新高考2023届高考数学一轮复习作业16利用导数证明不等式习题.docx

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1、课时作业16利用导数证明不等式 基础落实练1已知f(x)1x.证明：当x1时，f(x).2已知函数f(x).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若m0，证明：ef(x)ln xx.3已知函数f(x)xexa(ln xx).(1)当a0时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x0恒有不等式f(x)1成立求实数a的值；证明：x2ex(x2)ln x2sin x.4.已知函数f(x)ln xx2a1.(1)若a 2，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证f(x1)f(x2)0.素养提升练5已知函数f(x)a sin (1x)ln x，aR.(1)若函数f(x)在区间

2、(0，1)内是增函数，求a的取值范围；(2)证明：sin sin sin 0，求证：函数f(x)eax1cos x在上存在唯一的极大值点x0，且f(x0)e.参考答案1证明：由f（x）得1x0.令h（x）1x（x1），则h（1）0，h（x）11.因为x1，所以h（x）10，所以h（x）在1，）上单调递增，所以h（x）h（1）0，即1x0，所以当x1时，f（x）.2解析：（1）因为f（x），当m0时，f（x），当x1时，f（x）0，当x0，所以f（x）在（，1）上单调递增，在（1，）上单调递减；当m0时，f（x），10，当x（1，）时，f（x）0，所以f（x）在单调递增，在，（1，）单调递减；当

3、m1，当x时，f（x）0，所以f（x）在单调递减，在（，1），单调递增（2）要证明ef（x）ln xx，只需证明ef（x）xln x，而xln x1，因此只需证明f（x），当m0时，f（x），由（1）知f（x）在（，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，所以f（x）maxf（1）；当m0时，f（x）0，所以g（x）在x（0，）上为增函数，且g（0）0，所以axex有唯一实根，即f（x）0有唯一实根，设为x0，即ax0ex0，所以f（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，）上为增函数，所以f（x）minf（x0）x0ex0a（ln x0x0）aa ln a.（2）当a0时，f（x）单调递增，f

4、（x）值域为R，不适合题意，当a0时，由（1）可知f（x）minaa ln a，设（a）aa ln a（a0），所以（a）ln a，当a（0，1）时，（a）0，（a）单调递增，当a（1，）时，（a）2ln x2sin x，又因为ln xx1，只需证x2x2x22sin x，即x2x22sin x，当x1时，x2x222sin x结论成立，当x（0，1时，设g（x）x2x22sin x，g（x）2x12cos x，当x（0，1时，g（x）显然单调递增g（x）g（1）12cos 10，即x2x22sin x综上结论成立4解析：（1）f（x）的定义域是（0，）.当a 2时，f（x）ln xx5，f（

5、x），当0x0，当x2时，f（x）0），因为f（x）有两个极值点x1，x2，故x1，x2为方程x2xa0的两个不等实根，所以0a0，g（a）在上单调递增，故g（a）gln 10f（x1）f（x2）0.5解析：（1）由题意，f（x）a cos （1x）0在（0，1）上恒成立当0x1时，01x0，即a在（0，1）上恒成立，令g（x），0x1，则g（x）g（1）1，所以a1，因此，实数a的取值范围是（，1；（2）证明：由（1）知，当a1时，f（x）a sin（1x）ln x在（0，1）是减函数，所以f（x）f（1）0，即a sin （1x）ln x0，则sin （1x）ln x0，sin （1x）l

6、n xln （0x1），令x1（kN*），代入sin （1x）ln 可得sin ln ln ，所以sin ln ，sin ln ，sin ln ，上述不等式全部相加得：sin sin sin ln ln ln ln ln 1时，g（x）exeln k，则当0xln k时，g（x）0，从而g（x）在（0，ln k）上是减函数，所以当0xln k时，g（x）0，得在内必存在唯一的实数x0，使得tan x0a，所以当x（0，x0）时，f（x）0，则f（x）在（0，x0）上为增函数：当x时，f（x）e.当0x时，由（1）知xsin x，由（2）易证ex1x.所以eax01ax0a sin x0，从而f（x0）eax01cos x0a sin x0cos x0.下面证明：e.令t，则tet（t0），即证（1t2）et10（t0）.令（t）（1t2）et1（t0），则（t）（1t）2et0，从而（t）在（，0）上为增函数，所以当t0，（t）（0）0，即（1t2）et10（te成立