备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题07函数的性质-单调性、奇偶性、周期性(解析版).docx

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1、专题07 函数的性质单调性、奇偶性、周期性 【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知奇函数+M题型十：已知由函数奇偶性解不等式题型十一：函数的对称性与周期性题型十二：函数性质的综合【考点预测】1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数如果对于内的任意两个自变量的值，当

2、时，都有，那么就说在区间上是减函数属于定义域内某个区间上；任意两个自变量，且；都有或；图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的（2）单调性与单调区间单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间函数的单调性是函数在某个区间上的性质（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如

3、果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）3、函数的对称性（1）若函数为偶函数，则函数关于对称（2）若函数为奇函数，则函数关于点对称（3）若，则函数关于对称（4）若，则函数关于点对称4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周

4、期函数，称为这个函数的周期（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；定号：判断差的正负或商与的大小关系；得出结论（2）函数单调性的判断方法定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值变形判断符号下结论”进行判断图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间（3

5、）记住几条常用的结论：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称（2）奇偶函数的图象特征函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的

6、和的形式记，则（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇（8）常见奇偶性函数模型奇函数：函数或函数函数函数或函数函数或函数注意：关于式，可以写成函数或函数偶函数：函数函数函数类型的一切函数常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且5

7、、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则（2）若函数关于点对称，则（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1（2023全国高三专题练习）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（）ABCD 【答案】C【解析】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减故选：C例2（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，总有成立，则函数一定是（）A奇函数B偶函数C增函数D减函数【答案】C【解析】对于任意两个不相等的实数，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实

8、数，总有所以函数一定是增函数故选：C例3（2023全国高三专题练习）下列函数在上是减函数的为（）ABCD【答案】C【解析】对于选项A，在上无意义，不符合题意；对于选项B，在上是增函数，不符合题意；对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；对于选项D，在上是增函数，不符合题意故选：C变式1（2023全国高三专题练习）已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值；（2）判断函数的单调性并证明【解析】（1）由为定义在上奇函数可知，解得经检验，此时对任意的都有故（2）由递增，可知在上为减函数，证明如下：对于任意实数，不妨设，则单调递增，且，即，故在上为减函数变式2（2023全国高三专

9、题练习）已知（1）证明：在（2，+）单调递增；（2）解不等式：【解析】（1）x1，x22，+），且x1x2，则 ，x1，x22，+），则x1x240，x1x20， 且x1x20，0，即，在2，+）单调递增（2）由，即2，+），在2，+）单调递增，要使，即，解得，不等式的解集为变式3（2023春山东济宁高三校考阶段练习）已知，且（1）求实数的值；（2）判断此函数的奇偶性并证明；（3）判断此函数在的单调性（无需证明）【解析】（1）由，解得（2）为奇函数证明：由（1）得，则，为奇函数（3），在上单调递增【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值变形判断符号下结

10、论”进行判断图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间题型二：复合函数单调性的判断例4（2023全国高三专题练习）函数 的单调递减区间为（）ABCD【答案】D【解析】错令，是有，而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，即其减区间为故选：A错因：没有考虑函数的定义域正由可得或，故函数的定义域为令，是有，而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，即其减区间为故选：D例5（2023全国高

11、三专题练习）函数的单调递减区间为（）ABCD【答案】A【解析】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A例6（2023全国高三专题练习）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】C【解析】令，解得，令，则，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是故选：C变式4（2023全国高三专题练习）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】因为函数在上单调递减，所以 ，解得，所以a的取值范围是，故选：A【方法技巧与总结】讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌

12、握基本函数的单调性一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减题型三：利用函数单调性求函数最值例7（2023全国高三专题练习）已知函数，则的最大值为_【答案】【解析】时，单调递增，；时，单调递减，所以的最大值为故答案为：例8（2023春上海浦东新高三上海市实验学校校考阶段练习）函数

13、在上的值域为_【答案】【解析】在上为增函数，则在上的最小值为，最大值为，即故答案为：例9（2023全国高三专题练习）已知设，则函数的最大值是（）AB1C2D3【答案】B【解析】当，即时，在上单调递增，所以，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，所以；综上：函数的最大值为1故选：B变式5（2023全国高三专题练习）函数y在2，3上的最小值为（）A2BCD【答案】B【解析】y在2，3上单调递减，所以x=3时取最小值为，故选：B【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值常用到下面的结论：1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值2、如果函

14、数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是题型四：利用函数单调性求参数的范围例10（2023全国高三专题练习）已知函数yax22x3在2，）上是减函数，则实数a的取值范围是_【答案】（，0【解析】当a0时，y2x3满足题意；当a0时，则，综上得a0故答案为：（，0例11（2023全国高三专题练习）函数在上单调递减，则实数的取值范围是_【答案】【解析】时，在R上单调递减满足条件；时，对称轴为，解得由得，故的取值范围

15、是故答案为：例12（2023全国高三专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】函数在是减函数，在是增函数，若函数在区间是增函数，则故答案为：变式6（2023全国高三专题练习）若函数是上的单调函数，则的取值范围（）ABCD【答案】B【解析】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得： 故选：B【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解1、若在上恒成立在上的最大值2、若在上恒成立在上的最小值题型五：基本初等函数的单调性例13（

16、2022全国高三阶段练习（文）下列函数在上单调递减的是（）ABCD【答案】D【解析】A：由二次函数性质知，图象开口向上，且在上单调递减，在上单调递增，故A错误B：根据指数函数的单调性知，函数在上单调递增，将图象向右平移1个单位长度得出的图象，其在上单调递增，故B错误；C：由幂函数的单调性知在上单调递增，其在上单调递增，故C错误；D：根据余弦函数的单调性知，在上单调递减，当时，又，所以在上单调递减，故D正确故选：D例14（2022全国高三专题练习）下列函数中，定义域是且为增函数的是ABCD【答案】B【解析】对于，是上的减函数，不合题意；对于，是定义域是且为增函数，符合题意；对于，定义域是，不合题

17、意；对于，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题例15（2022全国高三专题练习）已知是奇函数，且对任意且都成立，设， ， ，则（）ABCD【答案】B【解析】当时，由，当时，由，因此函数是单调递增函数，因为是奇函数，所以，因此当时，有，当时，有，因为是奇函数，所以有，因为，所以，即，因此故选：B【方法技巧与总结】1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决2、求复合函数单调区间的一般步骤为：求函数定义域；求简单函数单调区间；求复合函数单调区间（同增异减）3、利用函数单调

18、性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系题型六：函数的奇偶性的判断与证明例16（2023全国高三专题练习）函数（1）判断并证明函数的单调性；（2）判断并证明函数的奇偶性；（3）解不等式【解析】（1）任取，令则则，可得即函数在上递增（2）的定义域为即为定义在上的奇函数（3）即函数在上递增即或例17（2023春北京高三北京市第十二中学校考阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）ABCD【答案】D【解析】由题意，四个函数定义域都是在

19、中，是奇函数；在中，是偶函数；在中，是偶函数；在中，既不是奇函数，也不是偶函数；故选：D例18（2023广东高三统考学业考试）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（）A BCy=|x|D【答案】D【解析】，都是奇函数，排除A，B ，都是偶函数，在上递增，在递减，故选：D【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性题型七：已知函数的奇偶性求参数例19（2023全国高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为_【答案】1【解析】当时，当时，故，而，故即，故答案为：1例20（2023全国高三专题练习）若函数是偶函数，则_【答案】【解析】由题

20、意知：，同乘以得，故，故答案为：例21（2023全国高三专题练习）若函数的图象关于轴对称，则常数 _【答案】【解析】可知函数为偶函数，定义域为R，则，即，解得，则，显然满足题意，则故答案为：变式7（2023全国高三专题练习）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为_【答案】4【解析】因为为定义域上的奇函数，所以恒成立解得故答案为：4变式8（2023全国高三专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为_【答案】【解析】函数是偶函数对定义域内每一个都成立，对定义域内每一个都成立，即 变式9（2023全国高三专题练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为_【答案】【解析】函数在区间上的偶函数，即

21、【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例22（2023全国高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，则_【答案】【解析】，即，又为奇函数，故答案为：例23（2023全国高三专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则函数在R上的解析式为_【答案】【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，则有，设，有，则，又由函数为奇函数，则，则故答案为：例24（2023全国高三专题练习）已知是偶函数，当时，则当时，_【答案】【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时

22、，故答案为：变式10（2023全国高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为_【答案】【解析】由题意得：，即，-得：，解得：故答案为：变式11（2023全国高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，则当时，（）ABCD【答案】C【解析】时，故选：C变式12（2023全国高三专题练习）已知为奇函数，当时，则当时，（）ABCD【答案】C【解析】因为为奇函数，所以，即当时，故选：C【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式题型九：已知奇函数+M例25（2023全国高三校联考阶段练习）已知函数，若，则（）ABCD【

23、答案】D【解析】令，则，为定义在上的奇函数，即，故选：D例26（2023全国高三专题练习）已知函数 ，若，则（）A2B1C2D5【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数因为，所以，则f（a）1故选：B例27（2023全国高三专题练习）已知，设函数，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（）A4与3B3与1C5和2D7与4【答案】B【解析】函数为奇函数，且，为偶数，故选：B变式13（2023全国高三专题练习）已知函数f（x）=2+的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于（）A2B4C2+D4+【答案】B【解析】设，所以，所以函数为奇函数设函数为奇函数的最大值为N，最小值为n，则N+n=

24、0由题得所以故选B【方法技巧与总结】已知奇函数+M，则（1）（2）题型十：已知由函数奇偶性解不等式例28（2023全国高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【解析】因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以，解得故选：C例29（2023全国高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，则不等式等价为，即，解得，即不等式的解集为故答案为：例30（2023全国高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，则不等式的解集为（）ABCD【

25、答案】D【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或故选：D变式14（2023全国高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；又当时，其在单调递减；当时，其在单调递减；又是连续函数，故在上都是单调减函数；则，即，则，解得故选：D变式15（2023全国高三专题练习）定义在上的偶函数在区间上单调递增，若，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由题意，则或故选：D变式16（2023全国高三专题练习）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）ABCD【

26、答案】C【解析】义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，或，故或，故选：C【方法技巧与总结】画图，数形结合题型十一：函数的对称性与周期性例31（2023江苏南京南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，为偶函数，则（）A1B-1C2D-3【答案】B【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以故选：B例32（2023全国高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，则（）A0B1C6D216【答案】C【解析】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，则，故故选：C例33（2023全国高三专题练

27、习）设定义在上的奇函数，满足对任意的都有，且当时，则的值等于（）ABCD【答案】C【解析】由于函数为上的奇函数，满足对任意的都有，则，因此，故选：C变式17（2023全国高三专题练习）已知，当时，为增函数设，则、的大小关系是（）ABCD【答案】D【解析】，当时，为增函数，所以，因此，故选：D变式18（2023全国高三专题练习）定义在上的函数满足若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（）ABCD【答案】A【解析】函数的图象关于直线对称，则必有，所以，又因为满足，取，所以，则，取，则，A对； 故选：A变式19（多选题）（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对

28、称，且则下列选项中说法正确的有（）A为奇函数B周期为2CD是奇函数【答案】AD【解析】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确；因为关于直线对称，即，所以，所以函数的周期，故B项错误；，故C项错误；，所以是奇函数，故D项正确故选：AD【方法技巧与总结】（1）若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且题型十二：函数性质的综合例34（2023全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，则_【答案】【解析】解：是上的奇函数， 又， ，所以是周期函数，且周期为4故

29、答案为：2例35（2023全国高三专题练习）已知函数，请写出一个同时满足条件的函数的解析式为_【答案】【解析】由知的图象关于直线对称，由知为偶函数，所以，故为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为故答案为：（答案不唯一，只要符合条件即可）例36（多选题）（2023全国高三专题练习）已知为偶函数，且为奇函数，若，则（）ABCD【答案】ABC【解析】A选项，因为为偶函数，所以，因为为奇函数，所以，令得：，解得：，所以令得：，即，所以，故A正确；B选项，令得：，即，因为，则，所以，所以，故B正确；C选项，因为，所以，因为，所以，即，所以，所以，即，所以，所以的周期为4，故C正确；D选项，因为，所

30、以令得：，解得：，令中得：，故D错误故选：ABC变式20（多选题）（2023全国高三专题练习）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，则（）A是以2为周期的周期函数B点是函数的一个对称中心CD函数有3个零点【答案】BD【解析】依题意，为偶函数，且，有，即关于对称，则，所以是周期为4的周期函数，故A错误；因为的周期为4，关于对称，所以是函数的一个对称中心，故B正确；因为的周期为4，则，所以，故C错误；作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，故D正确故选：BD【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综

31、合解不等式和比较大小（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍【过关测试】一、单选题1（2023全国高三专题练习）若偶函数在上是增函数，则（）ABCD【答案】B【解析】因为在上是增函数，且，所以，又为偶函数，所以，则，故选：B2（2023春陕西西安高三统考期末）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（）ABCD【答案】A【解析】对于A，根据一次函数的性质，易知函数既是减函数，又是奇函数，故A正确；对于B，根据正弦函数的性质，易知函数是奇函数，非减函数，故B错误；对于C，根据对数函数的性

32、质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故C错误；对于D，根据指数函数的性质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故D错误.故选：A.3（2023全国高三专题练习）设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（）A直线对称B直线对称C直线对称D直线对称【答案】D【解析】设函数的图象上任意一点，则，关于直线的对称点为又函数中，当时，所以在的图象上故函数与函数的图象关于直线对称，故选：D4（2023全国高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】函数是定义在上的减函数，且，解得.故选：C5（2023春广东茂名高三统考阶段练习）已知是奇函数，则（）A1BCD【

33、答案】B【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得，所以，此时是奇函数，所以.故选：B.6（2023全国高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（）ABCD【答案】B【解析】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.故选：B7（2023全国高三专题练习）已知函数，若，则（）A1B2CD【答案】B【解析】，又，.故选：B.8（2023全国高三专题练习）关于函数的单调性的说法正确的是（）A在上是增函数B在上是减函

34、数C在区间上是增函数D在区间上是减函数【答案】C【解析】由函数的解析式知定义域为，设，显然在上是增函数，在上是增函数，由复合函数的单调性可知在上是增函数，故选：C9（2023全国高三专题练习）已知是上的偶函数，当时，则时，（）ABCD【答案】C【解析】因为是上的偶函数，当时，则.故选：C.10（2023全国高三专题练习）设是定义在上的周期为3的函数，当时，则（）A1B1CD【答案】D【解析】因为是定义在上的周期为3的函数，当时，则.故选：D.二、多选题11（2023全国高三专题练习）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A是奇函数B是奇函数C是偶函数D是偶函数【

35、答案】AD【解析】因为是奇函数，是偶函数，所以，易得，故是奇函数，A正确；，故是偶函数，B错误；，故是奇函数，C错误；，故是偶函数，D正确故选：AD12（2023全国高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（）A的图象关于原点对称B的图象关于y轴对称C的值域为D，且，【答案】AC【解析】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；对于C中，设，可得，所以，即，解得，即函数的值域为，所以C正确；对于D中，对，且，可得函数为减函数，而为单调递增函数，所以D错误.故选：AC.13（2023全国高三专题练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）

36、AB C D 【答案】AC【解析】易得四个函数定义域均为R，对于A，令，则，且在上单调递增，A正确；对于B，令，B错误；对于C，令，且在上单调递增，C正确；对于D，令， D错误.故选：AC.14（2023全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（）A函数的周期B C点是函数图象的一个对称中心D在上有4个零点【答案】ABC【解析】由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，所以函数的周期为，所以A正确；由，即，所以，且，又由，所以，所以B正确；由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确；由在上有，所以函数在上有5个零点，所以D错误.故选：ABC.15（202

37、3全国高三专题练习）下面关于函数的性质，说法正确的是（）A的定义域为B的值域为C在定义域上单调递减D点是图象的对称中心【答案】AD【解析】由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因为关于对称，所以关于对称，故D正确；函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；函数在和上单调递减，故C错误；故选：AD三、填空题16（2023春北京大兴高三校考阶段练习）设是定义在R上的奇函数若当时，则_【答案】【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，因为当时，所以，故答案为：17（2023全国高三专题练习）已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为_【答案】（答案不唯一）【解析】为上的偶函数，又，用替换，得，的周期

38、为4，则的一个解析式可以为故答案为：（答案不唯一）18（2023全国高三专题练习）函数ylog5(x22x3)的单调递增区间是_【答案】(1，)【解析】由题意，函数满足，解得或，即函数的定义域为，令，则函数在(，3)上单调递减，在(1，)上单调递增，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ；故答案为： .19（2023上海高三专题练习）已知是奇函数，且当时，若，则_.【答案】【解析】因为是奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得.故答案为：20（2023河南信阳高三统考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，则_【答案】3【解析】函数和互为反函数，则函数

39、和关于对称，将与联立求得交点为，由直线分别与函数和的图象交于点为，则点，和，的中点坐标为，则，即，故答案为：321（2023全国高三专题练习）定义在上的奇函数满足，当时，则的值为_.【答案】【解析】由题意，函数满足，化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，因为为奇函数，所以，因为，即，所以.故答案为：22（2023全国高三专题练习）已知函数，若，则_.【答案】 【解析】由已知：函数定义域为R， ， ，则 ，故答案为： .23（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则_.【答案】【解析】因为在R上的函数满足，且，令，有，又，所以函数是以4为周期的周期函数，所以.故答案为：24（2023全国高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，则_【答案】#【解析】因为函数是奇函数，对任意的，都有，且当时，所以.故答案为：.25（2023全国高三专题练习）已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是_.(填序号)的图像关于直线对称；的图像关于点对称；的最小正周期为4；为偶函数【答案】【解析】因为，所以的图像关于直线对称，故正确，错误；因为函数f(x)的图像关于直线对称，所以，又，所以，所以，故正确；