备战2024年高考数学一轮复习基础讲义第09讲指数与指数函数(解析版).docx

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1、第09讲 指数与指数函数1、根式（1）次方根的概念与性质次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性质当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.0的任何次方根都为0，记作.（2）根式的概念与性质根式概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.性质.当为奇数时，.当为偶数时，.2、实数指数幂（1）分数指数幂我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂

2、的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质：；.（3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3、指数函数的概念一般

3、地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.【注】指数函数的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.4、指数函数的图象与性质图象定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=ax与y=ax的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0cd1a0，b0，化简的结果是（ ）ABCD-3a【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.3（上海）在，中，nN*，aR时各式子有意义的是（ ）ABC

4、D【答案】B【详解】由0知有意义；由0知无意义；中开奇数次方根，所以有意义；当a0时，a50，此时无意义.故选:B.4（全国）计算：（ ）ABC3D【答案】D【详解】原式.故选：D5（全国）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）ABCD【答案】C【详解】解：因为，所以故选：C6（全国）可以化简成（ ）ABCD【答案】B【详解】解：，故选：B7（全国高一专题练习）计算的结果为（）ABCD【答案】C【详解】故选：C8（全国）=（ ）A2B1C3D0【答案】B【详解】解：故选：B9（全国）设都是正整数，且，若，则不正确的是（ ）ABCD【答案】B【详解】由都是正整数，且，、得，故B选项错误，故

5、选：B.10（全国）已知正数满足，则（ ）A6B7C8D9【答案】B【详解】因为正数满足，所以，即，则，所以，即，因此.故选：B.考点二 指数函数的概念1（全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ）ABC2D4【答案】B【详解】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.2（上海高一专题练习）下列是指数函数的是（ ）ABCD【答案】D【详解】根据指数函数的特征:系数为1，底数满足且，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足,D满足.故选：D.3（全国高一课前预习）函数，且，则（ ）A4B5C6D8【答案】B【详解】由，所以，故选：B4（万荣县第二中学）已知（为常数）的图象经过点，则的值

6、为（ ）A3B6C9D8【答案】C【详解】，即故选：C5（全国高一单元测试）如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）AB2C3D4【答案】B【详解】由题意可知，解得或（舍）故选：B6（全国高一）函数是指数函数，则有（ ）A或BCD或【答案】B【详解】因为函数是指数函数，所以，解得.故选：B.7（全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）A且B且C且D【答案】C【详解】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，解得且.故选：C8（全国高一专题练习）已知正整数指数函数，则（ ）A2B3C9D16【答案】C【详解】因为函数是指数函数，所以，则，所以，所以.故选：C.9

7、（全国高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则（ ）A不确定BC1D【答案】C【详解】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，得，所以.故选：C.10（全国高一专题练习）若函数是指数函数，则（ ）ABC或D且【答案】B【详解】由指数函数的定义，得，解得故选：B考点三 指数函数图象1（全国高一课时练习）已知函数(且)恒过定点，则（ ）A1B3C4D2【答案】C【详解】由题意知，当x1时，y3，故A(1，3)，mn4,故选：C.2（全国高一专题练习）如图，中不属于函数，的一个是（ ）ABCD【答案】B【详解】根据函数与关于对称，可知正确，函数为单调递增函数，故正确.所以不是已知函数图象.故选：B3

8、（广西南宁高一期末）函数的图像恒过定点，则的坐标是（ ）ABCD【答案】D【详解】由指数函数恒过定点，所以函数的图像恒过定点.故选：D4（浙江高一期末）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】D【详解】对于函数，令，得，所以图象恒过定点，故选：D.5（云南宾川四中高一月考）函数的大致图像是（ ）ABCD【答案】C【详解】因为，所以，排除A B D.故选：C6（江西上饶高一期末）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）A BC D【答案】D【详解】因为，所以是增函数；排除AB选项；二次函数开口向上，对称轴，排除C选项；即D正确；故选：D.7（北京房山高一期末）如果函数的

9、图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（ ）ABCD【答案】B【详解】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则，解得.故选：B8（全国高一专题练习）已知函数恒过定点，则函数不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【详解】恒过定点，为减函数，且过点，的函数图象不经过第三象限故选：9（全国高一专题练习）若函数且的图象经过二、三、四象限，一定有A且B且C且D且【答案】A【详解】如图所示，从图象上看出其是一个减函数，则；图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即， 可得，且故选：A10（上海高一期末）已知，则函数的图像必定不经过（ ）A第一象限B第二象限C第

10、三象限D第四象限【答案】A【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，且当越来越大时，图象与轴无限接近.因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.故选：A11（毕节三联学校高一期末）已知函数（且）的图象过定点，则（ ）A5B6CD8【答案】D【详解】解：，当时， 所以过定点，则，则故选：D.12（全国高一专题练习）若函数（且）的图象恒过定点，则m的值是（ ）AB0C1D2【答案】C【详解】由题意，函数的图象恒过定点，可得，即，解得.故选：C.13（吉林四平高一期末）函数恒过定点（ ）A BCD【答案】B【详解】由题意知：，即，此时，所以函数恒过定点，故选：B14（广东揭阳华侨

11、高中高一月考）函数（且）的图象一定经过的点是（ ）ABCD【答案】D【详解】由函数解析式，知：当时，即函数必过，故选：D.15（全国高一课前预习）已知函数，的图象如图所示，则实数，的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【详解】当取1时，三个函数的函数值分别为，由图知.故选：D.16（吉林延边二中高一月考）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)【答案】A【详解】当，即时，为常数，此时，即点P的坐标为(1，5).故选：A.考点四 与指数函数相关的定义域值域问题1（全国高一单元测试）函数的定义域为（ ）ABCD【答案】D【详解】由题意得，所以，解

12、得故选：D.2（全国高一课时练习）已知函数，且当时，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】当时，解得，故选：B.3（全国高一课时练习）函数的值域是（ ）ABCD【答案】A【详解】由，指数函数为减函数，且则，所以的值域是.故选：A4（全国高一单元测试）函数的值域是ABCD【答案】B【详解】因为为单调递增，所以值域是.故选：B.5（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）ABCD【答案】B【详解】由可得，因为在上单调递增，所以即，解得：，所以，即函数的值域是，故选：B.6（全国高一课时练习）函数y的值域是（ ）A0，)B0，4C0，4)D(0，4

13、)【答案】C【详解】要使函数有意义，须满足164x0,则，所以，则0164x16，即函数的值域为0，4)故选：C.7（上林县中学）若，则函数的最小值为（ ）A4B0C5D9【答案】A【详解】设，则（），对称轴为，所以在上单调递增，所以.故选：A.8（全国）函数的值域为（ ）ABCD【答案】A【详解】设，则，因为为减函数，所以，即值域为，故选：A.9（全国）函数（且，）的值域是，则实数（ ）A3BC3或D或【答案】C【详解】当时，在上为增函数， ，解得；当时，在上为减函数，解得综上可知：或故选：C10（福建省安溪第一中学高一月考）设函数，.若存在，使得，则b的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【

14、详解】因为，所以，所以，解得.故选：C考点五 指数函数单调性1（全国）已知，则的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【详解】，递增，且，即.故选：B.2（全国高一专题练习）设，则（ ）ABCD【答案】A【详解】因为函数在上的增函数，且，所以，即又，所以，所以.故选：A.3（浙江）已知，则（ ）ABCD【答案】D【详解】，又函数单调递增，故，即，故选：D.4（吉林四平高一期末）函数的单调递增区间是（ ）ABCD【答案】C【详解】解：令，则，因为在上单调递增，在上单调递减，在定义域内为减函数，所以在上单调递减，在上单调递增，故选：C5（河南高一期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A函数在上既是奇

15、函数，也是增函数B函数在上既是奇函数，也是减函数C函数在上既是偶函数，也是增函数D函数在上既是偶函数，也是减函数【答案】A【详解】因为，所以，所以函数是奇函数，因为，且与均为增函数，所以在上是增函数，故选：A.6（全国高一课时练习）若函数在实数集上是减函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】在实数集R上是减函数有012a1，解得0a即实数a的取值范围是故选：B7（全国高一课时练习）已知，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【详解】由幂函数性质可得：；由指数函数性质可得：，又，故选：A8（全国高一课时练习）已知函数，则函数的图象可能是（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，故，

16、所以在内，为增函数；在内，为减函数.排除ACD,故选：B.9（内蒙古通辽实验中学高一期末（文）若指数函数在上递减，则实数的取值范围是()ABCD【答案】A【详解】解：由题意得： ，解得：，故选A10（江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【详解】解：满足对任意，都有成立，在上是减函数，因为，解得，的取值范围是故选：11（全国高一课时练习）函数y的单调递减区间为（ ）A（，0B0，）C（，D，）【答案】B【详解】解:函数yu在R上为减函数，欲求函数y的单调递减区间，只需求函数ux22的单调递增区间，而函数ux22的单调递增区间为0，），故所求单调递减

17、区间为0，）.故选:B12（全国高一单元测试）“”是“函数在上为增函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若在上为增函数，则，即，因为是的充分不必要条件，所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.故选：A13（浙江高一期末）设函数，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】当时，解得：；当时，解得：；综上所述：的取值范围为.故选：A.14（浙江高一期末）已知函数（且），对任意，当时总有，则实数a的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】因为对任意，当时总有，所以在上单调递增，故有解得故选：A15（全国）若函数f(x)是R上

18、的增函数，则实数a的取值范围为（ ）A(1，)B(1,8)C(4,8)D4,8)【答案】D【详解】由题意得 解得4a8.故选：D.16（全国）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】令，由于函数在上是减函数，外层函数为上的增函数，则内层函数为上的减函数，所以，解得.故选：A.考点六 指数函数的应用1（上海市第二中学）中国银行最新存款利率一年期为：1.75%.小明于2020年存入本金100000(元)，计算到2030年可获得利息约18945(元)，其计算实质采用的是（ ）模型.A一次函数B二次函数C指数函数D对数函数【答案】C【详解】解：一年后，小明的本金和利息共有

19、，两年后，小明的本金和利息共有，则年后，小明的本金和利息共有，共取得的利息可构建函数，采用了指数函数模型故选：C2（全国高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为（ ）A元B元C元D【答案】B【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收人为y元，根据题意可得，从2018到2025年共经过了7年，2025年年底该地区的农民人均年收入为元.故选：B3（全国）已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃

20、（参考数据：）（ ）A12块B13块C14块D15块【答案】C【详解】设光原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为.光通过1块玻璃后，强度，光通过2块玻璃后，强度，光通过块玻璃后，强度.由题意得，即，两边同时取对数，可得.，.又，至少需要通过块这样的玻璃，光的强度能减弱到原来的以下.故选C.4（广东深圳高一期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ）A18倍B倍C倍D倍【答案】C【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数

21、量为，则，经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故选：C.5（全国高一专题练习）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（ ）A125天B100天C75天D50天【答案】C【详解】解析：由题意知，当时，有即，得所以当时，有即，得所以故选：C6（全国高一专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的

22、污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.ABCD【答案】C【详解】由题意可得，可得，设，可得，解得.因此，污染物消除至最初的还需要小时.故选：C.7（湖北十堰高一期末）在考古学中，要测定古物的年代，可以用放射性碳定年法.该方法的原理是：在动植物的体内都含有微量的放射性，动植物死亡后，停止新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变.经科学测定，的半衰期为年（设的原始量为），经过年后，的含量（且），且有.现有一古物，测得其的含量为原始量的，则该古物距今的年数约为（ ）（参考数据：，）ABCD

23、【答案】A【详解】由题可知，由参考数据可得，而，故该古物距今约有年.故选：A.8（浙江高一期末）某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，b为常数).若该食品在0时的保鲜时间是192小时，在33时的保鲜时间是24小时，则该食品在22时的保鲜时间是（ ）A40小时B44小时C48小时D52小时【答案】C【详解】根据题意有，所以，当时，即该食品在22时的保鲜时间是48小时.故选：C9（全国高一课时练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的

24、酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（ ）A6B5C4D3【答案】C【详解】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，当时，；当时，；结合选项可知：他至少经过4个小时才能驾驶汽车，故选：C.10（湖州市第二中学高一月考）2018年5月至2019年春，在阿拉半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则经过_天能达到最初的1600倍（参考数据：，）.A152B150C197D199【答案】A【详解】依题意可知，经过天沙漠蚂虫的数量为，由，得，两边取自然对数得，得.所以经过152天能达到最初的1600倍.故选：A