关系： （a）由平衡条件，和有：， （b）由总应力的三个分量可得总应力： （c）也可分解为法线方向的正应力和面上剪应力（图8-17c），则有 （d）由式（d），（c）得： （e），在斜面法线上投影之代数和为，注意到式（b），则有： （f）由式（a），（e），（f）可解得： (8-7)讨论：1）在以为横坐标，为纵坐标的坐标平面内，以上三式分别表示三个应力圆，且交于一点，此点坐标即为斜截面上的应力（，）。2）由于、，在约定条件下，可由以上三式证明任意斜截面上应力均落在图8-14c所示三个主应力圆包围的阴影线面积内。3）当，式（8-7）第一式即为图8-14c中，组成的应力圆方程，在所有平行方向的斜截面中，与，成的斜面上具有主剪应力，同理，当，和时，对应有，及，组成的应力圆方程，分别可得主剪应力：和，可见，。