高考数学人教a版一轮复习第十一章　计数原理、概率、随机变量及其分布课时规范练55.docx

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1、课时规范练551.(2023河南洛阳模拟)随机变量的概率分布列为P(=k)=ck2+k,k=1,2,3,其中c是常数,则D(9-3)的值为()A.10B.117C.38D.35答案:C解析:P(=k)=ck2+k,k=1,2,3,c2+c6+c12=1,解得c=43.E()=123+229+319=139,D()=1-139223+2-139229+3-139219=3881,D(9-3)=92D()=81D()=38.2.(2023广西桂林模拟)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1)内逐渐增大时,()A.E(X)不变B.E(X)减小C.D(X)先增大后减小D.

2、D(X)先减小后增大答案:D解析:E(X)=013+a13+113=a+13,E(X)增大;D(X)=a+13213+a-a+13213+1-a+13213=127(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2=29(a2-a+1)=29a-122+16,0aD(Y),所以投资A项目的风险比B项目高,故D正确.故选ACD.4.(2022广东广州三模)冰壶是第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示,其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区,运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出,使冰壶沿冰道滑行,冰道的右端有一圆形的营垒,以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负,甲、乙两

3、人进行投掷冰壶比赛,规定冰壶的重心落在圆O中,得3分,冰壶的重心落在圆环A中,得2分,冰壶的重心落在圆环B中,得1分,其余情况均得0分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响,甲、乙得3分的概率分别为13,14;甲、乙得2分的概率分别为25,12;甲、乙得1分的概率分别为15,16.(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率;(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和期望.解:(1)由题意知甲得0分的概率为1-13-25-15=115,乙得0分的概率为1-14-12-16=112,所以甲、乙两人所得分数相同的概率为1314+2512+1516+115112=2990.(2)X的可能取值为0,1,

4、2,3,4,5,6,则P(X=0)=115112=1180,P(X=1)=11516+15112=136,P(X=2)=11512+1516+25112=110,P(X=3)=11514+1512+2516+13112=1990,P(X=4)=1514+2512+1316=1136,P(X=5)=2514+1312=415,P(X=6)=1314=112,所以随机变量X的分布列为X0123456P118013611019901136415112所以E(X)=01180+1136+2110+31990+41136+5415+6112=4712.5.(2023湖北黄石模拟)有9个外观相同的同规格砝

5、码,其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加,小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码,设计了如下两种方案,方案一:每次从待称量的砝码中随机选2个,分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡,则选出的2个砝码是没有瑕疵的;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧.按此方法,直到找出有瑕疵的砝码为止.方案二:从待称量的砝码中随机选8个,按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上,若天平平衡,则未被选出的那个砝码是有瑕疵的;否则,有瑕疵的砝码在下降一侧,每次再将该侧砝码按个数平分,分别放在天平的左、右托盘上,直到找出有瑕疵的砝码为止.(1)记方案一的称量次数为随机变量X,求X的分布列;(2)上述两种方案中,小明应选择何种

6、方案可使称量次数的期望较小?并说明理由.解:(1)由题知,X=1,2,3,4,P(X=1)=C11C81C92=29,P(X=2)=C82C61C11C92C72=29,P(X=3)=C82C62C41C11C92C72C52=29,P(X=4)=C82C62C42C22+C82C62C42C21C11C92C72C52C32=13,X的分布列为X1234P29292913(2)由(1)知,E(X)=129+229+329+413=83,设方案二的称量次数为随机变量为Y,则Y=1,3,P(Y=1)=C88C98=19,P(Y=3)=1-19=89,E(Y)=119+389=259E(X),所以

7、小明应选择方案一可使称量次数的期望较小.6.(2022湖北荆门龙泉中学一模)2022年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛,约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛,若甲连续赢两场,则专业队获胜;若甲连续输两场,则业余队获胜;若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相互独立,每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛,甲赢的概率为23,甲与丙比赛,甲赢的概率为p,其中12p23.(1)若第一场比赛,业余队可以安排乙与甲进行比赛,也可以安排丙与甲进行比赛,请分别计算两种安排下业余队获胜的概率;若以获胜概率大为最优决

8、策,问:业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛?(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定:比赛结束时,胜队获奖金6万元,负队获奖金3万元;若平局,两队各获奖金3.6万元.在比赛前,已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛,设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元,求X的数学期望E(X)的取值范围.解:(1)第一场比赛,业余队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为P1=13(1-p)+23(1-p)13=59(1-p);第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为P2=(1-p)13+p13(1-p)=13(1-p2).因为12p0,P1P2.所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.(2)由已知X=9万元,或X=7.2万元.由(1)知,业余队最优决策是第一场安排乙与甲进行比赛.此时,业余队获胜的概率为P1=59(1-p),专业队获胜的概率为P3=23p+13p23=89p.所以非平局的概率为P(X=9)=P1+P3=59+13p,平局的概率为P(X=7.2)=1-P1-P3=49-13p.X的分布列为X97.2P(X)59+13p49-13pX的期望为E(X)=959+13p+7.249-13p=8.2+0.6p,由12p23,所以数学期望E(X)的取值范围为(8.5,8.6)(单位:万元).