高考数学专题5　三角形中的范围(最值)问题.docx

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1、微专题5三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解决此类问题要善于利用三角形的性质或者巧妙地引入参数本专题主要对以三角形为载体的最值问题进行探究，并在解题过程中感受三角、解集、函数、不等式等知识的整体联系.例题：(2018江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，BD是ABC的平分线，交AC于点D，且BD1，求4ac的最小值变式1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(2ac，b)，n(cosB，cosC)，且m，n垂直(1)求角B的大小；(2)若ABC的平分线BD交AC于点D，且BD1，

2、设BCx，BAy，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设ABx km，ACy km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab，ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值串讲2在等腰直角OPQ中，POQ，OP2，点M在线段PQ

3、上，点N在线段MQ上，且MON.(1)设POM，试用表示OM，ON，并写出的范围；(2)当取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值(2018全国大联考)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(ca，b)，n(ca，bc)，且a3，mn.(1)求ABC面积的最大值；(2)求bc的取值范围在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，且4S(a2c2b2)(1)求B的大小；(2)设向量m(sin2A，3cosA)，n(3，2cosA)，求mn的取值范围答案：(1)；(2)(6，33解析：(1)由题意，有4acsinB(a2c2b2)，2分则si

4、nB，所以sinBcosB.4分因为sinB0，所以cosB0，所以tanB.又0B，所以B.6分(2)由向量m(sin2A，3cosA)，n(3，2cosA)，得mn3sin2A6cos2A3sin2A3cos2A33sin3.8分由(1)知B，所以AC，所以0A.所以2A.10分所以sin.12分微专题5例题1答案：9.解法1由SABDSCBDSABC，得c1sin60a1sin60acsin120，所以，acac.即1.所以4ac(4ac)()5529.当且仅当c2a即a，c3取等号，所以4ac的最小值为9.解法2如图作DEAB交BC点E，所以EDBDBADBE60，因为BD1，所以BD

5、E是边长为1的正三角形，即，变形得acac，变形得1.于是1，解得4ac9，当且仅当4a2c，当且仅当c2a即a，c3时取等号，所以4ac的最小值为9.解法3设BDC，易得60120，在BDC中，因为BD1，sinCsin(60)，所以a，同理c.所以4ac9.当且仅当2(1)(1)时取等号，即tan3时4ac取最小值9.解法4以B为坐标原点，BC为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则A落在第二象限，设直线AC的方程为yk(x)，其中k0，即a，由于直线BA的方程为yx代入yk(x)，解得xA0，则4ac12()129.当且仅当k1(k)1，即k时取等号，所以4ac的最小值为9.变式联想变式1答

6、案：(1)；(2)2，)解析：(1)因为mn，所以(2ac)cosBbcosC0，在ABC中，由正弦定理得(4RsinA2RsinC)cosB2RsinBcosC0，所以(2sinAsinC)cosBsinBcosC0，即2sinAcosBsin(BC)0，即sinA(2cosB1)0，因为A，B(0，)，所以sinA0，解得cosB，B.(2)因为SABCSABDSBCD，SABCxysinxy，SABDysiny，SBCDxsinx，所以xyxy，即y，x(1，)在ABC中，由余弦定理得AC2x2y22xycosx2y2xy(xy)2xy(xy)2，因为xyxy，x0，y0，所以xy4，所以AC2(4)2，所以AC2.所以AC的取值范围是2，)变式2答案：(1)y，；(2).解析：(1)由SABCSABDSACD得，xsin60ysin60xysin120，所以xyxy，所以y，又0y5，0a3，所以bc的取值范围是(3，2