艺术生高考数学专题讲义-考点40圆的方程.docx
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1、考点四十 圆的方程知识梳理1圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆确定一个圆最基本的要素是圆心和半径2. 圆的标准方程(1) 以(a,b)为圆心,r (r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(2) 特殊的,以(0,0)为圆心,r (r0)为半径的圆的标准方程为x2y2r23. 圆的一般方程方程x2y2DxEyF0可变形为.(1) 当D2E24F0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;(2) 当D2E24F0时,该方程表示一个点;(3) 当D2E24F0时,该方程不表示任何图形4. 点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系:(1)点在圆上
2、:(x0a)2(y0b)2r2;(2)点在圆外:(x0a)2(y0b)2r2;(3)点在圆内:(x0a)2(y0b)2r2.5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2) 形如taxby形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3) 形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题典例剖析题型一 求圆的方程例1若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为 答案(x2)2(y)24解析 因为圆C经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x2上,又圆与y轴相切,所以半径r2,设圆
3、心坐标为(2,b),则(12)2b24,b23,b变式训练 (1)圆心在y轴上且经过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是 (2) 已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为_答案(1) x2y210y0 (2) (x2)2y210解析 (1)设圆心为(0,b),半径为r,则r|b|,圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上,9(1b)2b2,解得:b5.圆的方程为x2y210y0.(2) 设圆心坐标为(a,0),易知,解得a2,圆心为(2,0),半径为,圆C的方程为(x2)2y210.解题要点 求圆的方程一般用待定系数法,根据题意,可以选择标准方程或
4、一般方程求解题型二 点与圆的位置关系例2已知圆的方程是(x2)2(y3)24,则点P(3,2)满足 答案在圆内解析因为(32)2(23)220,点P在圆C外部题型三 二次方程表示圆的条件例3方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件的是 答案 m1解析 由(4m)2445m0,得m1.变式训练 方程2x22y24x8y100表示的图形是 答案 一个点解析 方程2x22y24x8y100,可化为x2y22x4y50,即(x1)2(y2)20,方程2x22y24x8y100表示点(1,2)解题要点 1.方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是D2E24F02.二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0
5、表示圆的充要条件:,即方程中不含xy项, x2,y2前系数相同,且D2E24AF0题型四 与圆有关的最值问题例4已知实数x、y满足方程x2y24x10.求:(1)的最大值和最小值;(2)yx的最小值;(3)x2y2的最大值和最小值解析(1)如图,方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆设k,即ykx,则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值由,解得k23,kmax,kmin.(也可由平面几何知识,得OC2,CP,POC60,直线OP的倾斜角为60,直线OP的倾斜角为120)(2)设yxb,则yxb,仅当直线yxb与圆切于第四象限时,截距b取
6、最小值,由点到直线的距离公式,得,即b2,故(yx)min2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方,故连接OC,与圆交于B点,并延长交圆于C,则(x2y2)max|OC|2(2)274,(x2y2)min|OB|2(2)274.解题要点(1)与圆相关的最值,若几何意义明显时,可充分利用几何性质,借助几何直观求解否则可转化为函数求最值(2)形如u形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;形如taxby形式的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题当堂练习1圆心在直线2x3y10上的圆与x轴交于A(1,0),
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