备战2024年高考数学一轮复习人教a选择性必修第一册第八章　平面解析几何培优课(五)　直线与圆锥曲线的位置关系课时作业.docx

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1、培优课(五)直线与圆锥曲线的位置关系 选题明细表 知识点、方法题号位置关系、弦长1,3弦中点2,4综合应用51.直线y=kx(k0)与双曲线x22-y26=1没有交点,则k的取值范围为(C)A. 33,+)B.(2,+)C.3,+)D.(0,3)解析:双曲线x22-y26=1的渐近线方程为y=3x,根据双曲线的性质可知直线y=kx(k0)与双曲线x22-y26=1没有交点,满足k3.2.已知A,B为抛物线C:y2=x上的两点,且|AB|=2,则AB的中点横坐标的最小值为(C)A.14 B.12 C.34 D.1解析:设直线AB的方程为x=ky+b(b0),A(x1,y1),B(x2,y2).联

2、立方程组y2=x,x=ky+b,消去x,得y2-ky-b=0,则y1+y2=k,y1y2=-b,=k2+4b0.因为|AB|=(1+k2)(k2+4b)=2,所以(1+k2)(k2+4b)=4,得b=11+k2-k24.因为x1+x2=k(y1+y2)+2b=k2+2b,所以AB的中点的横坐标x0=x1+x22=k22+b=k24+11+k2=1+k24+11+k2-1421+k2411+k2-14=34,当且仅当1+k24=11+k2,即k=1时,等号成立,所以当k=1时,x0取得最小值34.3.(2022云南昆明模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,且|

3、AB|=254,写出满足条件的一个点A或点B的坐标为.解析:由题意,得抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=4x,x=m+1,消去x,得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,故|AB|=1+m216m2+16=254,解得m=34.当m=34时,y2-3y-4=0,解得y=-1或4,故两交点坐标为(4,4),( 14,-1);当m=-34时,y2+3y-4=0,解得y=-4或1,故两交点坐标为(4,-4),( 14,1).答案:(4,4)(或( 14,-1)或(4,-4)或(14,1)4.(2

4、022新高考卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为.解析:法一设直线l的方程为xm+yn=1(m0,n0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,所以x1+x22=m+02,y1+y22=0+n2,即x1+x2=m,y1+y2=n.因为kAB=kMN,所以y1-y2x1-x2=0-nm-0=-nm.将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,得x126+y123=1,x226+y223=

5、1,相减得(x1+x2)(x1-x2)6+(y1+y2)(y1-y2)3=0,由题意知x1+x20,x1x2,所以y1+y2x1+x2y1-y2x1-x2=-12,即nm(-nm)=-12,整理得m2=2n2.又|MN|=23,所以由勾股定理,得m2+n2=12,由并结合m0,n0,得m=22,n=2,所以直线l的方程为x22+y2=1,即x+2y-22=0.法二设直线l的方程为xm+yn=1(m0,n0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q(m2,n2),则kAB=0-nm-0=-nm,kOQ=n2m2=nm.由椭圆中点

6、弦的性质知,kABkOQ=-b2a2=-12,即(-nm)nm=-12,以下同法一.答案:x+2y-22=05.设F1,F2分别是双曲线:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2的直线l:x-my-t=0(m,tR)与的右支交于M,N两点,过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为7.(1)求双曲线的方程;(2)当|MF1|=|F2F1|时,求实数m的值;(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P,当MF2=12F2N时,求PMN面积S的值.解:(1)由过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为7,得4a2-9b2=1,b2+(a2+b2)=7,解得a2=1,b2=3

7、,则所求的双曲线的方程为x2-y23=1.(2)由(1)得直线l:x-my-t=0过点F2(2,0),所以t=2.由|MF1|=|F2F1|=4,得等腰三角形F1MF2底边MF2上的高的长度为MF12-(MF1-22) 2=15.又F1到直线l:x-my-2=0的距离等于等腰三角形F1MF2底边上的高,则|-2-0-2|m2+1=15,即m2=115,则m=1515.(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),由x2-y23=1,x-my-2=0,消去x,得(3m2-1)y2+12my+9=0,因为有两个交点,所以0,且m213,则y1+y2=12m1-3m2,y1y2=-91-3m2.又MF2=12F2N,即y2=-2y1,则-y1=12m1-3m2,2y12=91-3m2,即2(-12m1-3m2) 2=91-3m2,则m2=135,又M关于坐标原点O的对称点为P,则S=2SOMN=2|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1y2=2(12m1-3m2) 2-4(-91-3m2)=12m2+11-3m2=9354,即所求的PMN面积为9354.