考点16空间几何体(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版).docx

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1、考点16 空间几何体（核心考点讲与练）空间几何体的表面积、体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱

2、和圆柱)S表面积S侧2S底VS底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VS底h台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31.求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2.求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，

3、利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4.截面问题：在高

4、考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状. 空间几何体的表面积一、单选题1（2022海南海口模拟预测）已知圆柱的侧面积等于上、下底面积之和，圆柱的体积与表面积的数值相同，则该圆柱的高为（）A8B4C2D1【答案】B【分析】根据已知条件及圆柱的侧面积、表面积和体积公式即可求解.【详解】设底面圆的半径为，高为，则由题意可知，解得.所以该圆柱的高为.故选：B.2（2022福建模拟预测）已知某圆台的高为，上底面半

5、径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（）ABCD【答案】C【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.【详解】易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积.故选：C.3.（2021湖北省黄石市高三上学期9月调研）已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面面积是（ ）A B C D【答案】B【分析】先求圆锥的底面半径，由此即可计算出圆锥的底面面积.【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得所以圆锥的底面面积为.故选：B二、多选题4（2022山东聊城二模）用与母线不垂直的两个平行平

6、面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A底面椭圆的离心率为B侧面积为C在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为D底面积为【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆

7、面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项【详解】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知，则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，所以离心率为，A正确；，垂足为，则，易知，又，所以斜圆柱侧面积为，B正确；，椭圆面积为，D正确；由于斜圆锥的两个底面的距离为6，

8、而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为，C错故选：ABD5（2022河北模拟预测）已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（）A它的表面积为B它的外接球的表面积为C侧棱与下底面所成的角为60D它的体积比棱长为的正方体的体积大【答案】ACD【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得的长，分析可得即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，代入表面积公式，可判断B的正误；分别求得正四棱台的体积和正方体的体积，利用作商

9、法比大小，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】由题意得：上底面的面积，下底面的面积，侧面为等腰梯形，过分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示所以，则，所以，所以梯形的面积为，所以正四棱台的表面积，故A正确；连接，且交于点，连接AC、BD交于点，连接，则垂直底面ABCD，过作于G，则底面ABCD，则四边形为矩形，由题意得，所以，同理，又，所以，在中，所以，即侧棱与下底面所成的角为60，故C正确所以.连接，在中，所以点到的距离相等，均为，所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，所以外接球的表面积，故B错误；正四棱台的体积，棱长为的正方体的体积，所以，所以，所以正四棱台的体积比棱长为的正方

10、体的体积大，故D正确；故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.三、填空题6.（2021贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试）学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是_.【答案】【分析】设圆柱底面圆半径为r，结合已知表示出圆柱的高h，再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面积与r的函数关系结合基本不等式即可得解.【详解】设圆柱底面圆半径为r，高为h，则有，整理得，由球及其内接圆柱的结构特征知，球心是圆柱两底面圆圆心的

11、中点，设球半径为R，于是得，当且仅当，即时取“=”，因此，球的表面积为，所以该圆柱体的外接球的表面积的最小值是.故答案为：7（2022广东广州二模）在梯形中，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为_此时该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】 【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】过点C作，垂足为E，为等腰梯形，由余弦定理得，即易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，此时，平面易知，记O为外接球球心，半径为R平面

12、，O到平面的距离又的外接圆半径故答案为：， 空间几何体的体积一、单选题1（2022辽宁沈阳二模）现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是（）ABCD【答案】A【分析】根据圆锥侧面展开图为半圆，求得母线与底面半径的关系，利用当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，求得小球的半径，可得答案.【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为l，底面半径为R，则，所以，可知圆锥轴截面为正三角形，圆锥高为 ,又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：设此时小球半径为r，则有 ，即，故，所以，故选：A2.（2021重庆市巴蜀中学高三上学期高考

13、适应性月考）在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点，若平面平面，且平面与棱，分别交于点，其中点是棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）A1 B C D【答案】D【分析】根据已知条件结合面面平行的性质定理可确定出，根据点的位置可确定出的位置，由此可计算出三棱锥的体积.【详解】如图所示，取的中点，连接，由正方体结构特点可知：，所以六点共面，又因为平面平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，由为所在边中点可知为中点，同理可知：为的中点，所以，且，两两垂直，所以三棱锥的体积为，故选：D.3.（2021广东省广州市荔湾区高三上学期调研）若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为

14、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】画出圆台的轴截面，即可求出圆台的高，从而根据公式求出圆台的体积；【详解】解：圆台的轴截面如图所示：则圆台的高，所以圆台的体积故选：C二、多选题4（2022海南海口模拟预测）如图，在长方体中，E，F分别是棱，的中点，则（）ABDF是等边三角形B直线与BF是异面直线C平面BDFD三棱锥与三棱锥的体积相等【答案】AC【分析】A选项可根据几何关系求三角形的各个边长进行判断；B选项证点，E，B，F四点共面得出矛盾；C选项证，线线垂直，可得线面垂直；D选项点A与点F到平面的距离不相等，即是高不相等，体积也不会相等.【详解】对于A，设AB1，则，故BDF是等边

15、三角形，A正确；对于B，连接、，如图所示：易知，,故点，E，B，F共面，B错误；对于C，设AB1，则，所以所以，同理可知，又因为，所以平面BDF，故C正确；对于D，三棱锥与三棱锥有公共的面，若要它们的体积相等，则点A与点F到平面的距离相等，这显然不成立，故D错误故选：AC.5（2022福建模拟预测）已知三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，（为正数），则下列命题是真命题的是（）A若，则三棱锥的体积的最大值为B若不共线，则平面平面C存在唯一一点，使得平面D的最大值为【答案】AB【分析】由可求得球心到平面的距离，由此可得三棱锥高的最大值，由棱锥体积公式可知A正确；设的中点为，可证得平面，由外接球性

16、质可知平面，由面面垂直判定可知B正确；设直线与球的另一交点为，可知平面，知C错误；由四点共面可求得，由此可得，知D错误.【详解】对于A，若，则，则外接圆的半径，球心到平面的距离，三棱锥高的最大值为，体积的最大值为，A正确；对于B，设的中点为，连接，则，又，平面，平面，平面，平面，又平面平面，四点共面，平面，又平面，平面平面，B正确；对于C，设直线与球的另一交点为，若平面，则平面，C错误；对于D，当最大时，四点共面，D错误.故选：AB.三、解答题6（2022辽宁沈阳二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，且，(1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥体积；

17、若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）证明，结合，证明平面PAC，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设，求出平面MAC的一个法向量，结合平面ACD法向量以及条件可推出即M为PD中点，即可求得答案.(1)因为，所以，又因为，且，所以，所以，又因为平面ABCD，且平面ABCD，所以，又因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，又因为平面PAC，所以(2)在BC上取点E，使，则，故以A为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，在平面MAC中，设平面MAC的一个法向量为，则，令，则，所以，可取平

18、面ACD法向量为，所以，即，解得，所以M为PD中点，所以三棱锥的高h为1，与球有关的内切、外接问题1.（2021河南省联考高三核心模拟卷）在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【分析】根据题设长度关系，可证明平面，由正弦定理可得的外接圆半径为，又在线段的垂直平分线上，可得，即可得，利用球的表面积公式即得解【详解】在中，所以，所以，在中，所以，所以.又，平面，所以平面，在中，所以的外接圆半径为，不妨设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为连接，由于，故在线段的垂直平分线上，即故三棱锥的外接球半径，外接球的表面积为.故答案为：2.（2021江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）

19、如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_.【答案】【分析】结合图形，由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果即可【详解】解：由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作交于点D，由题意可知，所以，即，解得，故答案为：3（2022天津南开中学模拟预测）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）ABCD【答案】C【分析】先求出正四面体的体积及

20、表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径即可.【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.易得，由，可得，又，故，又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半径为.故选：C. 柱锥台的轴截面问题一、单选题1（2022山东模拟预测）几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（）ABCD【答案】B【分析】由题意知直角圆锥的底面圆半径为r等于高h，再由直角圆锥的

21、侧面积求出底面圆的半径，即可求出其体积.【详解】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，.因为直角圆锥的侧面积为，所以，解得，所以该直角圆锥的体积为.故选：B.二、多选题2（2021广东中山模拟预测）正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（）A截面可以是三角形B与底面所成的角为C与底面所成的角为D当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1【答案】ACD【分析】对于A：取PC的中点E，连结BE、DE、BD.可以证明面BDE，即可判断A；对于B、C：作为与底面所成的角.即可求得；对于D：分别求出上

22、下两部分几何体的体积，即可判断.【详解】对于A:取PC的中点E，连结BE、DE、BD.因为正四棱锥的所有棱长为2，所以PBC、PBC为正三角形，所以又,则面BDE，即BDE为截面.故A正确；对于B、C:过P作底面ABCD于O，则O为AC中点.则即为与底面所成的角.因为正四棱锥的所有棱长为2，所以,所以,所以.故B错误，C正确；对于D:由A的推导过程可知：平面经过侧棱中点时，平面即为平面BDE.此时.因为,所以,所以.故D正确故选：ACD三、填空题3（2022辽宁沈阳模拟预测）已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面成角为60，则圆锥侧面积为_，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为_.【答案】

23、 【分析】求出圆锥的母线长可得侧面积，求出圆锥轴截面三角形外接圆半径即圆锥外接球半径，从而可得球体积【详解】如图，是圆锥的轴截面，由题意，则，侧面积为；的外接圆半径为，即为圆锥外接球半径，所以球体积为故答案为：；4（2021全国模拟预测）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则_；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为_.【答案】 ； .【分析】根据等边三角形的性质求出球O的半径，从而可分别求出圆锥的体积为和球O的体积为；设MN的中点为C，连接PC，DM，首先求出点到直线

24、的距离，然后结合球O的半径，即可求出平面PMN截球O所得截面圆的半径为r.【详解】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，易知球O的半径，所以，所以；设MN的中点为C，连接PC，DM，则，易知，所以，所以.过O点作，垂足为E，易知，则，又，则.设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，则，所以截面的面积为.故答案为：；.5.（2021上海市高三春考模拟卷）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为_【答案】分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于时，母线夹角为时截面面积最大.【详解】设圆锥的底面半径为r，则，

25、圆锥的高，设轴截面中两母线夹角为，则，所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为.故答案为：四、解答题6（2021湖南雅礼中学二模）在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为.（1）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记满足的

26、不等式组所表示的几何体为请运用祖暅原理求证与的体积相等，并求出体积的大小.【答案】（1）；（2）证明见解析，体积为.【分析】（1）由题意可得几何体表示上半球，球半径为4，从而有，进而可求出实数的值；（2）由题意可得几何体为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥，且该圆锥的对称轴与母线的夹角为然后由祖暅原理可求得结果【详解】（1）则几何体表示上半球，球半径为4.当时，截面为圆面，则，解得又，所以（2）设，则点到轴的距离为，由，即，即点到轴的距离为所以所表示的几何体为圆柱体.由，即点到轴的距离为，当时，点在以一直角边在轴上的等腰直角三角形绕轴旋转而成的倒圆锥面上.所以所表示的几何体为圆柱内挖去一个同底等高的

27、圆锥.且该圆锥的对称轴与母线的夹角为在中，平面所截的截面为圆，其面积为，在中，平面所截的截面为圆环，在圆柱中的截面圆面积为，在圆锥中的截面圆面积为，所以在中截面面积为，即截所得面积均相等，从而由祖暅原理知体积相等，由为半球知其体积【点睛】关键点点睛：此题考查祖暅原理的应用，考查新定义，考查不等式与几何图形的关系，解题的关键是正确理解新定义和祖暅原理，考查转化思想，属于中档题1.（2021年全国新高考卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

28、【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.2.（2021年全国高考甲卷数学试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.3.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标）埃及胡夫金字塔是古代世界建

29、筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标）已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其

30、边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，根据球的截面性质平面，球的表面积.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.一、单选题1（2022江西萍乡二模（理）正方体棱长为，动点在线段上（含端点），以下结论不正确的为（）A三棱锥的体积为定值B过，三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形C当点和重合时，三棱锥的外接球体积为D直线与面所成角的正弦值的范围为【答案】D【分析】根据锥体体积公式、正方体的截面、三棱锥的外接球、线面角等知识对选项进

31、行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，根据正方体的性质可知平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，设到平面的距离为，则为定值，A选项正确.B选项，当与重合时，截面图形为平面四边形；当与重合时，平面四边形；当与、不重合时，截面图形为三角形，所以B选项正确.C选项，当点和重合时，三棱锥的外接球，也即正方体的外接球，外接球的直径为，半径为，体积为，C选项正确.D选项，建立如下图所示空间直角坐标系，则设，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与面所成角为，则，对于函数，开口向上，对称轴，所以最大值为，最小值为，所以，D选项错误.故选：D2（2022江苏南京市第一中学三模）底面半径为3，表面积为

32、的圆锥的体积为（）ABCD【答案】A【分析】设圆锥的母线长为，进而结合表面积得，进而得圆锥的高，再计算体积即可.【详解】解：设圆锥的母线长为，因为圆锥的底面半径为3，表面积为所以，解得，所以圆锥的高为，所以，圆锥的体积为.故选：A3（2022天津一模）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（）ABCD【答案】C【分析】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，由题可得，进而可得，然后利用圆柱的体积公式即得.【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，由题可知，解得，则，可得，所以.故选：C.4（2022天津河西一模）一个圆锥的高与底面

33、圆的半径相等，体积为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（）ABCD【答案】C【分析】圆锥的轴截面为一个等腰直角三角形，内接正方体的对角面，根据三角形相似可得正方体的边长.【详解】设底面半径为由题知：所以，设正方体边长为，如图， 由轴截面可知，所以所以.故选：C.5（2022新疆昌吉二模（文）在三棱锥中，且，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（）ABCD【答案】A【分析】本题结合球的基本性质可知：过三棱锥其中两个面的三角形的外接圆圆心，作该面的垂线，两条垂线的交点即为三棱锥的球心，结合三角形的相关知识分析求得三棱锥的外接球的半径【详解】如图、分别为RtPAC、ABC的外接圆圆心，

34、作平面PAB，平面ABC，则O为三棱锥的外接球的球心在ABC中，即，可得：由正弦定理可得：，即，又为线段AC的中点，则可得，且，二面角的大小的平面角即为，则三棱锥的外接球的半径R=，则三棱锥的外接球体积为V=故选：6（2022内蒙古呼和浩特一模（文）攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6 m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为()ABCD【答案】B【分析】根据题意作出圆锥轴截面图

35、像，根据图像求出圆锥底面半径r和母线l，根据侧面积公式rl即可求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题意，底面圆半径为，母线，侧面积rl36故选：B.二、填空题7（2022天津红桥一模）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、3，则此球的体积为_【答案】【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的体积.【详解】长方体外接球的直径为，所以外接球半径为，所以球的体积为.故答案为：8（2022江西临川一中模拟预测（理）如图，是边长为4的正三角形的一条中位线，将沿直线翻折至，当三棱锥的体积最大时，过的中点M作该四棱锥的外接球的截面圆，则该截面圆的面积的最小值为_.【答

36、案】【分析】先判断出面面.设外接球的球心为O，确定出过面BCDE的外接圆的圆心的垂线m和过的外心的垂线的交点即为球心O.求出外接球半径.再判断出OM垂直于截面时，截面圆的面积的最小，求出其半径，即可求出截面圆的面积.【详解】要使三棱锥的体积最大，只需高最大，即面面.设外接球的球心为O，面BCDE的外接圆的圆心为,则球心在过且垂直于面BCDE的直线m上.取DE的中点为N，连结，则DE，所以面.所以.为边长为2的正三角形，过的外心作直线n面.则m、n的交点即为球心O.在底面四边形BCDE中，如图示：设为BC边的中点，由题意是边长为4的正三角形的一条中位线，可得：和均为边长为2的等边三角形.所以，即

37、为面BCDE的外接圆的圆心. .则,即.所以外接球半径.由球的性质可知：当OM垂直于截面时，截面圆的面积的最小，设其半径为r.此时所以.所以截面圆的面积的为.故答案为：【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法9（2022陕西安康市高新中学三模（理）已知四面体ABCD中，AC=3，其余棱长均为2，则该四面体外接球的表面积是_【答案】【分析】根据图形的对称性，找到球心，再通过余弦定理、勾股定理可求得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.【详解】取BD的中点E，连结AE，C

38、E，在ACE中，AC=3，可得AEC=120四面体外接球的球心必在过ABD，CBD的外接圆圆心且与其所在面垂直的直线上设CBD，ABD外接圆的圆心分别为，作平面CBD，平面ABD，则O即为四面体ABCD外接球的球心，连结OE，如图，在中，所以在中，所以，所以四面体ABCD外接球的表面积为故答案为：10（2022江西赣州二模（理）我国古代数学名著九章算术把上下两个面平行且均为矩形的六面体称为刍童，已知刍童ABCD中四边形四边形及四边形都是正方形，则刍童ABCD外接球的表面积为_.【答案】【分析】先判断出球心的位置，然后计算出球的半径，从而求得球的表面积.【详解】取AD中点E，BC中点F，设是的中

39、点，在梯形中，由于是的中点，所以，所以，所以是等边三角形，所以是梯形外接圆的圆心，同理可证得是梯形外接圆的圆心.刍童可看作直四棱柱，四边形与四边形外接圆圆心连线的中点就是刍童ABCD外接球的球心，所以EF中点O就是刍童ABCD外接球的球心，该球半径，所以刍童ABCD外接球的表面积故答案为：11（2022四川遂宁三模（文）称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的体积为，则它的侧面积_.【答案】【分析】首先设圆锥的底面半径为，根据题意得到，三棱锥的高为，母线为，再求侧面积即可.【详解】设圆锥的底面半径为，因为三棱锥的轴截面为等腰直角三角形，所以三棱锥的高为，母线为，所以，解得，三

40、棱锥的高为，母线为，则三棱锥的侧面积为.故答案为：12（2022山西临汾三模（理）已知四边形ABCD为菱形，AB=1，BAD=60，将其沿对角线BD折成四面体，使，若四面体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】【分析】四面体为正四面体，将其放到正方体中，即可求出外接球半径，从而得解.【详解】解：由题意可知四面体为正四面体.如图,将其放到正方体中，该四面体的外接球和该正方体的外接球相同，又AB=1，所以正方体的棱长为，所以外接球的半径为：，该球的表面积为,故答案为：.13（2021上海模拟预测）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为_【答案】【分析】

41、圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于时，母线夹角为时截面面积最大.【详解】设圆锥的底面半径为r，则，圆锥的高，设轴截面中两母线夹角为，则，所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为.故答案为：14（2021全国模拟预测）2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著九章算术.在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，设平面过点且与平行，现有下列四个结论：当平面截棱柱的截面图形为

42、等腰梯形时，该图形的面积等于；当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于；异面直线与所成角的余弦值为；三棱锥的体积是该“堑堵”体积的.所有正确结论的序号是_.【答案】【分析】分别对四个结论结合题意分析判断即可.【详解】对于，如图，取，分别为对应边中点，易知四边形是等腰梯形，且高为，当不是中点时，不平行平面，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，.所以 正确；对于，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，其面积. 所以错误；对于，将三棱柱补成正方体，为对应边中点，易知为异面直线与所成角或补角，所以，所以 正确；对于，所以正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：平移线段法是求两异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出两异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角（或补角）；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由于两异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两异面直线所成的角三、双空题15（2022山东潍坊二模）根