备战2023年高考数学二轮专题复习专题六　解析几何培优提能14　圆锥曲线中二级结论的应用.docx

《备战2023年高考数学二轮专题复习专题六　解析几何培优提能14　圆锥曲线中二级结论的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2023年高考数学二轮专题复习专题六　解析几何培优提能14　圆锥曲线中二级结论的应用.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、培优提能14圆锥曲线中二级结论的应用(1)椭圆、双曲线中的常用二级结论.椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线:x2a2-y2b2=1(a0,b0).焦半径的数量关系式:直线l过焦点F与椭圆相交于A,B两点,则1|AF|+1|BF|=2ab2,同理,双曲线中,1|AF|+1|BF|=2ab2.焦点三角形的面积公式:P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的一点,且F1PF2=,则椭圆中SPF1F2=b2tan 2,双曲线中SPF1F2=b2tan 2.圆锥曲线周角定理:已知点P为椭圆(或双曲线)上异于A,B的任一点,A,B为长轴(或实轴)端点,则椭圆中kPAkPB=-b2a2,双曲

2、线中kPAkPB=b2a2.圆锥曲线垂径定理:已知直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,点M为AB的中点,O为原点,则kOMkAB=-b2a2.同样地,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中有kOMkAB=b2a2.已知点P(x0,y0)为椭圆(或双曲线)上任一点,则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为:椭圆中x0xa2+y0yb2=1;双曲线中x0xa2-y0yb2=1.(2)与抛物线的焦点弦有关的二级结论:设AB是抛物线y2=2px(p0)的一条焦点弦,焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=p24,y1y2=-p2.焦半径|AF|=x1+p2=

3、p1-cos,|BF|=x2+p2=p1+cos.焦点弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2,且1|AF|+1|BF|=2p(为弦AB所在直线的倾斜角).以AB为直径的圆与准线相切,以FA为直径的圆与y轴相切.(3)抛物线方程为y2=2px(p0),过点(2p,0)的直线与之交于A,B两点,则OAOB,反之,也成立.培优点1结论在椭圆、双曲线中的应用典例1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,1),椭圆C的离心率为e=32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,设直线l与圆O:x2+y2=R2(1R2)相切于点A,与椭圆C相切于点B,当R为何值时,线段AB的长度最大?试求出

4、最大值.解:(1)由题意知,b=1,ca=32,故a2-b2a2=34,解得a2=4.故椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)法一连接OA,OB,如图所示.由题意设直线l的方程为y=kx+m(m0),因为直线l与圆O:x2+y2=R2(1Rb10),双曲线的方程为x2a22-y2b22=1(a20,b20),焦距为2c(c0),根据焦点三角形的面积公式可得b12tan 6=b22tan 6,即b12=3b22,又b12=a12-c2,b22=c2-a22,所以a12-c2=3(c2-a22),所以a12+3a22=4c2,所以a12c2+3a22c2=4,即1e12+3e22=4,因为42

5、3e12e22,得e1e232,当且仅当1e12=3e22,即e2=3e1时,取等号.综上,e1e2的最小值为32.故选B.(2)如图所示,由椭圆的性质可得kAP1kBP1=kAP2kBP2=-b2a2=-12.由椭圆的对称性可得kBP1=kAP10,kBP10=kAP1,kAP1kAP10=-12.同理可得kAP2kAP9=kAP3kAP8=kAP4kAP7=kAP5kAP6=-12.所以直线AP1,AP2,AP10这10条直线的斜率乘积为(-12)5=-132.故选B.培优点2结论在抛物线中的应用典例2(1)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A

6、,B两点,若OAOB=-12,则抛物线C的方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=8xD.y2=4x(2)点F是抛物线y2=4x的焦点,O为原点,点A,B在抛物线上且满足 AF=3FB,则AOB的面积为.解析:(1)设抛物线为y2=2px(p0),直线AB:x=my+p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=p24,y1y2=-p2,得OAOB=x1x2+y1y2=p24-p2=-34p2=-12,得p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.故选C.(2)因为AF=3FB,设抛物线y2=4x的焦点弦的倾斜角为,所以|AF|=p1-cos,|FB|=p1+cos,所以p1-co

7、s=3p1+cos,所以cos =12,sin =32.又因为|AB|=|AF|+|BF|=2psin2,所以SAOB=12|AF|OF|sinAFO+12|BF|OF|sinBFO=12|OF|2psin2sin =12p22psin=433.答案:(1)C(2)433该题通过抛物线弦长公式的结论的拓展,将复杂的面积问题抽象为长度、距离问题,体现了数学抽象的核心素养;通过倾斜角、斜率联立方程坐标运算,体现了数学运算的核心素养.触类旁通2(1)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(C)A.5B.

8、6C.163D.203(2)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为(D)A.334B.938C.6332D.94解析:(1)如图,过点A作ADl于点D,设准线l与x轴的交点为M.|AD|=|AF|=12|AC|=4,|OF|=|OM|=p2=|AD|4=414=1,所以p=2,因为1|AF|+1|BF|=2p,|AF|=4,所以|BF|=43,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=163.故选C.(2)由2p=3,得|AB|=2psin230=3sin230=12.原点到直线AB的距离d=|OF|sin 30=38,故SAOB=12|AB|d=121238=94.故选D.