重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期11月模拟检测数学含答案.pdf

《重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期11月模拟检测数学含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期11月模拟检测数学含答案.pdf（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、202411 月模拟测试数学试题月模拟测试数学试题总分：总分：150 分考试时间：分考试时间：120 分钟分钟一、单项选择题：共一、单项选择题：共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。1.已知集合2|60,|230Ax xxBxx，则AB（）A.3,32B.3,32C.3,2D.2,2.若复数i 1i2aa，Ra，则a（）A.1B.0C.1D.23.已知为锐角，3sin35，则sin（）A.34 310B.4 3310C.34 310D.34 3104.已知11a，21a，1221nnnaaa（3n，*Nn），nS为其前n项和，则60S（）A.30231B.30431

2、C.30230D.304305.2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（）A.1800B.1080C.720D.3606.对于两个函数 11e2th tt与 1ln 2122g ttt，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为1t，2t，则21tt的最小值为（）A.1B.ln2C.1 ln3D.12ln27.已知双曲线C：222210,0 xyabab的右焦点为F，关于原点对称的两点 A、B 分别在双曲线的左、右两支上

3、，0AF FB ，3BFFC ，且点 C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.103B.102C.52D.2 338.已知曲线32399yxxx 与曲线1 21xyx交于点11222,nnnA x yAxyAxy，则1niiixy（）A.16B.12C.9D.6二、多项选择题：共二、多项选择题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。9.已知函数 2sin 23f xx，把 f x的图象向左平移3个单位长度得到函数 g x的图象，则（）A.g x是奇函数B.g x的图象关于直线4x 对称C.g x在0,2上单调递增D.不等式 0g x 的解集为,Z2kkk10.袋子

4、中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取 5 次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这 5 个数字的平均数为 2，方差小于 1，则（）重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期11月模拟检测届高三届高三A.可能取到数字 4B.中位数可能是 2C.极差可能是 4D.众数可能是 211.如图，圆锥SO的底面圆O的直径4AC，母线长为2 2，点B是圆O上异于A，C的动点，则下列结论正确的是（）A.SC与底面所成角为 45B.圆锥SO的表面积为4 2C.SAB的取值范围是,4 2D.若点B为弧AC的中点，则二面角SBCO的平面角大小为 45

5、12.曲线 C 是平面内与两个定点1(0,1)F，2(0,1)F的距离的积等于32的点 P 的轨迹，则下列结论正确的是（）A.曲线 C 关于坐标轴对称B.点 P 到原点距离的最大值为102C.12FPF周长的最大值为26D.点 P 到 y 轴距离的最大值为22三、填空题：共三、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.若51sin123，则cos 26的值为 14.二项式612xx展开式的常数项为 .15.已知数列 1,1naa，对任意正整数k，21ka，2ka，21ka成等差数列，公差为2k，则100a .16.设Ra，函数 21,02,0 xxf xx

6、ax x，若函数()yf f x恰有 3 个零点，则实数a的取值范围为 .四、解答题：共四、解答题：共 70 分。分。17.（10 分）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且3sincosabCC.(1)求 B；(2)已知2 3BC，D 为边AB上的一点，若1BD，2ACD，求AC的长.18.（12 分）已知等比数列 na的各项均为正数，前 n 项和为nS，若*1212nnnaaanN，5121S.(1)求数列 na的通项公式；(2)若lnnnnbaa，求数列 nb的前 n 项和nT.19.（12 分）图 1 是由正方形ABCD和正三角形ADE组成的一个平面图形，将ADEV

7、沿AD折起，使点E到达点P的位置，Q为PC的中点，如图 2.(1)求证：AP/平面QBD；(2)若平面PAD 平面ABCD，求平面PAD与平面QBD夹角的余弦值.20.（12 分）某校 20 名学生的数学成绩1,2,20ix i 和知识竞赛成绩1,2,20iy i 如下表：学生编号 i12345678910数学成绩ix100999693908885838077知识竞赛成绩iy29016022020065709010060270学生编号 i11121314151617181920数学成绩ix75747270686660503935知识竞赛成绩iy4535405025302015105计算可得数学

8、成绩的平均值是75x，知识竞赛成绩的平均值是90y，并且20216464iixx，2021149450iiyy，20121650iiixxyy.(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到 0.01）；(2)设*NN，变量x和变量y的一组样本数据为,1,2,iix yiN，其中1,2,ix iN两两不相同，1,2,iy iN两两不相同.记ix在1,2,nx nN中的排名是第iR位，iy在1,2,ny nN中的排名是第iS位，1,2,iN.定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数.（i）记iiidRS，1,2,iN.证明：221

9、611NiidN N；（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为 0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.注：参考公式与参考数据.12211niiinniiiixxyyrxxyy；211216nkn nnk；6464 14945031000.21.（12 分）动点 P 与定点(3,0)F的距离和它到直线4 3:3l x 的距离的比是常数32，记点 P 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)已知(0,1)M，过点(2,1)N 的直线与曲线 E 交于不同的两点 A，B，点 A 在第二象限，点 B 在 x 轴的下方，直线MA，MB分别

10、与 x 轴交于 C，D 两点，求四边形ACBD面积的最大值.22.（12 分）已知函数 2ln1fxxaxaR.(1)讨论函数 f x的零点个数；(2)已知函数 2eeaxg xxaR，当2 e0ea时，关于x的方程 f xg x有两个实根1212,x xxx，求证：1211eexx.（注：e2.71828是自然对数的底数）学科网（北京）股份有限公司2024 届高三届高三 11 月模拟测试数学试题参考答案月模拟测试数学试题参考答案123456789101112DACBBBBBABBDACABC解析：1.由题意知：26023Ax xxxx，32302Bxxx x，所以：2,AB，故 D 项正确.

11、2.解：由题意，222i 1ii+ii21i220iaaaaaaa ，22210aa，解得：1a .3.因为3sin35所以24cos1 sin335 ，当4cos35时，sinsinsincoscossin333333314334 30525210，为锐角，不合题意，舍去；当4cos35 时，sinsinsincoscossin333333314334 30525210，满足题意；所以sin34 310.4.由1221nnnaaa（3n，*Nn）可得11212222112nnnnnnaaaaaa，已知11a，21a，所以1213aa，即11nnaa是一个以 3 为首项，2 为公比的等比数列，

12、所以2113 2nnnaa ，即2*13 21(2,)Nnnnnnaa，0123 21aa，2343 21aa，4563 21aa，L，5859603 21aa，02586012603 22230Saaa30301 43304311 4，5.恰有 2 个部门所选的旅游地相同，第一步，先将选相同的 2 个部门取出，有24C6种；第二步，从 6 个旅游地中选出 3 个排序，有36A120种，根据分步计数原理可得，方法有6 120720种；4 个部门所选的旅游地都不相同的方法有46A360种，根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有7203601

13、080种.6.12t，112()eeth t，210t ，()g t的值域是(,)，设12()()h tg tm，则12em，11etm，1ln1tm，2ln(21)2tm，2211e22mt，所以22211111eln1eln2222mmttmm，设12211()eln(e)22xf xxx，211()e2xfxx，设()()F xfx，则2211()e2xF xx0，()fx是增函数，又(2)0f，因此12e2x时，()0fx，()f x递减，2x 时，()0fx，()f x递增，所以min11()(2)ln2ln222f xf，所以21tt的最小值是ln2，7.由题设(c,0)F，令(,

14、)A m n且ma，(,)C x y，则(,)Bmn，且22221mnab，由222(,)(,)0AF FBcmnmcnmcn ，即222mnc，学科网（北京）股份有限公司由4333(,)(,)3xcmBFFCcm nxc yyn ，即(43,3)Ccmn，又 C 在双曲线上，则2222(43)91cmnab，由得：22221nmba，代入并整理得：22230cmca，由及222abc得：224222222222m banbcmmaac，所以22222224(2)9189cam ca ca，即22242222275(25)()0ca cacaca，显然22ac，则22251022ceea.8.

15、令 32399f xxxx，则3231131919122f xxxxxx ，3231131919122fxxxxxx ，114f xfx ，()fx关于1,2 中心对称；2131 232111xxyxxx ，1 21xyx关于1,2 中心对称；2369331fxxxxx ，当,31,x 时，0fx；当3,1x 时，()0fx；()fx在,3,1,上单调递减，在3,1上单调递增，f x极小值为3272727918f ，极大值为 11 39914f ；当1,x 时，321yx 单调递减，且3221yx ，当1x 时，312141 12y ；作出 f x与1 21xyx在1x 时的图象如下图所示，由

16、图象可知：f x与1 21xyx在1,上有且仅有两个不同的交点，由对称性可知：f x与1 21xyx在,1 上有且仅有两个不同的交点，412341234112 222 2iiixyxxxxyyyy 12.9.A 选项，2sin 22sin 22sin2323g xxxx，由于 g x的定义域为 R，且 2sin2sin2gxxxg x ，故 g x为奇函数，A 正确；B 选项，2sin242g，故 g x的图象关于直线4x 对称，B 正确；C 选项，02,x时，2,0 x，其中sinyz 在0,z上不单调，故 2sin2g xx 在02,x上不单调，故 C 错误；D 选项，0g x，则sin2

17、0 x，则Z2,xkkk，故,Z22kkxk，D 错误.10.设这 5 个数字为12345,x xx xx，对于 A：若取到数字 4，不妨设为14x，则2345425xxxx，可得23456xxxx，可知这 4 个数中至少有 2 个 1，不妨设为231xx，则这 5 个数字的方差222222123451222225sxxxxx22216421 21 2155，不合题意，故 A 错误；对于 C：因为这 5 个数字的平均数为 2，这 5 个数字至少有 1 个 1，不妨设为11x，若极差是 4，这最大数为 5，不妨设为25x，则这 5 个数字的平均数12345345111 5255 xxxxxxxx

18、x，则3454xxx，可知这 3 个数有 2 个 1，1 个 2，此时这 5 个数字的方差2222221121 2521 21 222155s，不合题意，故 C 错误；学科网（北京）股份有限公司对于 BD：例如 2，2，2，2，2，可知这 5 个数字的平均数为 2，方差为 0，符合题意，且中位数是 2，众数是 2，故 BD 正确；11.对于 A，因为SO 面ABC，所以SCO是SC与底面所成角，在RtSOC中，圆锥的母线长是2 2，半径2rOC，则22cos22 2OCSCOSC，所以SCO45，则 A 正确；对于 B，圆锥SO的侧面积为4 2rl，表面积为4 2+4，则 B 错误；对于 C，

19、当点B与点A重合时，0ASB为最小角，当点B与点C重合时2ASB，达到最大值，又因为B与A，C不重合，则0,2ASB，又2SABASB，可得,4 2SAB，则 C 正确；对于 D，如图所示，取BC的中点D，连接OD，SD，又O为AC的中点，则/ODAB，因为ABBC，所以BCOD，又SO 面ABC，BC面ABC，所以BCSO，又SOODO，BC面SOD，故BCSD，所以SDO为二面角SBCO的平面角，因为点B为弧AC的中点，所以2 2AB，122ODAB，则tan2SOSDOOD，则 D 错误.12.设,P x y，由123|2PFPF，得22223(1)(1)2xyxy，整理得22224(1

20、)169xyy，若点00(,)xy在曲线 C 上，显然00(,)xy，00(,)xy都满足方程，即点00(,)xy，00(,)xy也在曲线 C 上，因此曲线 C 关于坐标轴对称，A 正确；由22229 162(1)2(1)yxyy，得22(21)(25)0yy，解得252y，当且仅当0 x 时取等号，因此点 P 到原点O的距离22295910|41414242POxyy ，于是当250,2xy时，点 P 到原点距离取得最大值102，B 正确；显然12FPF的周长为121222226PFPFPF PF，当且仅当126|2PFPF时取等号，C 正确；由曲线C的方程22224(1)169xyy，得2

21、229414xyy，当212x 时，22914142yy，即2293442yy，两边平方解得201y，即当曲线C的点(,)P x y满足201y时，点P到y轴距离2|2x，D 错误.13.7914.6015.500116.(1,0)13.由51sin123，得225517cos 21 2sin1 261239 ，所以557cos 2cos 2cos 26669 .14.612xx展开式的通项为366621661C2C21rrrrrrrrTxxx ，取3602r，解得4r，常数项为446 46C2160.15.因为11a，对任意正整数k，21ka，2ka，21ka成等差数列，公差为2k，所以21

22、214kkaak当21nk时，可得 2131532121321148412112nkkknaaaaaaaaknak k ，当2199,50kk 时，21002 502 50 12 502 502 50 12 505001aaa 所以当100n 时，1005001a16.设()tf x，当0 x 时，()|1|f xx，此时0t，由()0f t，得1t，即()|1|1f xx，解得0 x 或2x，即()yf f x在0,)上有 2 个零点；若0a，2()2f xxax，其图象对称轴为xa，函数()yf x的大致图像如图：则此时2()20f xxax，即0t，则()0f t，即()0f t 无解，

23、则()tf x无零点，此时()yf f x无零点，不符合题意；故需a0，此时函数()yf x的大致图像如图：学科网（北京）股份有限公司 由()0f t 得1t 或ta，要使得函数()yf f x恰有 3 个零点，需满足()yf f x在(,0)上有一个零点此时()f xa只有一个解，故只需1t 与函数()tf x在 y 轴左侧图象无交点，则需22()21f aaa，解得11a，结合a0，可得(1,0)a，17.（1）3sincosabCC，根据正弦定理得，sinsin3sincosABCC，即sincoscossin3sinsinsincosBCBCBCBC，所以cossin3sinsinBC

24、BC，因为sin0C，所以cos3sinBB，所以3tan3B，因为0,B，所以6B.（2）因为2 3BC，1BD，6B，根据余弦定理得22232cos1 122 1 2 372CDBCBDBC BDB ，7CD.2BDCA，sinsincos2BDCAA.在BDC中，由正弦定理知，sinsinBCCDBDCB，2 371cos2A，21cos7A，0,2A，所以2 7sin7A sin2 3tancos3ACDAAAC，212AC.18.（1）设 na的公比为0q q，因为1212nnnaaa，即212nnnaqa qa，且0na，可得2120qq，解得3q 或4q （舍去）.又因为5151

25、 31211 3aS，解得11a，所以1113nnnaa q.（2）由（1）可得：131 ln3nnbn，所以012112333331231ln3nnnTbbbbn 1311ln31 3ln31 322nnnnnn，所以311ln32nnnnT.19.（1）证明：连AC交BD于点O，连OQ.由ABCD为正方形知O为AC中点，又Q为PC中点，故APOQ，又AP 平面BDQ且OQ 平面BDQ，所以/AP平面BDQ.（2）取AD中点H，连PH，由PAD为等边三角形得PHAD.又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面,ABCDAD PH平面PAD，所以PH 平面ABCD，以D为原点，,DA DC所在

26、直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2AB，则131,0,3,2,2,0,0,2,0,1,22PBCQ，132,2,0,1,22DBDQ，平面PAD就是坐标平面xDz，故可取其法向量10,1,0n，设平面QBD一个法向量为2,nx y zu u r，即2200DB nDQ n ，则22013022xyxyz，令3x，则3,1yz，得23,3,1n ，记平面PAD与平面QBD夹角为，则12121221coscos,7n nn nnn ，学科网（北京）股份有限公司所以平面PAD与平面QBD夹角的余弦值为217.20.1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为202

27、0202221650216500.70310006464 14950iiiiiiixxyyrxxyy；（2）（i）证明：因为 iR和 iS都是 1，2，L，N的一个排列，所以11(1)2NNiiiiN NRS，2211(1)(21)6NNiiiiN NNRS，从而 iR和 iS的平均数都是12NRS.因此，22222111112NNNNNiiiiiiiiiRRRRRRRNR2(1)(21)(1)64N NNN N(1)(1)12N NN，同理可得21(1)(1)12NiiN NNSS，由于21Niid2211NNiiiiiiRSRRSS22112NNiiiiRRSS1NiiiRRSS1(1)(

28、1)2212NiiiN NNRRSS，所以2211222111(1)(1)161221(1)(1)112NNiiiNiiiNNiiiiiN NNRRSSddN NNN NRRSS.（ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是 0.91，答案：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；答案：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关.如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系.21.（1）设点(,)P x y，依题

29、意可得22(3)324 33xyx，所以2223 4 3343xyx，化简得2244xy，即 E 的方程为2214xy.（2）如图所示：设直线AB的方程为1(2)yk x，0k，11(,)A x y，22(,)B xy，联立方程组2221440ykxkxy，可得222(14)8(21)16160kxkkxkk，则2228(21)4(14)(1616)kkkkk 2222644416441640kkkkkkk，由韦达定理有1228(21)14kkxxk，12216(1)14k kxxk，且由求根公式有2221222642214bbkxxaaak ，直线MA的方程为1111yyxx，111Cxxy

30、，同理221Dxxy，1121ykxk，2221ykxk，1212()yyk xx，21122112()(2)2(2)2(2)()DCxxxxxxk xk xk xx，12121122ACBDACDBCDDCSSSCDyyxxyy221212121212()()2(2)2()4()xxxxxxx xxx，又121222216(1)16(21)42()44141414k kkkx xxxkkk，且2221222642214bbkxxaaak ，所以221221212226414()1616164412()4414(4)()14ACBDkkxxkSx xxxkkkk，当且仅当12k 时，四边形AC

31、BD的面积最大，最大值为 4.22.（1）由已知函数 f x的定义域为0,，学科网（北京）股份有限公司由 2ln10fxxax，得2ln1xax，令函数 212ln12ln,xxu xuxxx，当0ex时，0ux，函数 u x在0,e上单调递增，当ex 时，0ux，函数 u x在e,单调递减，所以max22 e()eeeu xu，因为0112ln12ln0,lim,lim0exxxxuxx，可知函数 u x的图象如下所示：所以当2 eea 时，函数 f x的零点个数为 0 个，当0a 或2 eae时，函数 f x的零点个数为 1 个，当2 e0ea时，函数 f x的零点个数为 2 个.（2）由

32、题设方程 f xg x，即22ln1eeaxxaxx，所以222lnee2lne1lneeaxxaxxxx，令 exxx，得2lneaxx，又 1e0 xx 在R上恒成立，所以 x在R上单调递增，所以2lneaxx，即12lnaxx，由已知，方程12lnaxx 有两个实根1212,x xxx，即12lnxax有两个实根1212,x xxx，由（1）得121eexx.令122112111,0eettttxx，所以1112222 ln,2 ln,atttattt令 2 ln(0)h ttt t t，所以 h ta有两个实根12,t t，先证122ett.因为 12lnh tt ，令 0h t，解得

33、10et，令 0h t，解得1et，所以 h t在10,e上单调递增，在1,e上单调递减，要证122ett，即证122ett，因为 12121,eeetth t在1,e上单调递减，只需证 122eh tht，即证 222eh tht.令 210eeF th thtt，22212ln12ln22lneeeFth thttttt ，因为22210eeettttt ，令 2210eetk ttt ，可知函数 k t在10,e上单调递增，所以210eett，所以2ln1ett，所以222ln0ett，即 0F t在10,e上恒成立，所以 F t在10,e上单调递增，所以 10eF tF，所以 222eh tht成立，即 122eh tht成立，又12121,eeett，且 h t在1,e上单调递减，所以122ett，所以122ett，即12112exx，所以21121exx，所以11211121eeexxxx，即1211eexx.