备战2023年高考数学二轮专题复习专题强化训练(二十一).docx

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1、专题强化训练(二十一)1.(2022山东淄博模拟)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点M(2,m)在抛物线C上,且|MF|=2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程;(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若直线MA,MB的斜率之积为-2,试判断直线l能否与以点M为圆心的圆(x-2)2+(y-m)2=80相切?若能,求此时直线l的方程;若不能,请说明理由.解:(1)因为点M(2,m)在抛物线C上,所以4=2pm,即pm=2,由抛物线的定义知,|MF|=m+p2=2,解得m=1,p=2,故实数m的值为1,抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设直线l的方程为y=kx+t,

2、A(x1,14x12),B(x2,14x22),联立y=kx+t,x2=4y,得x2-4kx-4t=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4t,因为直线MA,MB的斜率之积为-2,M(2,1),所以14x12-1x1-214x22-1x2-2=-2,化简得x1x2+2(x1+x2)=-36,所以-4t+8k=-36,即t=2k+9,若直线l与圆(x-2)2+(y-m)2=80相切,则圆心(2,1)到直线l的距离d=|2k+t-1|k2+1=|2k+2k+9-1|k2+1=80,整理得4k2-4k+1=0,解得k=12,所以t=2k+9=10,故直线l的方程为y=12x+10.2.(2022安徽

3、淮南二模)已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的下顶点为A(0,-2).过点B(0,3)作斜率存在的直线交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别与x轴交于点M,N,记点M,N的横坐标分别为xM,xN.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试判断xMxN是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.解:(1)由题意可知ca=22,b=2,a2=b2+c2,解得a=22,b=c=2,所以椭圆C的标准方程为x28+y24=1.(2)由题意设直线PQ的方程为y=kx+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx+3,x28+y24=1,得(2k2+1)x2+12k

4、x+10=0,则=(12k)2-410(2k2+1)=64k2-400,解得k258.根据根与系数的关系得x1+x2=-12k2k2+1,x1x2=102k2+1,根据题意,直线AP的方程为y=y1+2x1x-2,令y=0,得xM=2x1y1+2,同理可得xN=2x2y2+2,于是xMxN=4x1x2(y1+2)(y2+2)=4x1x2(kx1+5)(kx2+5)=4x1x2k2x1x2+5k(x1+x2)+25=4102k2+1k2102k2+1+5k(-12k2k2+1)+25=4025=85.所以xMxN是定值,该定值为85.3.(2022福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,动点P到

5、直线x=2的距离和点P到点C(1,0)的距离的比为 2,记点P的轨迹为T.(1)求T的方程;(2)若不经过点C的直线l与T交于M,N两点,且OCM=xCN,求CMN面积的最大值.解:(1)设P(x,y),P到直线x=2的距离记为d,则d|PC|=2,依题意,|2-x|=2(x-1)2+y2,化简得x2+2y2=2,即x22+y2=1.(2)设直线l:x=my+t,t1,M(x1,y1),N(x2,y2),由x=my+t,x22+y2=1得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,则=(2mt)2-4(m2+2)(t2-2)=8(m2+2-t2)0,可得m2+2t2,由根与系数的关系得y1+y2

6、=-2mtm2+2,y1y2=t2-2m2+2.法一由OCM=xCN,则kCM+kCN=y1x1-1+y2x2-1=0,所以x2y1+x1y2=y1+y2,即2my1y2+(t-1)(y1+y2)=0,所以2m(t2-2)m2+2+(t-1)(-2mt)m2+2=0,可得t=2,所以直线l经过定点D(2,0).因为CMN的面积为S=12|CD|y1-y2|=12|y1-y2|,所以S=2m2+2-t2m2+2=2m2-2m2+2=2-4(m2+2)2+1m2+2,当1m2+2=18,即m=6时,S有最大值,最大值为24.法二作点M关于x轴的对称点M(x1,-y1),如图所示.因为OCM=xCN

7、,则OCM=xCN,故OCM+OCN=180,所以M,C,N三点共线,所以CMCN,因为CM=(x1-1,-y1),CN=(x2-1,y2),所以(x1-1)y2-(-y1)(x2-1)=0,即x2y1+x1y2=y1+y2,所以2my1y2+(t-1)(y1+y2)=0,则2m(t2-2)m2+2+(t-1)(-2mt)m2+2=0,可得t=2,所以直线l经过定点D(2,0),因为CMN的面积为S=12|CD|y1-y2|=12|y1-y2|,所以S=2m2+2-t2m2+2=2m2-2m2+2,设m2-2=u(u0),则m2=u2+2,则S=2uu2+4=21u+4u24,当u=2,即m=

8、6时,S有最大值,最大值为24.4.(2022河北石家庄模拟)已知抛物线:x2=2py(p0)的准线l被圆x2+y2=2所截得的弦长为2.(1)求抛物线的方程;(2)设准线l与y轴的交点为M,过M的直线l1,l2与抛物线分别交于点A,B和点C,D,直线AC,BD与准线l分别交于E,G两点,求证:|ME|=|MG|.(1)解:由抛物线:x2=2py(p0)可得准线l的方程为y=-p2,可得圆x2+y2=2的圆心(0,0)到准线l的距离d=p2,所以准线l被圆x2+y2=2所截得的弦长为2r2-d2=22-p24=2,p0,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)可得点M(0

9、,-1),由题意可知直线l1,l2的斜率存在,设直线l1的方程为y=k1x-1,直线l2的方程为y=k2x-1,其中k1k2,联立y=k1x-1,x2=4y,得x2-4k1x+4=0,所以xAxB=4,xA+xB=4k1,同理可得xCxD=4,xC+xD=4k2,直线AC的方程为yC-yAxC-xA(x-xA)=y-yA,令y=-1,可得xE=(-1-yA)(xC-xA)yC-yA+xA,因为-1-yA=-k1xA,所以xE=-k1xAxC+k1xA2yC-yA+xA,所以xE=-k1xAxC+k1xA2+xA(k2xC-k1xA)k2xC-k1xA,同理xG=-k1xBxD+k1xB2+xB

10、(k2xD-k1xB)k2xD-k1xB,所以xE+xG=(-k1xAxC+k1xA2+k2xAxC-k1xA2)(k2xD-k1xB)(k2xC-k1xA)(k2xD-k1xB)+(k2xC-k1xA)(-k1xBxD+k1xB2+k2xBxD-k1xB2)(k2xC-k1xA)(k2xD-k1xB)=-4k1k2(xA+xB+xC+xD)+4k12(xC+xD)+4k22(xA+xB)(k2xC-k1xA)(k2xD-k1xB)=-16k1k2(k1+k2)+16k12k2+16k22k1(k2xC-k1xA)(k2xD-k1xB)=0,所以xE=-xG,所以|ME|=|xE|,|MG|=|xG|,所以|ME|=|MG|.