备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题23复数经典问题(解析版).docx

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1、专题23 复数经典问题 【考点预测】一.基本概念（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.（2）形如的数叫复数，记作.复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数. 两个复数相等（两复数对应同一点）复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.二.基本性质1、复数运算（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数.（3）.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2、复数的几何意义（1）复数对应平面内的

2、点；（2）复数对应平面向量；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.【典例例题】例1（2023河南长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数，则的实部为（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以的实部为.故选：A.例2（2023春广东高三统考开学考试）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（）A1BC0D【答案】C【解析】，所以，的实部为0故选：C例3（2023春广东广州高三统考阶段练习）已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（）ABCD【答案】B【解析】由题意，则，其虚部为.故选：B例4

3、（2023四川成都高三成都七中校考阶段练习）复数z满足：（）ABCD【答案】A【解析】设，则，由得，解得，故选：A例5（2023全国高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（）ABCD【答案】B【解析】设，则，则，.故选：B.例6（2023春江苏常州高三校联考开学考试）若复数是纯虚数，则（）ABCD【答案】B【解析】为纯虚数，故选：.例7（2023春河南新乡高三校联考开学考试）已知，且为实数，则实数（）ABC1D2【答案】A【解析】因为为实数，所以.故选：A例8（2023湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（）

4、A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】复数是纯虚数，且，故，.故复数在复平面内对应的点在第一象限，故选：A.例9（2023浙江高三期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（）A1BC1或D或5【答案】C【解析】由题意得，则，所以，解得或，故选：C例10（2023四川乐山统考一模）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（）ABCD【答案】B【解析】复数z满足,即，其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等，即点的轨迹为和的垂直平分线，即z在复平面内对应的点在直线上，故，故选：B例11（2023春河北石家庄高三石家庄二中校考开学考试）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个

5、根，则（）ABCD【答案】A【解析】因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.根据根与系数的关系可得即得,所以故选:A.例12（2023高三课时练习）若且，则的最小值为_【答案】3【解析】表示圆心为，半径为1的圆，而表示圆上的点到的距离，最小值为圆心到点的距离减1，即最小值为，如图所示故答案为：3例13（2023高三课时练习）已知复数，则_【答案】【解析】，.故答案为：.【技能提升训练】一、单选题1（2023江苏扬州高三校联考期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（）AB3CD2【答案】D【解析】，则，则z的实部为.故选：D.2（2023湖南益阳高三统考期末）设复数，则（）ABCD【

6、答案】D【解析】设，则，即：，.故选：D.3（2023山东德州高三统考期末）已知复数z满足3z1（z2）i，则z（）ABCD【答案】D【解析】设复数，代入，有，则，解得，.故选：D4（2023江苏南京高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a为实数，若存在实数t，使为实数(i为虚数单位)，则a的取值范围是（）A B C D【答案】A【解析】，因为存在实数t，使为实数，a为实数，所以存在实数t，故存在实数t，所以，故选：A.5（2023江西景德镇统考模拟预测）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】因

7、为复数为纯虚数，由，可知，所以，则，所以复数在复平面上对应的点为，位于第四象限.故选：D6（2023内蒙古赤峰统考模拟预测）已知，（为虚数单位），则（）AB1CD3【答案】A【解析】由题意知，则.故选：A.7（2023春山东济南高三统考开学考试）已知复数，其中i是虚数单位，则在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】因为，所以，所以，故在复平面内所对应的点的坐标为，在第三象限.故选：C.8（2023全国高三专题练习）若复数在复平面对应点在第三象限，则a，b满足（）ABCD【答案】D【解析】，又因为复数在复平面对应点在第三象限，所以，解得.故选：D.9（

8、2023浙江杭州高三期末）若复数（其中i为虚数单位），则（）AB2CD4【答案】C【解析】因为，则.故选：C10（2023春河南濮阳高三统考开学考试）已知复数，则（）ABCD【答案】C【解析】复数，故，所以，故选：C11（2023浙江嘉兴高三统考期末）若复数满足（为虚数单位），则（）AB1CD2【答案】A【解析】，.故选：A.12（2023浙江绍兴高三期末）已知复数z满足，则（）AB0C4D5【答案】D【解析】由，则有，所以.故选:D13（2023山西长治高三校联考阶段练习）已知复数的共轭复数为，且，则的值为（）AB1C或1D或2【答案】C【解析】或故选：C.14（2023安徽阜阳高三安徽省临

9、泉第一中学校考期末）已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（）A1B2C1D2【答案】A【解析】设，则，解得：，故的虚部为-1.故选：A15（2023春江西高三校联考阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（）ABCD【答案】D【解析】设，由，由，故选：D16（2023春湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习）若复数z满足，则的实部为（）ABC1D2【答案】C【解析】设复数，则，则由可得且，解得，故，其实部为.故选：C.17（2023江苏高三统考期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（）ABCD【答案】D【解析】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，故选：D.18（2023春江

10、西高三校联考阶段练习）已知i是虚数单位，复数，则（）ABCD【答案】D【解析】，.故选：D19（2023河北保定高三统考期末）若，则等于（）A2B6CD【答案】B【解析】,所以.故选：B20（2023春河南高三商丘市回民中学校联考开学考试）设复数，则（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.21（2023春甘肃天水高三校考开学考试）已知，则（）ABCD【答案】C【解析】由题意故选：C22（2023春浙江绍兴高三统考开学考试）若（是虚数单位），则（）AB0C1D3【答案】A【解析】因为,所以,则,所以,故选：A.23（2023春河南高三洛阳市第三中学校联考开学考试）复数的共轭复数是（）

11、ABCD【答案】A【解析】因为，所以复数的共轭复数是.故选：A.24（2023山东潍坊一中校联考模拟预测）已知复数在复平面内的对应点为，则（）ABCD【答案】D【解析】因为复数在复平面内的对应点为，所以，所以故选：D25（2023高三课时练习）若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（）ABCD无法确定【答案】A【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，故该方程的另一个复数根是.故选：A.26（2023春福建泉州高三校联考阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（）A4BCD【答案】C【解析】由题意可得，即，所以，所以，解得，所以，故选：C27（2023四

12、川成都高三石室中学校考阶段练习）若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】由已知，则z的共轭复数为，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.28（2023全国高三专题练习）已知复数满足，则的虚部为A-4BC4D【答案】D【解析】设 ，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念二、多选题29（2023河北唐山高三统考期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（）ABC若，则D若，则【答案】AC【解析】A选项，A选项正确.B选项，B选项错误.C选项，若，则，解得，所以

13、C选项正确.D选项，当时，所以D选项错误.故选：AC30（2023全国高三专题练习）已知复数，则下列各项正确的为（）A复数的虚部为B复数为纯虚数C复数的共轭复数对应点在第四象限D复数的模为5【答案】BC【解析】，则可得：复数的虚部为1，A错误；为纯虚数，B正确；复数的共轭复数为，其对应点为，在第四象限，C正确；复数的模为，D错误；故选：BC三、填空题31（2023高三课时练习）复数的虚部是_【答案】【解析】，的虚部为.故答案为：.32（2023天津南开高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为_【答案】-2【解析】，由，所以复数为实数，则，此时，满足.故答案为：-233（202

14、3上海静安统考一模）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是_【答案】【解析】，复数在复平面内对应的点为，由已知，在第二象限，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.34（2023全国高三专题练习）设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为_【答案】9【解析】 故复数对应的点的坐标为 ，又因为点在直线 ，整理得： 当且仅当 时，即 时等号成立，即的最小值为9故答案为：935（2023全国高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是_ 【答案】2【解析】设复数z在复平面中对应的点为，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆表示点到点的距离，结合图形可得故答案为：