(6.7)--弯曲变形材料力学.doc

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1、6-1 工程中的弯曲变形问题一、梁的变形：梁变形前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。二、梁的位移：梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移，如图7-1所示。1、挠度：在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度，用表示；以向上为正。2、转角：角位移是横截面变形前后的夹角，称为转角，用表示；以逆时针为正。3、转角与挠度的关系：可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程。6-2 小挠度曲线微分方程忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： （a）式（a）表明梁轴线上任一点的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚度成反比

2、。如图7-2所示。而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间存在下列关系： （b）将上式代入式（a），得到 （c）小挠度条件下，式（c）可简化为： （d）在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应着的正值（图7-3a），负弯矩对应着的负值（图7-3b），故式（d）左边的符号取正值 （7-1）式（7-1）称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。6-3 用积分法求梁的位移一、 转角方程和挠度方程：将式（7-1）分别对积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程： （a） （b）其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。二、 边界条件和连续条件

3、1、边界条件：即支座对梁的挠度和转角提供的限制。典型的边界条件如图7-4所示。2、连续性条件：由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，即挠曲线不能断开或折转，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。如下图所示：PABCABlaCM 三、 挠曲线分段处（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯一的。四、 用积分法求梁的位移：用积分法求梁的

4、位移的步骤：1、 分段列弯矩方程；2、 列挠曲线近似微分方程，逐步积分；3、 定积分常数；4、 写出转角方程和挠度方程；5、 计算转角和挠度五、 梁的刚度条件梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件式中的和分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。6-4 用叠加法求梁的位移在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。一、叠加法前提：1

5、、力与位移之间是线性关系：挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系2、小变形：轴向位移忽略不计。二、第一类叠加法： 应用于多个载荷作用的情形叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。三、第二类叠加法逐段分析法：将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。6-5 简单静不定梁一、 概念：静不定梁：约束反力数目多于静

6、力平衡方程数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不定次数。静定基：指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。二、求解方法：将相当系统与静不定梁相比较，在多余约束处，找到变形协调条件，进而得到求解静不定问题所需的补充方程。通过静力平衡方程和补充方程可联立求解静不定问题。例：图7-5a中，车削工件的左端由卡盘夹紧，右端由尾顶针顶住，计算简图如图7-5b所示。要求画出其弯矩图。解：此为一次静不定问题。图7-5c为静定基。图7-5d为相当系统，支座反力由表示，静力平衡方程为，在多余约束处建立变形协调条件利用表7-1可知因此利用平衡方程可解得，和，画出其弯矩图如图7-5g所示 。6-6 提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩、材料的弹性模量有关。故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩；（2）增加支承，减小跨度；（3）选用合适的材料，增加弹性模量。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩，如工字形截面、空心截面等。