备战2024年高考数学一轮复习分类汇编1_8.2　空间点、线、面的位置关系(十年高考).docx

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1、8.2空间点、线、面的位置关系考点一点、线、面的位置关系1.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案D若,垂直于同一个平面,则,可以都过的同一条垂线,即,可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若,不平行,则,相交,设=l,在内存在直线a,使al,则a,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性

2、质定理知mn,故D正确.2.(2015浙江文,4,5分)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则B.若,则lmC.若l,则D.若,则lm答案A对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若,l,m,则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于与的交线时,l,但此时与相交,所以选项C错误;对于选项D,若,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.3.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.

3、l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都不相交,则ll1,ll2,从而l1l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.4.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mn

4、C.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案B若m,n,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m,mn,则n或n,故C错误;若m,mn,则n与可能平行、相交或n,故D错误.因此选B.5.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D由l1l2,l2l3可知l1与l3的位置不确定,若l1l3,则结合l3l4,得l1l4,所以排除选项B、C,若l1l3,则结合l3l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A

5、.故选D.评析本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.6.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.()A.若mn,n,则mB.若m,则mC.若m,n,n,则mD.若mn,n,则m答案C对于选项A、B、D,均能举出m的反例;对于选项C,若m,n,则mn,又n,m,故选C.7.(2013课标理,4,5分)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l答案D若,则mn,这与m、n为异面直线矛盾,所以A不正确,与相交.将已知条件转化到正方体中,

6、易知与不一定垂直,但与的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D.导师点睛对于此类题,放入正方体中判断起来比较快捷.8.(2013广东理,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则答案D若,m,n,则m与n可能平行,故A错;若,m,n,则m与n可能平行,也可能异面,故B错;若mn,m,n,则与可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m,mn,得n,又知n,故,所以D项正确.9.(2011辽宁理,8,5分)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论

7、中不正确的是()A.ACSBB.AB平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案D四边形ABCD是正方形,ACBD.又SD底面ABCD,SDAC.其中SDBD=D,AC面SDB,从而ACSB.故A正确.易知B正确.设AC与DB交于O点,连接SO.则SA与平面SBD所成的角为ASO,SC与平面SBD所成的角为CSO,又OA=OC,SA=SC,ASO=CSO.故C正确.由排除法可知选D.评析本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线角的概念.属中档题.10.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m

8、,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn答案C=l,l,n,nl.故选C.11.(2020新高考,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD=60.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案22解析易知四边形A1B1C1D1为菱形,B1A1D1=60,连接B1D1,则B1C1D1为正三角形,取B1C1的中点O,连接D1O,易得D1OB1C1,D1O平面BCC1B1,取BB1的中点E,CC1的中点F,连接D1E,D1F,OE,OF,EF,易知D1E=D1F=5,易知以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线为以O为圆心,OE

9、为半径的EF,B1E=B1O=1,OE=2,同理OF=2,易知EF=2,EOF=90,EF的长=14(22)=22.解题关键利用题设条件证明D1O平面BCC1B1,从而说明球面与侧面BCC1B1的交线是以O为圆心,OE为半径的EF是解题的关键.12.(2016课标,14,5分),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案解析若mn,m,n,则与可能平行或相交,故错误;显然成立;若,m,则m与无公共点,因而m,故正确;由线面角的定义、等

10、角定理及面面平行的性质可知正确.考点二异面直线所成的角1.(2021全国乙理,5,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.2B.3C.4D.6答案D解题指导:利用平移法,连接BC1,则BC1AD1,得C1BP(或其补角)就是异面直线AD1与PB所成的角.解析如图所示,连接BC1,C1P,易知四边形ABC1D1是平行四边形,BC1AD1,C1BP(或其补角)就是异面直线AD1与BP所成的角,设正方体的棱长为a,则BC1=2a,C1P=22a,连接AC、BD,设AC交BD于点O,连接OP,则OP平面ABCD,OB平面ABCD,OPOB,P

11、B=a2+22a2=62a.在C1BP中,cosPBC1=BP2+BC12-PC122BPBC1=32,PBC1=6,即直线PB与AD1所成的角为6.故选D.方法总结:用几何法求异面直线所成角的具体步骤:2.(2016课标,理11,文11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A如图,延长B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延长D1A1至A3,使A3A1=D1A1,连接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易证AA2A1BD1C,AA3A1DB1C.平面

12、AA2A3平面CB1D1,即平面AA2A3为平面.于是mA2A3,直线AA2即为直线n.显然有AA2=AA3=A2A3,于是m,n所成的角为60,其正弦值为32.选A.3.(2014大纲全国理,11,5分)已知二面角-l-为60,AB,ABl,A为垂足,CD,Cl,ACD=135,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.14B.24C.34D.12答案B在平面内过点C作CEAB,则ECD为异面直线AB与CD所成的角(或其补角),不妨取CE=1,过点E作EO于点O.在平面内过点O作OHCD于点H,连接EH,则EHCD.因为ABCE,ABl,所以CEl,又因为EO,所以COl.所以ECO为二面

13、角-l-的平面角,即ECO=60.因为ACD=135,CDl,所以OCH=45.在RtECO中,CO=CEcosECO=1cos 60=12.在RtCOH中,CH=COcosOCH=12cos 45=24.在RtECH中,cosECH=CHCE=241=24.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.选B.4.(2014大纲全国文,4,5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.16B.36C.13D.33答案B如图,取AD的中点F,连接EF、CF.因为E、F分别是AB、AD的中点,所以EF􀱀12BD,故CEF或其补角是异面直线

14、CE、BD所成的角.设正四面体ABCD的棱长为a,易知CE=CF=32a,EF=12a.在CEF中,由余弦定理可得cosCEF=32a2+12a2-32a2232a12a=36.故选B.5.(2015浙江,13,5分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.答案78解析连接DN,取DN的中点H,连接HM,由N、M、H均为中点,知|cosHMC|即为所求.因为AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N为AD,BC的中点,所以CMAD,ANBC,所以CM=CD2-MD2=22,AN=A

15、C2-NC2=22,MH=12AN=2,HC=NC2+NH2=3,则cosHMC=CM2+MH2-HC22CMMH=78.故异面直线AN,CM所成角的余弦值为78.6.(2011北京文,17,14分)如图,在四面体PABC中,PCAB,PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE平面BCP;(2)求证:四边形DEFG为矩形;(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.解析(1)证明:因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DEPC.又因为DE平面BCP,PC平面BCP,所以DE平面BCP.(2)证明:因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DEPCFG,DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PCAB,所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形.(3)存在点Q满足条件.理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DFEG=Q,且QD=QE=QF=QG=12EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=12EG,所以Q为满足条件的点.