备战2024年高考数学一轮复习分类汇编1_专题十二　数系的扩充与复数的引入(十年高考).docx

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1、专题十二数系的扩充与复数的引入考点一复数的概念与几何意义1.(2021浙江,2,4分)已知aR,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a=()A.-1B.1C.-3D.3答案C解题指导:先将等式左边化成a+bi(a,bR)的形式,然后利用复数相等的充要条件得出结果.解析由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.方法总结设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1=z2的充要条件是a=c,b=d.2.(2022浙江,2,4分)已知a,bR,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则()A.a=1,b=-3B.a=-1,b=3C.a=-1,

2、b=-3D.a=1,b=3答案Ba+3i=bi+i2=-1+bi,a=-1,b=3.故选B.3.(2022北京,2,4分)若复数z满足iz=3-4i,则|z|=()A.1B.5C.7D.25答案B由iz=3-4i可知,z=34ii=(34i)(i)i(i)=-4-3i,故|z|=(4)2+(3)2=5.故选B.2.(2022新高考,2,5分)若i(1-z)=1,则z+z=()A.-2B.-1C.1D.2答案D由题意知1-z=1i=-i,所以z=1+i,则z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2,故选D.4.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则

3、()A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1答案A由题意知(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=1,故选A.5.(2022全国乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2答案A由题意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以a+b+1=0,2a2=0,解得a=1,b=2,故选A.6.(2021全国乙理,1

4、,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=() A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.7.(2019课标文,2,5分)设z=i(2+i),则z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素养.z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,z=-1-2i,故选D.解题关键正确理解共轭复数的概念是求解的关键.8.(2017课标

5、文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.9.(2017课标理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D.2答案C本题考查复数的运算及复数的模.(1+i)z=2i,z=2i1+i=2i(1i)(1+i)(1i)=2(1+i)2=1+i.|z|=12+12=2.一题多解(1+i)z=2i,|1+i|z|=|2i|,即12+12|z|=2,|z|=2.10.(20

6、17课标文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=i2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.11.(2016课标理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1B.2C.3D.2答案Bx,yR,(1+i)x=1+yi,x+xi=1+yi,x=1,y=1,|x+yi|=|1+i|=12+12=2.故选B.评析本题考查复数相等的条件,属容易题.12.(20

7、16课标文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3答案A(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.解后反思将复数化为x+yi(x,yR)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.评析本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,yR)的形式是解题关键.13.(2016课标文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案Cz=3-2i,所以z=3+2i,故选C.14.(2016课标文,2,5分)若z=4+3i,

8、则z|z|=()A.1B.-1C.45+35iD.45-35i答案D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,则z|z|=45-35i,故选D.15.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数2i1i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B2i1i=2i(1+i)2=-1+i,复数2i1i在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.16.(2015课标理,1,5分)设复数z满足1+z1z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案A由已知1+z1z=i,可得z=i1i+1=(i1)2(i+1)(i1)=2i2=i,|z|

9、=|i|=1,故选A.17.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.iB.-iC.1D.-1答案Ai607=i4151+3=(i4)151i3=-i,i607的共轭复数为i.18.(2014课标理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A由题意得z2=-2+i,z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.19.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Ai(1-2i)=i-2i2=2+i,对

10、应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.20.(2014课标文,3,5分)设z=11+i+i,则|z|=()A.12B.22C.32D.2答案Bz=11+i+i=1i2+i=12+12i,因此|z|=122+122=12=22,故选B.21.(2013课标理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-45C.4D.45答案D|4+3i|=42+32=5,z=534i=5(3+4i)25=35+45i,虚部为45,故选D.22.(2013课标文,2,5分)21+i=()A.22B.2C.2D.1答案C21+i=2(1i)2=|1-i|=2.选C.23

11、.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z=21+i的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4答案Cz=21+i=2(1i)(1+i)(1i)=-1-i,所以|z|=2,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;z=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.评析本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.24.(2012课标文,2,5分)复数z=3+i2+i的共轭复数是()A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i答案

12、Dz=3+i2+i=(3+i)(2i)(2+i)(2i)=5+5i5=-1+i,z=-1-i,故选D.评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.25.(2011课标理,1,5分)复数2+i12i的共轭复数是()A.-35iB.35iC.-iD.i答案C2+i12i=(2+i)(1+2i)(12i)(1+2i)=i,其共轭复数为-i,故选C.评析本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题.26.(2016课标,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+)D.(-,-3)答案A由已知可得m

13、+30,m13,m1-3m1.故选A.方法总结复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的对应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.27.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B设z=a+bi(a、bR),则2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,a=1,b=-2,z=1-2i,故选B.28.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.答案2解析本题考查了复数的概念及运算,考查

14、了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,a-2=0,解得a=2.解题关键掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.29.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案10解析本题考查复数的运算.z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,|z|=32+(1)2=10.30.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.31.(20

15、16北京理,9,5分)设aR.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,aR,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,a+1=0,a=-1.32.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-2解析(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,12a0,2+a=0,解得a=-2.33.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,bR)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=.答案3解析复数a+bi(a,bR)的模为a2+b2=3,则a2+b2=3,则

16、(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2i2=a2+b2=3.考点二复数的运算1.(2021新高考,2,5分)已知z=2-i,则z(z+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案Cz=2-i,z=2+i,z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.2.(2022新高考,2,5分)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i答案D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.3.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3z|=(

17、)A.45B.42C.25D.22答案Dz=1+i,iz=i-1,3z=3(1-i)=3-3i,iz+3z=2-2i,|iz+3z|=22.故选D.4.(2021全国甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z=()A.-1-32iB.1+32iC.-32+iD.32-i答案B解法一:由题意得z=3+2i(1i)2=3+2i2i=(3+2i)i(2i)i=2+3i2=1+32i.解法二:设z=a+bi(a,bR).由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,a=-1,b=32,z=-1+32i.故选B.5.(2022全国甲理

18、,1,5分)若z=-1+3i,则zzz1=()A.-1+3iB.13iC.13+33iD.1333i答案C因为z=-1+3i,所以zzz1=1+3i(1+3i)(13i)1=1+3i1+31=13+33i,故选C.6.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解;解法二(待定系数法):利用方程思想求解.解析解法一:由题意得z=4+3ii=(4+3i)ii2=4i31=3-4i,故选C.解法二:由题意,设z=a+bi(a,bR),则iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,

19、所以a=3,b=-4,则z=3-4i,故选C.易错警示学生不熟悉复数的除法法则,在运算中出错.7.(2021北京,2,4分)若复数z满足(1-i)z=2,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案D解法一:设z=a+bi(a,bR),因为(1-i)z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以a+b=2,ba=0,解得a=b=1,所以z=1+i.故选D.解法二:因为(1-i)z=2,所以z=21i=2(1+i)(1i)(1+i)=1+i,故选D.8.(2020新高考,2,5分)2i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i答案D2i1+2i=(2i)(12i)(1+2i)(12i)=

20、5i5=-i.故选D.9.(2019课标文,1,5分)设z=3i1+2i,则|z|=()A.2B.3C.2D.1答案C本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.z=3i1+2i=(3i)(12i)(1+2i)(12i)=37i+2i21(2i)2=17i5=15-75i,|z|=152+752=2,故选C.易错警示易将i2误算为1,导致计算出错.10.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则zz=()A.3B.5C.3D.5答案D本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运算.z=2+i,z=2-i,zz=(

21、2+i)(2-i)=4+1=5,故选D.11.(2018课标文,1,5分)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i答案D本题主要考查复数的四则运算.i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.12.(2018课标,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D本题考查复数的运算.(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.13.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数11i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.11

22、i=1+i(1i)(1+i)=12+12i,其共轭复数为12-12i,又12-12i在复平面内对应的点12,12在第四象限,故选D.14.(2017课标文,2,5分)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i答案B本题考查复数的基本运算.(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.15.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=()A.-2iB.2iC.-2D.2答案A本题考查复数的运算.由zi=1+i得z=1+ii=1-i,所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.16.(2016课标理,2,5分)若z=1+2i

23、,则4izz1=()A.1B.-1C.iD.-i答案Czz=(1+2i)(1-2i)=5,4izz1=4i4=i,故选C.17.(2016北京文,2,5分)复数1+2i2i=()A.iB.1+iC.-iD.1-i答案A1+2i2i=(1+2i)(2+i)(2i)(2+i)=2+i+4i+2i24i2=5i5=i,故选A.18.(2015课标理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案B(2+ai)(a-2i)=-4i4a+(a2-4)i=-4i,4a=0,a24=4,解得a=0.19.(2015课标文,3,5分)已知复数z满足(z-1)

24、i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C由已知得z=1+ii+1=2-i,故选C.20.(2015课标文,2,5分)若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案D由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.21.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i答案C(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.22.(2015湖南文,1,5分)已知(1i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-

25、iC.-1+iD.-1-i答案Dz=(1i)21+i=2i1+i=2i(1i)(1+i)(1i)=-i(1-i)=-1-i.故选D.23.(2014课标理,2,5分)(1+i)3(1i)2=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D(1+i)3(1i)2=(1+i)2(1i)2(1+i)=1+i2+2i1+i22i(1+i)=-1-i,故选D.24.(2014课标文,2,5分)1+3i1i=()A.1+2i B.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案B1+3i1i=(1+3i)(1+i)(1i)(1+i)=2+4i2=-1+2i,故选B.25.(2013课标理,2,5分)设复数z

26、满足(1-i)z=2i,则z=()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案A由题意得z=2i1i=2i(1+i)2=-1+i,故选A.26.(2013课标文,2,5分)1+2i(1i)2=()A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i答案B1+2i(1i)2=1+2i2i=(1+2i)i(2i)i=2+i2=-1+12i,故选B.27.(2011课标文,2,5分)复数5i12i=()A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i答案C5i12i=5i(1+2i)(12i)(1+2i)=5(i2)5=-2+i,故选C.评析本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本

27、题的关键,属容易题.28.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数6+7i1+2i=.答案4-i解析本题主要考查复数的四则运算.6+7i1+2i=(6+7i)(12i)(1+2i)(12i)=205i5=4-i.29.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=.答案5解析本题主要考查复数的运算.由(1+i)z=1-7i得z=17i1+i=(17i)(1i)(1+i)(1i)=68i2=-3-4i,|z|=(3)2+(4)2=5.30.(2016天津理,9,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为.答案2解析由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则b+1=a,1b=0,解得a=2,b=1,所以ab=2.