高考数学专题28　以分段函数为载体的应用题.docx

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1、微专题28以分段函数为载体的应用题数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点本专题集中介绍以分段函数型的应用问题，常见的处理手段是结合实际问题，利用所给条件建立分段函数的数学模型，利用所学数学的知识与方法予以解决.例题：如图所示，某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本已知购买x台机器人的总成本为p(x)x2x150万元(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人

2、将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图所示)经实验知，每台机器人的日平均分拣量为q(m)(单位：件)已知传统的人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？变式1某网店专卖当地某种特产，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1x5)满足：当1x3时，ya(x3)2(a，b为常数)；当3x5时，y70x490，已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克(1)求

3、a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克)变式2根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p(日产品废品率100%)已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元(该车间的日利润y日正品赢利额日废品亏损额)(1)将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？串讲1某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，

4、并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完，公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由串讲2如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB，CD，DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴

5、经测量，AB2米，AD3米，ABAD，点C到AD，AB的距离CH，CR的长均为1米现要用这块边角料裁一个矩形AEFG(其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上)设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米(1)将S表示为x的函数；(2)当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？如图，已知半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，其中该半圆的半径OA的长为1百米为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路CDEF，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形，设DEt百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t

6、)(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建参观线路的最低费用(2018南通二模)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体现有两种方案方案：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面(1)设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求底面半径；(2)设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方

7、案制成的正四棱柱的体积最大？答案：(1)dm；(2)2.解析：(1)设所得圆柱的半径为r dm，则(2r2r)4r100，解得r.6分(2)设所得正四棱柱的底面边长为a dm，则即9分解法1所得正四棱柱的体积Va2x记函数p(x)11分则p(x)在(0，2上单调递增，在2，)上单调递减，所以当x2时，p(x)max20.所以当x2，a时，Vmax20 dm3.14分解法2 2ax，从而a.9分所得正四棱柱的体积Va2xa220a20.11分所以当a，x2时，Vmax20 dm3.14分答：(1)圆柱的底面半径为 dm；(2)当x为2时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大.16分注意：1.直接“

8、由x100得，x2时正四棱柱的体积最大”，只给结果得分，即2分；2解法1中的求解过程要体现Vp(x)2，凡写成Vp(x)2的最多得5分，解法2类似解答参照给分微专题28例题答案：(1)300；(2)75%.解析：(1)由题意得，每台机器人的平均成本为x1212，当且仅当(xN*)，即x300时取等号，答：要使每台机器人的平均成本最低，应买300台(2)当1m30时，每台机器人日平均分拣量为q(m)m(60m)(m30)2480，当m30时，每台机器人的日平均分拣量最大值为480，当m30时，每台机器人的日平均分拣量仍为480，则引进300台机器人后，日平均分拣量的最大值为480300144 0

9、00.若用传统人工分拣144 000件，则需要120人，答：引进机器人后要降低物流成本，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减75%.变式联想变式1答案：(1)a400，b300，y(2)1.67.解析：(1)因为x2时，y700；x3时，y150，所以解得a400，b300.每日的销售量y(2)由(1)知，当1x3时，每日销售利润f(x)(x1)400(x3)2(x1)300400(x37x215x9)300，(1x3)，f(x)400(3x214x15)(1x3)令f(x)0，解得x，或x3；当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减x是函数f(x)在(1

10、，3上的唯一极大值点，f400300700；当3x5时，每日销售利润f(x)(70x490)(x1)70(x28x7)，f(x)在x4时有最大值，且f(4)630f.综上，销售价格x1.67元/千克时，每日利润最大变式2答案：(1)y(2)日产量为10件时最大日利润是千元解析：(1)由题意可知，y2x(1p)px(2)考虑函数f(x)当1x9时，f(x)2，令f(x)0，得x153.当1x153时，f(x)0，函数f(x)在1，153)上单调递增；当153x9时，f(x)0，函数f(x)在(153，9上单调减所以当x153时，f(x)取得极大值，也是最大值，又x是整数，f(8)，f(9)9，所

11、以当x8时，f(x)有最大值.当10x20时，f(x)0，所以函数f(x)在10，20上单调递减，所以当x10时，f(x)取得极大值，也是最大值由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元说明：许多实际应用问题在转化为函数问题去解决时，无法用一个等量关系去表达，需要列出若干个关系式，这些关系式构成了一个整体，即为分段函数，在建构分段函数模型时，要根据实际问题的条件，将自变量的取值范围划分为若干个区间，分别考察在每个区间上的最优解，并加以比较以确定问题的解答，涉及分段变换的数学应用问题，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，结合条

12、件，分段解决，这类问题常常会转化为二次函数、三次函数、分式函数等函数问题，求最值的方法不限定仅用函数方法，有时也会用到基本不等式等其他求最值的方法串讲激活串讲1答案：(1)f(t)g(t)t26t(0t40)；(2)第30天解析：(1)图是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f(t)图是一个二次函数的部分图象，故g(t)t26t(0t40)(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)当0t20时，F(t)3tt324t2，F(t)t248tt0，F(t)在0，20上是增函数，F(t)在此区间上的最大值为F(20)6

13、 0006 300.当20t30时，F(t)60.由F(t)6 300，得3t2160t2 1000，解得t(舍去)或t30.当30t40时，F(t)60.由F(t)在(30，40上是减函数，得F(t)F(30)6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天串讲2答案：(1)S(2)x时，Smax.解析：(1)以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设曲线段BC所在抛物线的方程为y22px(p0)，将点C(1，1)代入，得2p1，即曲线段BC的方程为y(0x1)又由点C(1，1)，D(2，3)得线段CD的方程为y2x1(1x2)而GA2x

14、，所以S(2)当0x1时，因为S(2x)2xx，所以Sxx，由S0，得x.当x时，S0，所以S递增；当x时，S0，所以S递减，所以当x时，Smax；当1x2时，因为S(2x1)(2x)2，所以当x时，Smax；综上，因为，所以当x米时，Smax平方米答：当x为米时，S取得最大值，最大值为平方米新题在线答案：(1)EF(0t2)；(2)24.5.解析：(1)设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQDE，以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EHOF，垂足为H.因为EHOG，OFGEFH，GOFHEF，所以RtEHFRtOGF，HFFGEFt.所以EF21HF21，解得EF(0t2)(2)设修建该参观线路的费用为y万元当0t，由y55.则y50，可得y在上单调递减，所以t时，y取得最小值为32.5.当t2时，y12t.y12.因为t2，3t23t10.所以t时，y0，函数y此时单调递减；t(1，2)时，y0，函数y此时单调递增所以t1时，函数y取得最小值24.5.由知，t1时，函数y取得最小值为24.5.