浙江省绍兴市柯桥区2021届高三下学期5月高考及选考科目适应性考试数学试卷.docx

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1、浙江省绍兴市柯桥区2021届高三下学期数学5月高考及选考科目适应性考试试卷一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合 A=x|x2 ， B=x|1x4 ，则 AB= （ ） A.x|0x4B.x|1x2C.x|1x4D.x|2xbcB.bacC.cabD.cba8.将函数 y=2sinx2(x0，2) 的图象绕着原点逆时针旋转角 得到曲线 T ，当 (0， 时都能使 T 成为某个函数的图象，则 的最大值是（ ） A.6B.4C.34D.239.过点 M(1，1) 的两条直线 l1 ， l2 分别与双曲线 C ： x2a2-y2b2=1(a1，b1) 相交于点 A ， C 和点 B ， D ，

2、满足 AM=MC ， BM=MD （ 0 且 1 ）.若直线 AB 的斜率 k=2 ，则双曲线 C 的离心率是（ ） A.2B.2+1C.2D.310.已知四面体 ABCD ，分别在棱 AD ， BD ， BC 上取 n+1(nN*，n3) 等分点，形成点列 An ， Bn ， Cn ，过 Ak ， Bk ， Ck(k=1，2，n) 作四面体的截面，记该截面的面积为 Mk ，则（ ） A.数列 Mk 为等差数列B.数列 Mk 为等比数列C.数列 Mkk 为等差数列D.数列 Mkk 为等比数列二、填空题（共7题；共36分）来&源:zzs%te*11.设二项式 (x-2x)6 展开中 x3 的系数

3、为 m ，常数项为 n ，则 m= _， n= _. 12.已知 (0，2) ，若 sin(-4)=35 ，则 sin2= _， cos= _. 13.已知直线 l ： cosx+siny+1=0 （ R ），圆 C ： (x-2)2+y2=4 .则坐标原点 O 到直线 l 的距离为_，若直线 l 与圆 C 相切，则直线 l 的斜率是_. 14.某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为 23 ，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是_，该学生在面试时得分的期望值为_分. 中国教#育出版*网

4、&15.如图，一个 mm 幻方，要求包含1到 m2 的所有整数，且每一行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了 55 的幻方，那么 55 幻方的每一行上整数之和为_. 16.已知函数 f(x)=2x3-x2(|x-a|+|x-b|)+x(ba) 有且只有一个零点，则 2a+b 的取值范围是_. 17.已知平面向量 e1 ， e2 ， e3 ， p ，满足 |e1|=|e2|=|e3|=1 ， e1e2=0 ， |p|1 ，则 (p-e1)(p-e2)+(p-e2)(p-e3)+(p-e3)(p-e1) 的最大值为_. 三、解答题（共5题；共74分）18

5、.已知函数 g(x) 的图象与函数 f(x)=sin(2x-3) 的图象关于 y 轴对称. （1）求函数 g(x) 的单调递减区间； （2）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 a=2 ， g(A)=-32 ，求 ABC 面积的最大值. 19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD/BC ， BC=2AD=2PA=4 ， AB=CD=10 . （1）证明： BD 平面 PAC ； （2）求直线 CD 与平面 PBD 所成角的正弦值. 来源%:*中#国教育出版网20.已知数列 an 前 n 项和为 Sn ，且 Sn+an

6、=1 ， nN* ，等差数列 bn 满足： a2b4=1 ， a3b7=S3 . （1）求数列 an ， bn 的通项公式； 来源:zzstep%.com&#（2）设 cn=bn，n为奇数anbn，n为偶数 ，证明： c1+c2+c3+c2n1) 的直线 l 与椭圆 C 相切于第一象限的点 M ， O 是坐标原点， PNOM 于 N . （1）求点 M 的坐标（用 m 表示）： （2）求 |OM|+2|ON| 的取值范围. 22.已知正数 x ， y 满足方程 (x+1)(lnyx+x+1)=2yex . （1）若 x=y ，求证：方程有且只有一个实数解. 中&国教育*%出版网（2）当 y1

7、时，求证： x12 ； （3）求证： x1 . 参考数据： ln20.69 ， e1.65 .答案解析部分来源&%:#中国教育出版网*一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合 A=x|x2 ， B=x|1x4 ，则 AB= （ ） A.x|0x4B.x|1x2C.x|1x4D.x|2x4【答案】 D 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】 AB=x|2x0 ，故答案为：B 【分析】由f(x)=e|x+1|-x2-2x-2=e|x+1|-(x+1)2-1得出f(x) 的图象关于 x=-1 对称，再根据f(x) 的图象关于 x=-1 对称即可得出答案.7.已知 a=0.30.2 ， b=0.2

8、0.3 ， c=log0.30.2 ，则（ ） A.abcB.bacC.cabD.cba【答案】 C 来源&:中教*#网【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】解：由 y=0.2x 单调递减可知： 0.20.30.20.2 . 由 y=x0.2 单调递增可知： 0.20.20.30.2 ，所以 0.20.30.30.2 ，即 ba ，且 alog0.30.3=1 ，所以 cab .故答案为：C. 【分析】 利用对数函数和指数函数的性质求解即可得出答案.8.将函数 y=2sinx2(x0，2) 的图象绕着原点逆时针旋转角 得到曲线 T ，当 (0， 时都能使

9、T 成为某个函数的图象，则 的最大值是（ ） A.6B.4C.34D.23【答案】 B 【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】解： y=cosx2 在原点处的切线斜率为 k=1 ，切线方程为 y=x，当 y=2sinx2 绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角 大于 4 ，则旋转所成的图象与 y 轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图象.所以 的最大值为 4 .故答案为：B.来源:#*中教网 【分析】 先画出函数 y=2sinx2(x0，2)的图象，然后求出在坐标原点的曲线的切线OM，由图可知当此三角函数图象的弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于 大于 4 ， 曲线C都不是一个函

10、数的图象，求出此角即可9.过点 M(1，1) 的两条直线 l1 ， l2 分别与双曲线 C ： x2a2-y2b2=1(a1，b1) 相交于点 A ， C 和点 B ， D ，满足 AM=MC ， BM=MD （ 0 且 1 ）.若直线 AB 的斜率 k=2 ，则双曲线 C 的离心率是（ ） A.2B.2+1C.2D.3【答案】 D 【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4) ， 则 AM=(1-x1，1-y1)，MC=(x3-1，y3-1)，BM=(1-x2，1-y2)，MD=(x4-1，y4-1) ，

11、因为 AM=MC ， BM=MD ，所以 AB CD ，所以 kAB=kCD=2 ，所以 x1+x3=1+y1+y3=1+ ， x2+x4=1+y2+y4=1+ ，所以 x1+x2+(x3+x4)=2(1+)y1+y2+(y3+y4)=2(1+) ，所以 x1+x2+(x3+x4)=y1+y2+(y3+y4) ，因为 x12a2-y12b2=1 ， x22a2-y22b2=1 ，所以 y1-y2x1-x2=b2a2x1+x2y1+y2 ，所以 2=b2a2x1+x2y1+y2 ，所以 2a2(y1+y2)-b2(x1+x2)=0 ，则 x1+x2=2a2(y1+y2)b2同理得， 2a2(y3

12、+y4)-b2(x3+x4)=0 ，则 x3+x4=2a2(y3+y4)b2www.z&z#所以 2a2(y1+y2)b2+2a2(y3+y4)b2=y1+y2+(y3+y4) ，因为 0 且 1 ，所以 2a2b2=1 ，即 2a2=b2，所以离心率 e=ca=c2a2=a2+b2a2=3 ，故答案为：D 【分析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4) ，由共线向量的坐标运算，得x1+x2+(x3+x4)=y1+y2+(y3+y4) ，由点差法结合直线的斜率得出2a2(y1+y2)-b2(x1+x2)=0 ，两者比较可得a，b的等式，从而求得离心率.来源:

13、中国教育%*出&版网10.已知四面体 ABCD ，分别在棱 AD ， BD ， BC 上取 n+1(nN*，n3) 等分点，形成点列 An ， Bn ， Cn ，过 Ak ， Bk ， Ck(k=1，2，n) 作四面体的截面，记该截面的面积为 Mk ，则（ ） A.数列 Mk 为等差数列B.数列 Mk 为等比数列C.数列 Mkk 为等差数列D.数列 Mkk 为等比数列【答案】 C 【考点】等差数列，等比数列 【解析】【解答】设 AB=a ， CD=b ， AB 与 CD 所成角为 ， 由题意可知： AkBk/AB ， BkCk/CD ，来&%源:中教网根据平行线分线段成比例可知： AkBk=(

14、1-kn+1)a ， BkCk=kn+1b ，来源:中国教育出%#版&网Mk=AkBkBkCksin=(n+1-k)k(n+1)2absin ，对于A， Mk+1-Mk=(n+1-k-1)(k+1)-(n+1-k)k(n+1)2absin =n-2k(n+1)2absin ，则 Mk+1-Mk 不恒等于常数，则数列 Mk 恒为等差数列不成立，A不符合题意；对于B， Mk+1Mk=(n+1-k-1)(k+1)(n+1)2absin (n+1-k)k(n+1)2absin =(n-k)(k+1)(n+1-k)k ，中国教&%育出版网Mk+1Mk 不恒等于不为零的常数，则数列 Mk 恒为等比数列不成

15、立，B不符合题意；对于C， Mkk=n+1-k(n+1)2absin ，则 Mk+1k+1-Mkk=n+1-k-1(n+1)2absin -n+1-k(n+1)2absin =-1(n+1)2absin ，即 Mk+1k+1-Mkk 恒为常数， Mkk 为等差数列，C符合题意；对于D， Mk+1k+1Mkk=n+1-k-1(n+1)2absinn+1-k(n+1)2absin=n-kn+1-k ，即 Mk+1k+1Mkk 不恒等于不为零的常数，则数列 Mkk 恒为等比数列不成立，D不符合题意.故答案为：C. 【分析】设 AB=a ， CD=b ， AB 与 CD 所成角为 ，根据平行关系可利用

16、n，k，a，b表示出AkBk ， BkCk，根据面积公式得到 Mk，进而得到Mkk ， 利用等差数列和等比数列的定义依次判断各个选项中的数列是否满足定义，由此得到结果.二、填空题（共7题；共36分）11.设二项式 (x-2x)6 展开中 x3 的系数为 m ，常数项为 n ，则 m= _， n= _. 【答案】 1；-160 【考点】二项式定理 【解析】【解答】二项式 (x-2x)6 展开式的通项公式为 Tr+1=C6r(x)6-r(-2x)r=C6r(-2)rx3-r ， w&ww.z*zste%令 3-r=3 ，解得 r=0 ，所以 m=C60(-2)0=1 ，令 3-r=0 ，解得 r=

17、3 ，所以 n=C63(-2)3=-160 ，来源:zzstep.%#co&m故答案为：1，-160来源:zz*ste%# 【分析】 根据题意，由二项式定理可得二项式 (x-2x)6展开式的通项，令x的指数为3，解可得r的值，将r的值代入二项式的通项，可得含x3项，即可得x3项的系数m，n12.已知 (0，2) ，若 sin(-4)=35 ，则 sin2= _， cos= _. 来%源:中&教*网【答案】725；210【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】因为 (0，2) ， -4(-4，4) ， 又因为 sin(-4)

18、=35 ，所以 cos(-4)=1-sin2(-4)=1-(35)2=45，所以 sin=sin(-4+4)=sin(-4)cos4+cos(-4)sin4=3522+4522=7210 ， cos=cos(-4+4)=cos(-4)cos4-sin(-4)sin4=4522-3522=210，来%源:#中教*网&所以 sin2=2sincos=27210210=725 .中国%教育*&出版网故答案为： 725 ， 210来*#&源:中教网 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos-4的值，再根据两角和差的正弦、余弦公式，利用二倍角的正弦函数公式可求sin 2的值13.已知直线 l

19、 ： cosx+siny+1=0 （ R ），圆 C ： (x-2)2+y2=4 .则坐标原点 O 到直线 l 的距离为_，若直线 l 与圆 C 相切，则直线 l 的斜率是_. 【答案】 1；33【考点】点到直线的距离公式，同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】解：原点 O 到直线 l 的距离为 d=1cos2+sin2=1 ； 直线 l 与圆 C 相切，则 d=|2cos+1|cos2+sin2=2 ，则 cos=12 或 cos=-32 （舍），来#源:%中教网*所以 cos=12 ，则 sin=32 ，斜率 k=-cossin=33 .故答案为：1； 33 . 【分析】利用点到直线的

20、距离公式以及同角三角函数基本关系式即可得出答案.14.某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为 23 ，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是_，该学生在面试时得分的期望值为_分. 【答案】49；30 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】因为每道题相互不影响，且每道题答对的概率都为 23 ， 所以该学生在面试时恰好答对2道题的概率是 P=C32(23)2(1-23)=49 ，来%源#:zzstep.*com&设该学生在面试时答对题数为 X

21、 ，则随机变量 XB(3，23) ，来&源:*中国教育出版网所以该学生在面试时答对题目数的期望为 E(X)=323=2 ，来源:zzstep&.com*又由每道题答对的概率都为 23 ，所以答一道试题得分的期望值为 2023-1013=15 （分），所以该学生在面试时得分的期望值为 E(X)15=215=30 （分）.故答案为： 49 ；30. 【分析】利用n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率计算公式以及数学期望的求法计算得出答案.15.如图，一个 mm 幻方，要求包含1到 m2 的所有整数，且每一行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了 55 的

22、幻方，那么 55 幻方的每一行上整数之和为_. 【答案】 65 【考点】归纳推理 来源*:zzstep.co&m【解析】【解答】因为 1+2+3+25=(1+25)252=1325=325 ， 因为 55 幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为 3255=65 .故答案为：65.来源:中*&国教育#出版网 【分析】 首先分析幻方的幻和，因为 55 幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为3255=65.16.已知函数 f(x)=2x3-x2(|x-a|+|x-b|)+x(ba) 有且只有一个零点，则 2a+b 的取值范围是_. 【答案】(-2，6)【考点】函数

23、零点的判定定理 【解析】【解答】显然 f(0)=0 ，即 x0 时 f(x)=0 ，等价转化为方程 2x+1x=|x-a|+|x-b|(ba) 无实根，即 h(x)=|x-a|+|x-b|(ba) 与 g(x)=2x+1x （图象在一、三象限）无交点， 故只需考虑在第一象限无交点，因为 g(x)=2x+1x22(x0) ，当且仅当 x=22 时取等号，h(x)=|x-a|+|x-b|=2x-a-b，xbb-a，axb-2x+a+b，x2x-a-b(x0)1x-a-b ，即 a+b0 ；来%&源#:中教网 h(x)=|x-a|+|x-b|b-a ，即 0b-a22 ； -2x+a+b2x+1xa

24、+b4x+1x ，即 a+b4 .综上可得 0b-a220a+ba) 无实根，即 h(x)=|x-a|+|x-b|(ba) 与 g(x)=2x+1x （图象在一、三象限）无交点， 利用函数的图象得出h(x)=|x-a|+|x-b|=2x-a-b，xbb-a，axb-2x+a+b，xa ， 结合零点定理推出结果即可17.已知平面向量 e1 ， e2 ， e3 ， p ，满足 |e1|=|e2|=|e3|=1 ， e1e2=0 ， |p|1 ，则 (p-e1)(p-e2)+(p-e2)(p-e3)+(p-e3)(p-e1) 的最大值为_. 【答案】5+32【考点】向量在几何中的应用 【解析】【解答

25、】设 M=(p-e1)(p-e2)+(p-e2)(p-e3)+(p-e3)(p-e1) ， 则 M=3p2-(e1+e2)p+(e2+e3)p+(e3+e1)p+(e1e2+e2e3+e3e1)=3p2-2(e1+e2+e3)p+(e1e2+e2e3+e3e1) =3(p-e1+e2+e33)2-(e1+e2+e3)23+(e1e2+e2e3+e3e1)=3(p-e1+e2+e33)2-e12+e22+e32+2(e1e2+e2e3+e3e1)3+(e1e2+e2e3+e3e1)来#源:中国教&育出*版网 =3(p-e1+e2+e33)2+e1e2+e2e3+e3e13-1.来源:*#设 OP

26、=p=(x，y) ， e1e2=0 ，不妨设 OE1=e1=(1，0) ， OE2=e2=(0，1) ，OE3=e3=(cos，sin) ， 0，2) ， OG=e1+e2+e33 ，即 G 为 E1E2E3 的重心.来*源:&#中教网则 (p-e1+e2+e33)2=|PG|2 ，点 P 位于圆上或圆内，故当 P 在射线 GO 与圆周交点时， |PG|2 最大，即 (|OG|+1)2 最大时.M3(|OG|+1)2+e1e2+e2e3+e3e13-1=3(|(1+cos，1+sin)3|+1)2+sin+cos3-1 =3133+2(cos+sin)+12+sin+cos3-1，由 -2si

27、n+cos2 得， M3133+22+12+23-1=5+32 .当且仅当 =4 时， M 取到最大值 5+32 .来源:zz#s%*故答案为： 5+32 . 【分析】设 M=(p-e1)(p-e2)+(p-e2)(p-e3)+(p-e3)(p-e1) ， 设 OP=p=(x，y) ， e1e2=0 ，不妨设 OE1=e1=(1，0) ， OE2=e2=(0，1) ，OE3=e3=(cos，sin) ， 0，2) ，点 P 位于圆上或圆内，故当 P 在射线 GO 与圆周交点时， |PG|2 最大，即 (|OG|+1)2 最大，M3(|OG|+1)2+e1e2+e2e3+e3e13-1=3133

28、+2(cos+sin)+12+sin+cos3-1 ， 由-2sin+cos2 可求出 M 的最大值.三、解答题（共5题；共74分）18.已知函数 g(x) 的图象与函数 f(x)=sin(2x-3) 的图象关于 y 轴对称. （1）求函数 g(x) 的单调递减区间； （2）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 a=2 ， g(A)=-32 ，求 ABC 面积的最大值. 【答案】 （1）由己知可得 g(x)=f(-x)=sin(-2x-3)=-sin(2x+3) ， 由 -2+2k2x+32+2k ，解得： -512+kx12+k ，所以 g(x

29、) 的单调递减区间是 -512+k，12+k(kZ) .（2）由 g(A)=-32 ，即 sin(2A+3)=32 ，所以 2A+3=3 （舍） www.z*zst%或 2A+3=23 ，故 A=6 ，又由余弦定理可得： 2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-3bc(2-3)bc ，即 bc22-3=2(2+3) ，当且仅当 b=c=3+1 时取到等号，于是有 SABC=12bcsin A=14bc2+32 ，来%源:中国教育出版网#所以 ABC 面积的最大值为 2+32 .中国教育&出*版网#【考点】正弦函数的单调性，余弦定理 【解析】【分析】（1）由对称性可得 g(x)=f(-x)

30、=sin(-2x-3)=-sin(2x+3) ，根据正弦函数的单调性即可得到函数g(x)的单调递减区间；来源:zz&s*tep#.com （2）由 g(A)=-32 求出A，再根据余弦定理可得 ABC面积的最大值 . 来源:中教#%网来源:中#国教育出版&*网19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD/BC ， BC=2AD=2PA=4 ， AB=CD=10 . 来源:中&*教网（1）证明： BD 平面 PAC ； （2）求直线 CD 与平面 PBD 所成角的正弦值. 【答案】 （1）设 AC 与 BD 相交于 O ， AEBC 于 E ， 在 ABE 中可得 AE=3 ，又 CE=3 ，所以 ACE=45 ，同理可得 DBC=45 ，所以 BDAC ，又因为 PA 平面 ABCD ，所以 PABD ，所以 BD 平面 PAC .（2）解法一：由（1）可知平面 PBD 平面 PAC ，且平面 PBD 平面 PAC=PO ，过 C 作 PO 延长线的垂线，垂足为 H ， 来源:zzstep&.com#%则 CH 平面 PBD ，故 CDH 即为所求的角，中国%教#育&出版网*由于 OC=2OA=22 ， OP=6 ，由等面积可得： CH=PACOPO=433 ，所以 sinCDH=CHCD=433110=23015 ，所以直线 CD 与平面 PBD