备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第一册第一章集合与常用逻辑用语、不等式第4节基本不等式.docx

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1、第4节基本不等式 选题明细表 知识点、方法题号利用基本不等式求最值1,2,3,5,6,7,9,12基本不等式的应用4,8,10,11,13,14,151.当x1时,f(x)=xx2+4的最大值为(A)A.14 B.12C.1D.2解析:因为x1,故f(x)=xx2+4=1x+4x12x4x=14,当且仅当x=4x,即x=2时,取等号,故f(x)=xx2+4的最大值为14.2.已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个式子中最大的是(B)A.2a+b B.1a+1bC.2ab D.2a2+b2解析:因为a,b为互不相等的正实数,所以1a+1b2ab,2a+b22ab=1ab2ab,2a2+b222

2、ab=1ab2,y1,(x-2)(y-1)=4,则x+y的最小值是(C)A.1B.4C.7D.3+17解析:因为x2,y1,(x-2)(y-1)=4,所以x+y=(x-2)+(y-1)+32(x-2)(y-1)+3=7,当且仅当x=4,y=3时,等号成立.4.已知x0,y0,且x+2y=1,若不等式2x+1ym2+7m恒成立,则实数m的取值范围是(A)A.-8m1B.m-8或m1C.-1m8D.m-1或m8解析:因为x0,y0,x+2y=1,所以2x+1y=(x+2y)(2x+1y)=4yx+xy+44+24=8(当4yx=xy,即x=2y=12时,取等号),因为不等式2x+1ym2+7m恒成

3、立,所以m2+7m8,解得-8m1.5.若0x2,则x4-x2的最大值为.解析:因为0xb0,当4a+42a+b+12a-b取到最小值时,a=.解析:因为ab0,所以2a+b0,2a-b0,所以4a+42a+b+12a-b=(2a+b)+42a+b+12a-b+(2a-b)2(2a+b)42a+b+2(2a-b)12a-b=4+2=6,当且仅当2a+b=42a+b,12a-b=2a-b,即2a+b=2,2a-b=1,即a=34,b=12时,等号成立.答案:348.已知函数f(x)=x2+ax+11x+1(aR),若对于任意的xN*,f(x)3恒成立,则a的取值范围是.解析:因为对任意xN*,f

4、(x)3,即x2+ax+11x+13恒成立,即a-(x+8x)+3.设g(x)=x+8x,xN*,则g(x)=x+8x42,当且仅当x=22时,等号成立,又g(2)=6,g(3)=173,g(2)g(3),所以g(x)min=173.所以-(x+8x)+3-83,所以a-83,故a的取值范围是-83,+).答案:-83,+)9.(1)若直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),求1m+2n的最小值;(2)已知x0,y0,x+3y+xy=9,求x+3y的最小值.解:(1)因为直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,所以1m+2n

5、=(1m+2n)(m+n)=3+nm+2mn3+22,当且仅当nm=2mn,即n=2m时,取等号,所以1m+2n的最小值为3+22.(2)法一(换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因为x0,y0,所以x+3y23xy,所以3xy(x+3y2)2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时,取等号,所以x+3y+13(x+3y2)29,即(x+3y)2+12(x+3y)-1080,令x+3y=t,则t0且t2+12t-1080,解得t6,即x+3y的最小值为6.法二(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=9-3y1+y,所以x+3y=9-3y1+y+3y=9-3y+3y(1+y)1+y=9+3y

6、21+y=3(1+y)2-6(1+y)+121+y=3(1+y)+121+y-623(1+y)121+y-6=12-6=6,当且仅当3(1+y)=121+y,即x=3,y=1时,等号成立,所以x+3y的最小值为6.10.(2022山东潍坊二模)已知正实数a,b满足a2+2ab+4b2=6,则a+2b的最大值为(B)A.25 B.22C.5 D.2解析:令t=a+2b,则t2=a2+4ab+4b2=6+2ab.又因为6-2ab=a2+4b22a24b2=4ab(当且仅当a=2b时,取等号)所以ab1,所以6+2ab8,所以t28,又t0,所以00,b0,c0),因为开口向上且最小值为0,所以=b

7、2-4ac=0.所以b=2ac,所以a+b+c=a+2ac+c=1.因为a+c2ac,所以1=a+c+2ac4ac(当且仅当a=c时,取等号),结合a+2ac+c=1可知当a=c=14时,等号成立,所以ac14,即ac116,当且仅当a=c=14时,等号成立,所以ac的最大值为116.因为a+2ac+c=1,所以(a+c)2=1,所以c=1-a.因为a=1-b=a+c=a+(1-a)2=2a-2a+1,所以=2a-2+1a=2a+1a-2.因为a+c=2a-2a+1=1-b1,即2a-2a0,所以a-a0,所以a-a=a(a-1)0,所以0a1,所以0a1.所以22a1a-2=22-2,当且仅当2a=1a,即a=12时,等号成立. 所以22-2.答案:11622-2,+)