福建省福州市闽江口协作体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题含答案.pdf

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1、20232024 学年第一学期闽江口协作体期中联考高三数学学年第一学期闽江口协作体期中联考高三数学全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3选择题用选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答

2、案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5本卷主要考查内容：集合，函数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，立体几何，数列本卷主要考查内容：集合，函数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，立体几何，数列.一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

3、求的1 已知集合24,0 xMxNx x，则MN（）A.0,2B.0,4C.2,D.,02.已知aR，复数2iza，则以下为实数的是（）A 24zzB.24zzC.2zazD.2zaz3.函数 sin,1 cosxf xxx 的图象大致为（）A.B.福建省福州市闽江口协作体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题C.D.4.如图，边长为 2 的正方形A B C D 是用斜二测画法得到的四边形ABCD的直观图，则四边形ABCD的面积为（）A.3 2B.6 2C.4 2D.8 25.已知函数 221050 xfxxx，则（）A.f x是偶函数B.f x是奇函数C.f x关于5x 轴对称D

4、.f x关于5,1中心对称6.圆台12OO的内切球O的表面积与圆台的侧面积之比为89，则圆台母线与底面所成角的正切值为（）A.33B.1C.3D.2 27.函数 cosf xx的两个零点分别为 5,66，且0，在 5,66上 f x仅有两条对称轴，则 可以是（）A.53B.73C.83D.1038.正四棱柱1111ABCDABC D中，2ABBC，四面体11ACB D体积为83，则1AC与平面11BC A所成角的正弦值为（）A.12B.14C.13D.16二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

5、求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知0abc，则（）A.bcabacB.aacababcC.2abbcbacD.114abbcac10.已知0,2，且角的终边上有点sin2,cos2，则（）A.522B.tantan2C.24coscoscos033D.24sinsinsin03311.在 三 棱 柱111ABCABC-中，D为1BB的 中 点，122AAABBC，1AA 平 面ABC，90ABC，则下列结论错误的是（）公众号：全元高考A 平面1ABC 平面11ACC AB

6、.平面1ABC 平面1C ABC.1AD/平面1C ABD.11ADAC12.在ABC中，2CDDA ，E为AB中点，,BD CE交于点M，则（）A.2133BDBABC B.45CMCE C.四边形AEMD的面积是ABC面积的25D.BMC和CMD的面积相等三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知向量a、b的夹角的余弦值为14，2a，4b，则aba_14.函数33e2e2xxy的值域为_15.已知等差数列 na的前n项和为nS，若82212aa，则11S_.16.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面,3,2A

7、BCD ADAB，则以P为球心，以PB为半径的球，被底面ABCD截得的弧长为_；若1,PAQ是PC上的动点，则QBQD的最小值为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.已知数列 na满足：122,4aa，数列nan为等比数列（1）求数列 na的通项公式；（2）求和：12nnSaaa18.在锐角ABC中，11cos,7,514Aba（1）求sinC；（2）在ABC内有点M，使得,120MAMCAB MAMCCMA，求tan MAC19.已知函数 33xxfxkkR是奇函数

8、（1）求实数k的值；（2）设关于x的不等式2110f axfax的解集为A若集合A中的整数元素只有两个，求实数a的取值范围20.如图，在长方体1111ABCDABC D中，2,4,ABBCE为1CC中点，1AEBC（1）求1AA；）公众号：全元高考（2）求二面角ABED正弦值21.若 f xa b，4sin,1ax，cos,1(0)6bx，且 f x的对称中心到对称轴的距离的最小值为8（1）求 f x的单调区间；（2）求 f x在0,3上的值域22.已知函数 32logf xax.（1）当1a 时，解关于x的不等式 0f x；（2）请判断函数 3log1g xf xaxa是否可能有两个零点，并

9、说明理由；（3）设a0，若对任意1,14t，函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求实数a的取值范围.的的20232024 学年第一学期闽江口协作体期中联考学年第一学期闽江口协作体期中联考高三数学高三数学全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效请按题号

10、顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3选择题用选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5本卷主要考查内容：集合，函数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，立体几何，数列本卷主要考查内容：集合，函数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，立体几何，数列.一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，

11、每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合24,0 xMxNx x，则MN（）A.0,2B.0,4C.2,D.,0【答案】A【解析】【分析】先化简集合 M，再由集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合|24|2,|0 xMxx xNx x，所以|02MNxx，故选：A2.已知aR，复数2iza，则以下为实数的是（）A.24zzB.24zzC.2zazD.2zaz【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘方，计算即可求解.【详解】由题意知，222(2i)44 i,484 izaaaza，所以22

12、2444 i84 i4Rzzaaaa .故选：C.3.函数 sin,1cosxf xxx 的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】首先判断函数的奇偶性，再由函数在0,上的取值情况判断即可.【分析】函数 sin,1cosxf xxx 则 sinsin1cos1cosxxfxf xxx ，所以 sin1cosxf xx为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 C、D；当0,x时sin0,1x，1 1cos,x ，所以1 cos0,1x，则 0f x，故排除 B.故选：A4.如图，边长为 2 的正方形A B C D 是用斜二测画法得到的四边形ABCD的直观图，则四边形ABCD的面积为

13、（）A.3 2B.6 2C.4 2D.8 2【答案】D【解析】【分析】由斜二测画法确定平行四边形ABCD相关边长及对应高，即可求面积.【详解】由直观图知：四边形ABCD中2AB，且其对应高24 2hO D，所以四边形ABCD的面积为2 4 28 2.故选：D5.已知函数 221050 xfxxx，则（）A.f x是偶函数B.f x是奇函数C.f x关于5x 轴对称D.f x关于5,1中心对称【答案】D【解析】【详解】首先判断函数的定义域，再根据奇偶性与对称性的定义判断即可.【分析】函数 22221050525xxf xxxx定义域为R，且22525xfxx，所以 f x是非奇非偶函数，故 A、

14、B 错误；因为 221010525xfxf xx，所以 f x不关于5x 对称，故 C 错误；又 222222252510102525525525xxxfxf xxxx，所以 f x关于5,1中心对称，故 D 正确；故选：D6.圆台12OO的内切球O的表面积与圆台的侧面积之比为89，则圆台母线与底面所成角的正切值为（）A.33B.1C.3D.2 2【答案】D【解析】【分析】如图，作OEAD，则 E 为切点，由三角形的全等可得母线的长为12rr，进而21 2rrR.由球的表面积和圆台的侧面积公式化简计算可得21 2212()rrrr，即可求解.【详解】设内切球的半径为 R，上底面的圆的半径为1r

15、，下底面的圆的半径为2r，如图，作OEAD，则 E 为切点，有12OEOOOOR，2DFR，所以1Rt OEDRt OO D，2Rt OEARt OO A，得1122,DEO Dr AEO Ar，故母线的长为12AEDErr，在RtDAF中，222ADAFDF，即2221221()()(2)rrrrR，得21 2rrR.又内切球的表面积与圆台的侧面积之比为89，所以2212489Rrr，由2212211 24rrrrrr得21 2212()rrrr，设母线与底面的夹角为，则2211 22121212 222tan2 2rrrrDFRAFrrrrrr.故选：D.7.函数 cosf xx的两个零点

16、分别为 5,66，且0，在 5,66上 f x仅有两条对称轴，则 可以是（）A.53B.73C.83D.103【答案】A【解析】【分析】根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得T，由2T且0可得2.由2,Z62kk 可得5,Z6kk，取56即可求解.【详解】因为函数()f x的两个零点为 566、，且在 5,66上仅有两条对称轴，所以566T，又2T且0，得2.由函数()f x的零点为6，得2,Z62kk，得5,Z6kk，当0k 时，56，此时53.故选：A.8.正四棱柱1111ABCDABC D中，2ABBC，四面体11ACB D体积为83，则1AC与平面11BC A所成角的正弦值为（）

17、A.12B.14C.13D.16【答案】C【解析】【分析】设1AAa，根据四面体11ACB D体积为83，由118442 2323Vaa ，求得2a，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.【详解】解：设1AAa，因为四面体11ACB D体积为83，所以118442 2323Vaa ，解得2a，建立如图所示空间直角坐标系：则112,0,0,0,2,2,2,2,0,2,0,2ACBA，所以1112,2,2,0,2,2,2,0,2ACBABC ，设平面11BC A的一个法向量为,mx y z，则1100BA mBC m，即 220220yzxz，令 1x，则 1,1zy，所以 1,1,1m，设1

18、AC与平面11BC A所成的角为，所以11121sincos,32 33AC mAC mACm ，故选：C二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知0abc，则（）A.bcabacB.aacababcC.2abbcbacD.114abbcac【答案】ABD【解析】【分析】ABC 选项，利用作差法比较大小，D 选项，变形后，利用基本不等式证明出

19、结论.【详解】A 选项，因为0abc，所以0,0abac，0bc，故0a bcbcabbcacbcabacabacabac，所以bcabac，A 正确；B 选项，22aacaabacaacabbcbcababcababcababc，因为0abc，所以0aacbcababcababc，故aacababc，B 正确；C 选项，因为0abc，所以0,0abbc，故 220abbcbacabbbcacb abc baabbc，故2abbcbac，C 错误；D 选项，因为0abc，所以0,0,0abbcac，所以 22224acabbcabbcabbc，当且仅当abbc时，等号成立，所以4acabbca

20、c，即114abbcac，故 D 正确.故选：ABD10.已知0,2，且角的终边上有点sin2,cos2，则（）A.522B.tantan2C.24coscoscos033D.24sinsinsin033【答案】ACD【解析】【详解】利用三角函数定义结合诱导公式求解判断 AB；利用和角的正余弦公式化简计算判断 CD.【分析】由22，得sin20,cos20，则角为第四象限角，cossin2cos(2)2，显然0222，因此22522(2)，A 正确；显然cos21tansin2tan2，B 错误；241313coscos()cos()cos(cossin)(cossin)0332222 ，C

21、正确；241313sinsin()sin()sin(sincos)(sincos)0332222 ，D 正确.故选：ACD11.在 三 棱 柱111ABCABC-中，D为1BB的 中 点，122AAABBC，1AA 平 面ABC，90ABC，则下列结论错误的是（）A.平面1ABC 平面11ACC AB.平面1ABC 平面1C ABC.1AD/平面1C ABD.11ADAC【答案】ABC【解析】【详解】设12 2AA，以点B为坐标原点，BA、BC、1BB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【分析】在三棱柱111ABCABC-中，1AA 平面AB

22、C，90ABC，以点B为坐标原点，BA、BC、1BB所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设12 2AA，则2ABBC，则2,0,0A、0,0,0B、0,2,0C、0,0,2D、12,0,2 2A、10,0,2 2B、10,2,2 2C，设平面1ABC的法向量为111,ux y z，0,2,0BC uu u r，12,0,2 2BA，则11112022 20u BCyu BAxz，取12x，可得2,0,1u，设平面11AAC C的法向量为222,mxyz，10,0,2 2AA，2,2,0AC ，则12222 20220m AAzm ACxy，取21x，可得1,1,0m u

23、r，设平面1ABC的法向量为333,nxy z，2,0,0BA ，10,2,2 2BC ，则31332022 20n BAxn BCyz ，取32y，则0,2,1n，对于 A 选项，因为02020m n，所以，平面1ABC与平面11ACC A不垂直，A 错；对于 B 选项，10u n ，所以，平面1ABC与平面1ABC不垂直，B 错；对于 C 选项，12,0,2AD ，因为120AD n ，则1AD与平面1ABC不平行，C 错；对于 D 选项，12,2,2 2AC ，则11440ACAD ，所以，11ACAD，D 对.故选：ABC.12.在ABC中，2CDDA ，E为AB中点，,BD CE交于

24、点M，则（）A.2133BDBABC B.45CMCE C.四边形AEMD的面积是ABC面积的25D.BMC和CMD的面积相等【答案】AB【解析】【分析】根据向量的运算法则，可判定 A 正确；设CMCE ，求得(1)2BMBABC ，结合,B M D三点共线，求得43,55，可判定 B 正确；设ABC的面积为S，根据三角形的面积公式，求得四边形AEMD的面积为730AEMDSS，可判定 C 不正确；根据题意，得到25CMDBCDSS，可判定 D 错误.【详解】对于 A 中，因为2CDDA ，即D为AC（靠近A 点）的三等分点，所以1121()3333BDBAADBAACBABCBABABC ，

25、所以 A 正确；对于 B 中，设CMCE ，由点E为AB的中点，可得12CEBEBCBABC ，可得1()(1)22BMBCCMBCCEBCBABCBABC ，以为,B M D三点共线，可得233BABCBMBD ，所以233(1)2BBABACBC ，可得223且13，解得43,55，即45CMCE ，所以 B 正确；对于 C 中，设ABC的面积为S，因为2CDDA ，可得13ABDSS，又因为E为AB中点，且35BMBD ，可得311010BMEABDSSS，所以四边形AEMD的面积为11731030AEMDABDBMESSSSSS，所以 C 不正确；对于 D 中，由35BMBD ，可得3

26、5BMCBCDSS，所以25CMDBCDSS，所以BMC和CMD的面积不相等，所以 D 错误.故选：AB三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知向量a、b的夹角的余弦值为14，2a，4b，则aba_【答案】2【解析】【详解】根据数量积的定义与运算律计算可得.【分析】因为向量a、b的夹角的余弦值为14，2a，4b，所以1cos,2 424a baba b ，所以22222abaa ba .故答案为：214.函数33e2e2xxy的值域为_【答案】1,1【解析】【详解】将函数变形为341e2xy，再结合指数函数与幂函数的性质计算可得

27、.【分析】因为3333322e4e241e2e2exxxxxy，又3e0 x，所以3e22x，所以311022ex，所以34202ex，所以31e4112x ，所以函数33e2e2xxy值域为1,1.故答案为：1,115.已知等差数列 na的前n项和为nS，若82212aa，则11S_.【答案】44【解析】【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出6a，再利用前 n 项和公式和性质求出11S.【详解】设公差为d，有 112712adad，可得13512ad，有64a，111116111111 4442aaSa.故答案为：44【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换16.在四棱锥PAB

28、CD中，底面ABCD为矩形，PA 平面,3,2ABCD ADAB，则以P为球心，以PB为半径的球，被底面ABCD截得的弧长为_；若1,PAQ是PC上的动点，则QBQD的最小值为_的【答案】.23#23 .1062【解析】【分析】以P为球心，以PB为半径的球与底面ABCD的交线为以A 为圆心，AB为半径的圆弧，求出圆心角即可求出弧长，将面PDC翻折到与平面PBC共面，连接BD交PC于点Q，此时QBQD取得最小值为BD，再在平面四边形BCDP中求出BD的长度，即可得解.【详解】因为PA 平面ABCD，底面ABCD为矩形，则以P为球心，以PB为半径的球与底面ABCD的交线为以A 为圆心，AB为半径的

29、圆弧，在CD上取一点E，使得2AEAB，连接AE，则BE的长度即为以P为球心，以PB为半径的球，被底面ABCD截得的弧长，由3AD，2AB，所以3cos2ADDAEAE，则6DAE，所以3BAE，则BE的长度为2233，即以P为球心，以PB为半径的球，被底面ABCD截得的弧长为23，将面PDC翻折到与平面PBC共面，连接BD交PC于点Q，此时QBQD取得最小值为BD（平面图形如下所示），因为3AD，2AB，1PA，所以222PDADPA，2CDAB，225PBABAP，2221232 2PC，3BCAD，所以2226cos24BCPCBPBCPBC PC，又2222cos22DCPCDPDCP

30、DC PC，所以10sin4BCP，2sin2DCP，所以coscosBCDDCPBCPcoscossinsinDCPBCPDCPBCP621024242，又2222cosBDBCDCBC DCBCD2262102322324154242 ，所以1062BD（负值舍去），即QBQD的最小值为1062.故答案为：23；1062【点睛】关键点睛：对于处理线段和最值问题，一般是化折为直，利用两点间线段最短解决.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.已知数列 na满足：122,

31、4aa，数列nan为等比数列（1）求数列 na的通项公式；（2）求和：12nnSaaa【答案】（1）12nn （2）2112122nnn【解析】【分析】（1）首先求出11a，22a，即可求出等比数列nan的通项公式，从而求出 na的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得.【小问 1 详解】因为12a，24a，数列nan为等比数列，所以111a ，222a，则21221aa，即nan是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nnan，则12nnan.【小问 2 详解】12nnSaaa01211222322nn L01211232222nn 211 2112121 222nnn nnn.18.在锐

32、角ABC中，11cos,7,514Aba（1）求sinC；（2）在ABC内有点M，使得,120MAMCAB MAMCCMA，求tan MAC【答案】（1）4 37.（2）3 313【解析】【分析】（1）先求得c，然后利用正弦定理求得sinC.（2）先求得,MA MC，然后利用余弦定理、同角三角函数的基本关系式求得tan MAC.【小问 1 详解】依题意，11cos,7,514Aba，由余弦定理得2222cosabcbcA，即21125492 714cc ，380cc，解得3c 或8c，当3c 时，222259491cos022 5 32acbBac ，B钝角，不符合题意，所以8c.由于11co

33、s014A，A 是锐角，所以25 3sin1 cos14AA，由正弦定理得584 3,sinsinsinsin75 314acCACC.【小问 2 详解】设,MAx MCy xy，则8,8xyyx，则8800 xxxx，则48x ，在三角形AMC中，由余弦定理得2227828cos120 xxxx ，2815350 xxxx，解得5x 或3x（舍去）.所以5,3MAMC，在三角形AMC中，由余弦定理得25499132 5s7co14MAC，为由于MAC为锐角，所以23 31 cos14sinMACMAC，所以sin3 3tancos13MACMACMAC.19.已知函数 33xxfxkkR是奇

34、函数（1）求实数k的值；（2）设关于x的不等式2110f axfax的解集为A 若集合A 中的整数元素只有两个，求实数a的取值范围【答案】19.1k 20 1 1,4 3【解析】【分析】（1）由题意可得(0)0f，检验，即可求解；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，可得2(1)10axax，分类讨论当0a、a0、01a、1a、1a 时对应的解集，结合题意即可求解.【小问 1 详解】由题意知，()f x是定义域为 R 上的奇函数，则(0)0f，即00330k，解得1k，经检验，1k 符合题意，所以1k；小问 2 详解】由（1）知，1k，则1()333()3xxxxf x，又函数13,()3x

35、xyy 在 R 上单调递增，所以函数()f x在 R 上单调递增，由2221101111f axfaxf axfaxaxax，得21(1)0axax，即2(1)10axax.当0a 时，10 x ，解得1x，此时集合 A 不满足题意；当0a 时，2(1)10(1)(1)0axaxaxx，对于方程2121(1)10,1axaxxxa，.【若a0，则11a，不等式的解集为1(,)(1,)a，此时集合 A 不满足题意；若01a，则11a，不等式的解集为1(1,)a，又集合 A 有 2 个整数元素，所以2,3A，则134a，解得1143a；若1a，则11a，不等式的解集为，此时集合 A 不满足题意；若

36、1a，则11a，不等式的解集为1(,1)a，又集合 A 有 2 个整数元素，所以 1,0A ，则121a ，无解.综上，实数 a 的取值范围为141,)3.20.如图，在长方体1111ABCDABC D中，2,4,ABBCE为1CC中点，1AEBC（1）求1AA；（2）求二面角ABED的正弦值【答案】（1）4 2 （2）2 77【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问 1 详解】如图建立空间直角坐标系，令10AAt t，则4,0,0A，4,2,0B，0,2,0C，0,2,2tE，14,2,Bt，所以4,2,2tAE ，14,0,CBt，因为1AEBC，所以

37、211602tAE CB ，解得4 2t（负值舍去），所以14 2AA.【小问 2 详解】由（1）可得4,0,2 2BE ，4,2,0DB ，0,2,0AB ，设平面DBE的法向量为,nx y z，则42 20420n BExzn DBxy ，取1,2,2n，设平面 ABE 的法向量为,ma b c，则42 2020m BEacm ABb ，取1,0,2m，设二面角ABED为，由图可知二面角ABED为锐二面角，所以3cos37m nmn，）公众号：全元高考所以22 7sin1 cos7，即二面角ABED的正弦值为2 77.21.若 f xa b，4sin,1ax，cos,1(0)6bx，且 f

38、 x的对称中心到对称轴的距离的最小值为8（1）求 f x的单调区间；（2）求 f x在0,3上的值域【答案】（1）单调递增区间为,62 122kk，Zk，单调递减区间为,12232kk，Zk.（2）2 2,【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再根据周期求出，即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；（2）由x的取值范围，求出46x的范围，再由正弦函数的性质计算可得.【小问 1 详解】）公众号：全元高考因为4sin,1ax，cos,16bx，且 f xa b，所以 4sincos16f xxx4sincossinsin1cos66xxx22 3sin

39、cos2sin1xxx3sin2cos2xx2sin 26x，又 f x的对称中心到对称轴的距离的最小值为8且0，所以48T，即222T，解得2，所以 2sin 46xxf，令2 42 262kxk，Zk，解得62122kkx，Zk，即 f x的单调递增区间为,62 122kk，Zk，令32 42 262kxk，Zk，解得12232kkx，Zk，即 f x的单调递减区间为,12232kk，Zk.【小问 2 详解】因为0,3x，则34266,x，所以1si4,n16x，所以 2,2f x ，则 f x在0,3上的值域为2 2,.22.已知函数 32logf xax.（1）当1a 时，解关于x的不

40、等式 0f x；（2）请判断函数 3log1g xf xaxa是否可能有两个零点，并说明理由；（3）设a0，若对任意的1,14t，函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求实数a的取值范围.【答案】（1）1,2 （2）不可能，理由见解析 （3）8,5【解析】【分析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式 0f x 的解集.（2）由 0g x，求得12x ，21xa，但推出矛盾，由此判断 g x没有两个零点.（3）根据函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1 列不等式，结合分离常数法来求得a的取值范围.【小问 1 详解】当1a 时，不等式

41、 0f x 可化为32log10 x，有2011 x，有20,10,xxxx解得12x，故不等式，0f x 的解集为1,2.【小问 2 详解】令 0g x，有332loglog1aaxax，有210aaxax，22122210,0axaxaaxxx，22120axaxx，210 xaxx，则20210axxaxx，）公众号：全元高考若函数 g x有两个零点，记为1212,x xxx，必有12x ，21xa，且有20220aaa，此不等式组无解，故函数 g x不可能有两个零点【小问 3 详解】当a0，1,14t，1txt 时，20ax，函数 f x单调递减，有 3max2logf xf tat，3min21log1f xf tat有3322loglog11aatt，有3322loglog31aatt有2231aatt，整理为311att，由311att对任意的1,14t恒成立，必有31,231,11144aa.解得85 a，又由254131801551ttttt t ，可得31815 tt，由上知实数a的取值范围为8,5.