备战2024年高考数学一轮复习热点知识归纳常用结论提升真题练09幂函数与二次函数(原卷附答案).docx

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1、考向09 幂函数与二次函数1、根据图象高低判断幂指数大小的方法幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大、图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，图象越远离轴(不包括幂函数，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大图低)，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴.2、对于函数，若是二次函数，就隐含，当题目未说明是二次函数时，就要分和两种情况讨论.在二次函数中，的正负决定抛物线开口的方向的大小决定开口大小)确定抛物线在轴上的截距，与确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).3、根据二次

2、函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端点），4、二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：当时，其图象可类似画出；当时，其图象可类似画出；当时，其图象可类似画出2实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3.一元二次方程的根的分布问题一般情况

3、下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件在区间内没有实根在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：轴处在区间的左侧；轴处在区间的右侧；轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴

4、与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.1.幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数的系数为1；的底数是自变量；指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3.常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点4.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标

5、，为对称轴方程.（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.5二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.（1）单调性与最值当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.1（2022湖北黄冈中学三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（）A

6、BCD2（2022宁夏银川一中模拟预测（文）若函数的值域为，则 的取值范围是（）ABCD3（2022山东济南二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（）ABCD4（2022安徽合肥市第六中学模拟预测（文）已知关于x的方程在区间上有实根，那么的最小值为_5（2022内蒙古赤峰模拟预测（文）写出一个同时具有下列性质的函数_；当时，；6（2022四川泸州模拟预测（文）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_.1（2022河北石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（）ABCD2（2022北京昌平二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（）ABCD3

7、（2022湖北宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（）ABCD且4（2022四川宜宾市教科所三模（文）若函数的值域为，则的取值范围是()ABCD5（2022广东佛山二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（）A的最大值为-aB的最小值为-aCD6（2022北京市第十二中学三模）若函数的值域为R，则a的取值范围是（）ABCD7（2022全国高三专题练习）函数的单调递减区间为（）ABCD8（2022全国高三专题练习）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（）ABCD9（2022北京高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，则的值（）A恒大于0B恒小于0C等

8、于0D无法判断10（2022全国高三专题练习）已知幂函数的图象在上单调递减，则实数的值是（）A1BC1或D二、填空题11（2022广东模拟预测）已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_12（2022江苏南通高三期末）已知函数若，则的最大值为_13（2022全国高三专题练习）函数，当时，且的最大值为，则_14（2022全国高三专题练习）已知为常数，函数在区间上的最大值为，则_15（2022全国高三专题练习）设二次函数的值域为，则的最大值为_.16（2022全国高三专题练习（文）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_17（2022全国高三专题练习）已知函数，若在区间上

9、的最大值是3，则的取值范围是_.1（2021湖南高考真题）函数的单调递减区间是（）ABCD2（2015山东高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（）A函数的最大值是1B函数图象的对称轴是直线C函数的单调递减区间是D函数图象过点3（2013浙江高考真题（文）已知a，b，cR，函数f (x)ax2bxc.若f (0)f （4）f （1），则（）Aa0，4ab0Ba0，2ab0Daf （1），f （4）f （1），f (x)先减后增，于是a0，故选：A.4【答案】B【解析】【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B5【答案】D【解析】【详解】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递

10、减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D【考点】分段函数的单调性与最值问题6【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以又，所以，即，所以综上，故选：A.7【答案】C【解析】对选项，则有：对选项，则有：对选项，定义域为：对选项，则有：故答案选：8【答案】9【解析】【详解】的值域为，又的解集为，是方程的两根.由一元二次方程根与系数的关系得，解得.9【答案】【解析】【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 10【答案】【解析】【详解】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论：当时，函数在区间上单调递增，所以；当时，此时，而，所以；当时，在区间上递增，在上递减当时，取得最大值；当时，在区间上递增，当时，取得最大值，则在上递减，上递增，即当时，的值最小故答案为：考点：本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题11【答案】【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：12【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【解析】（1），当且仅当时，即取“=”，符合题意；年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.