全国统考版高考数学二轮复习专题五数列经典题集训学案理.docx

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1、数列一、选择题1已知Sn是等差数列an的前n项和，且a2+a8=4，则（）A1B2C6D18【答案】B【解析】根据等差数列的性质，可得a2+a8=a1+a9=4，则，故选B【点评】本题主要考了等差中项，属于基础题2“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（）A45B36C28D21【答案】D【解析】由题意分析可得a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，则“三角

2、形数”的通项公式，故选D【点评】本题以数学文化为背景，考查数列知识及运算能力，难度中等偏易3已知等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列an的通项公式为（）Aan=6n+2Ban=6n2Can=4n+2Dan=4n2【答案】B【解析】设公差为d，依题意得，解得a1=4，d=6，所以an=a1+n1d=6n2，故选B【点评】本题考了等差数列通项公式的求法，属于基础题4数列an是等差数列，Sn为其前n项和，且a10，a2020+a20210，a2020a20210，则使Sn0成立的最大正整数n是（）A2020B2021C4040D4041【答案】C【解析】设数列an的公差为

3、d，由a10，a2020+a20210，a2020a20210，可知a20200，所以d0，数列an为递增数列，S4040=2020a1+a4040=2020a2020+a20210，所以可知n的最大值为4040，故选C【点评】本题求满足Sn0的最大正整数n的值，关键就是求出Sn0时成立的n的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解5设Sn是数列an的前n项和，若，则S2021=（）ABCD【答案】B【解析】在数列an中，则，以此类推可知，对任意的nN，an+3=an，即数列an是以3为周期的周期数列，2021=3673+2，因此，故选B【点评】根据递推公式证明数列an是周期数列的步骤：（

4、1）先根据已知条件写出数列an的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数k；（2）证明an+k=ankN，则可说明数列an是周期为k的周期数列6若等差数列an满足a1+a3=4，a5+a7=4，则等差数列an的公差（）A2B1C0D【答案】D【解析】a5+a7a1+a3=a1+a3+8da1+a3=8d=8，d=1，故选D【点评】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换72015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若

5、年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（）ABCD【答案】D【解析】由题意，2016年1月1日，存入的a元，一年后存款及利息为，二年后存款及利息为a(1+p)2，依次类推，由此可得，从2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息为：，故选D【点评】本题考了数列的实际运用，属于基础题8等比数列an中，a1+a2=6，a3+a4=12，则an的前8项和为（）A90B302+1C452+1D72【答案】A【解析】an是等比数列，a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8也成等比数列

6、，a1+a2=6，a3+a4=12，a5+a6=24，a7+a8=48，前8项和为a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90，故选A【点评】本题考了等比数列通项公式的运用，以及前n项和的求法9设等比数列an的前n项和为Sn，若，则（）ABCD【答案】D【解析】an是等比数列，S5，S10S5，S15S10也称等比数列，设S5=2k，S10=k，则S10S5=k，则，故选D【点评】本题考了等比数列前n项和的基本性质，属于基础题10已知等比数列an的公比为q，首项为a，前n项和为Sn，（）A若a0，则anSn0B若q0，则anSn0C若a0，则anSn0D若q0，则anSn0，故C错误，

7、A正确，B正确；若q1，则，故，若q1，则qn10，1qn0，1q0，若，则qn10，1qn0，1q0，故anSn0，若q0，则，其中q1q0，即anSn0；当n为奇数，则a2qn1qn0，故A、D错误，故选B【点评】本题主要考了等比数列前n项和公式以及通项公式，属于中档题11（多选）已知数列an的前n项和是Sn，则下列说法正确的有（）A若，则an是等差数列B若Sn=2an1，则an是等比数列C若an是等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列D若an是等比数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列【答案】ABC【解析】若，当n=1时，a1=S1=2，n2时，an=SnSn1

8、=2n2n1=2n，an=2n(n)，anan1=2，an是等差数列，故A正确；若Sn=2an1，当n=1时，S1=2a11=a1，a1=1，n2时，an=SnSn1=2an12an11，an是等比数列，B正确；设等差数列an的公差为d，首项是，S2nSn=an+1+an+2+an=(a1+nd)n+(a2+nd)+(an+nd)=Sn+n2d，同理，S3nS2n=(S2nSn)+n2d，因此2S2nSn=Sn+S3nS2n，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列，C正确；若等比数列an的公比，则，不可能成等比数列，D错误，故选ABC【点评】本题考了等比数列前n项和的性质，以及前n项和与

9、通项的关系12（多选）设等比数列an的公比为q，其前q项和为Sn，前n项积为Tn，且满足，a2020a20211，a20201a202110，则下列选项正确的是（）ABCT2020是数列Tn中的最大项D【答案】ACD【解析】由a20201a202111，可得a2020与a2021同号，即q0，且一个大于1，一个小于1，若q1，则an=a1qn11，不符合题意；若，则，an=a1qn1为递减数列，满足0a20211a2020，故A正确；对于B选项，由于，数列an为正项递减数列，0a20211a2020，所以，S2021S2020=a20211，D选项正确，故选ACD【点评】在等比数列an的公比q

10、的取值不确定时，首先分析q的符号，进一步确定q的取值范围，解本题的关键就是结合已知条件分析出，并结合等比数列an的单调性来进行推导二、填空题13数列an满足a1=1，an+1+an=3n+2，则S31=_【答案】93【解析】an+1+an=3n+2，an+an1=3n1+2，把这些相加的：把这些相减的：2a1+，得2Sn+1=2(3n+2)+2，所以Sn+1=3n+3，所以S31=93故答案为93【点评】数列求和的常用：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法三、解答题14设数列an是等差数列，已知a1=3，a3=9（1）求数列an的通项公式；（2）设，求b1+b2+b2021【答案】（1）

11、an=3n；（2）【解析】（1）设等差数列an的公差为d，则由题意有a3=a1+2d，an=3+3(n1)=3n（2），【点评】本题考查了等差数列的通项公式的求法，以及裂项相消求前n项和的方法15已知数列an的首项，若向量a=an+1，2，b=1，an，nN，且ab（1）求数列an的通项公式an；（2）已知数列bn，若，求数列的前n项和Sn【答案】（1）an=2n，nN；（2）Sn=n12n+1+2【解析】（1）由ab，则ab=an+12an=0，nN，所以an+1=2an，nN，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则an=22n1=2n，nN（2）由，则anbn=n2n，nN，由Sn=

12、121+222+323+n12n1+n2n由2，可得2Sn=122+223+324+n12n+n2n+1由，可得Sn=121+22+23+2nn2n+1，则Sn=n12n+1+2，nN，所以数列的前n项和Sn=n12n+1+2【点评】数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列an的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求

13、得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如an=1nfn类型，可采用两项合并求解16已知数列an满足：，（1）求a2n；（2）若，求数列an的最小项【答案】（1）；（2）【解析】（1）设数列的前n项和为Sn，即，则，故，当n=1，a2=1，也符合此式，（2）考虑奇数项，又，得，而2q20，当n2时，a2n+1a2n1，即奇数项中a5最小，而，所以数列an的最小项为【点评】数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分

14、段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项17在各项均为正数的等比数列an中，a2=4，a4=16；数列bn的前n项和Sn=n2（1）求数列an的首项a1和公比q；（2）写出数列an的通项公式，并求数列bn的通项公式；（3）求数列an+bn的前n项和Tn【答案】（1）；（2）an=2n，bn=2n1；（3）Tn=2n+1+n22【解析】（1）因为an是各项均为正数的等比数列，则，解得（2）由（1）知，an=2n在数列bn中，Sn=n2，当n=1时，b1=S1=1；当n2时，bn=SnSn1=n2n12=2n1；此式对n=1也成立综上所述：bn=2n1（3）【点评】本题考查了等比数列，等差数列的通项公式，以及数列前n项和与通项的关系