备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第二册第六章平面向量、复数第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用课时作业.docx

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1、第3节平面向量的数量积及平面向量的应用 选题明细表 知识点、方法题号平面向量数量积的运算6,8,9平面向量的模3,7,11,15平面向量的夹角与垂直1,2,13平面向量的应用4,5,10,12,141.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为-3,则a与b的夹角为(D)A.6 B.3 C.23 D.56解析:设a与b的夹角为(0a),则a在向量b上的投影为|a|cos =2cos =-3,所以cos =-32,所以=56.2.向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)(a-b),则x等于(C)A.-2 B.2 C.2 D.2解析:法一a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(

2、a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=2.法二因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,所以a2-b2=0,所以|a|=|b|,所以x=2.3.已知a,b是相互垂直的单位向量,与a,b共面的向量c满足ac=bc=2,则c的模为(D)A.1 B.2 C.2 D.22解析:由题意知a,b是相互垂直的单位向量,不妨设a=(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),由ac=bc=2,可得x=y=2,即c=(2,2),则|c|=22+22=22.4.在四边形ABCD中,AB=DC,且ACBD=0,则四边形ABCD是(B)A.矩形 B.菱

3、形C.直角梯形 D.等腰梯形解析:由AB=DC知四边形ABCD为平行四边形,又因为ACBD=0,即ABCD的两条对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形.5.(多选题)如图,点A,B在圆C上,则ABAC的值(BC)A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与弦AB的长度无关解析:如图,连接AB,过C作CDAB交AB于D,则D是AB的中点,故ABAC=|AB|AC|cosCAD=|AB|AC|12|AB|AC|=12|AB|2,故ABAC的值与圆C的半径无关,只与弦AB的长度有关.6.已知梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,且DAB=90,AB=2,AD=1,若点Q满

4、足AQ=2QB,则QCQD等于(D)A.-109 B.109 C.-139 D.139解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1).又AQ=2QB,所以Q(43,0),所以QC=(-13,1),QD=(-43,1),所以QCQD=49+1=139.7.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60,则|a-3b|等于 .解析:|a-3b|=a2+9b2-6ab=1+9-61112=7.答案:78.(2022全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)b= .解析:(

5、2a+b)b=2ab+b2=2|a|b|cos+|b|2=21313+32=11.答案:119.在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则ABAC=.解析:如图所示,由极化恒等式,易得ABAC=AM2-BM2=32-52=-16.答案:-1610.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1+2)OC,R,则点P的轨迹一定经过(C)A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.ABC的外心解析:取AB的中点D(图略),则2OD=OA+OB,因为OP=13(1-)OA+(1-)OB+(1+2)OC,所以OP=132(1-)

6、OD+(1+2)OC=2(1-)3OD+1+23OC,而2(1-)3+1+23=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过ABC的重心.11.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值是(C)A.1 B.2C.2 D.22解析:如图所示,设OAOB,记OA=a,OB=b,OC=c,M为AB的中点,由极化恒等式有(a-c)(b-c)=CACB=|CM|2-|AB|24=0,所以|CM|2=|AB|24=12,可知MC是有固定起点,固定模长的动向量.点C的轨迹是以AB为直径的圆,且点O也在此圆上,所以|c|的最大值为圆的直径长,即为2.

7、12.(2023山东济南模拟)如图,ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且BD=2DC,E为线段AD上一点,若ABE与ACD的面积相等,则BEAC的值为(D)A.14 B.-14C.34 D.-34解析:因为D在线段BC上,且BD=2DC,所以SACD=12SABD,又E为线段AD上一点,因为ABE与ACD的面积相等,所以SABE=12SABD,E为AD的中点,如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(32,332),D(2,0),C(3,0),E(74,334), 所以BE=(74,334),AC=(32,-332),所以BEAC=7432-334332=-34.13.已知平面向

8、量a=(3,3),则与a夹角为45的一个非零向量b的坐标可以为 .(写出满足条件的一个向量即可)解析:设b=(x,y),所以ab=3x+3y=6x2+y222,所以x2+y2=x+y,所以xy=0,且b为非零向量,因为x=1,y=0满足题意,所以b=(1,0).答案:(1,0)(答案不唯一,满足b=(x,y),xy=0,且x2+y20的任意一个均可)14.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F1,F2,且F1,F2与水平线夹角均为45,|F1|=|F2|=102 N,则物体的重力大小为 N.解析:如图所示,因为|F1|=|F2|=102 N,所以|F1

9、+F2|=1022=20 N,所以物体的重力大小为20 N.答案:2015.已知向量a,b,c满足|a|=4,|b|=22,=4,(c-a)(c-b)=-1,则|c-a|的最大值为.解析:设OA=a,OB=b,OC=c,以OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),因为|a|=4,|b|=22,a与b的夹角为4,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),因为(c-a)(c-b)=-1,所以x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,1为半径的圆,|c-a|表示点A,C间的距离,即圆上的点与A(4,0)间的距离,因为圆心到A的距离为2,所以|c-a|的最大值为2+1.答案:2+1