备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题09指数与指数函数(解析版).docx

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1、专题09 指数与指数函数 【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【考点预测】1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，记为，称为根指数，称为根底数（2）根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘（4）有理数指数幂的分类正整数指数幂；零指数幂；负整数指数幂，；的正分数指数幂等于，的负分数指

2、数幂没有意义（5）有理数指数幂的性质，；，；，；，2、指数函数图象性质定义域，值域，即时，图象都经过点，即时，等于底数在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数时，；时，时，；时，既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1、指数函数常用技巧（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论（2）当时，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快（3）指数函数与的图象关于轴对称【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法

3、求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.例1（2023全国高三专题练习）下列计算正确的是（）ABCD【答案】D【解析】A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确.故选：D例2（2023全国高三专题练习）化简的结果为（）ABCD6ab【答案】C【解析】原式.故选：C.例3（多选题）（2023全国高三专题练习）已知，下列结论正确的是（）ABCD【答案】ABD【解析】由，所以A正确；由，所以B正确；由，因为，所以，所以C错误；由，所以D正确故选：ABD变式1（2023全国高三专题练习）(a0，b0)_.【答案】【解析】原式.故答案为：变式2（1991全国高考

4、真题）不等式的解集是_.【答案】【解析】，则，整理得，解得.故答案为：.变式3不等式的解集是_.【答案】【解析】故答案为：变式4（2023春山西运城高三校考阶段练习）的解集为_.【答案】【解析】由得：，解得：，即的解集为.故答案为：.题型二：指数函数的图像及性质【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.例4（2023全国高三专题练习）函数(a0且a1)的图象可能为（）ABCD【答案】C【解析】当时，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；对于CD

5、，因为渐近线为，故，故时，故选项C符合，D不符合；当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；故选：C例5（2023全国高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（）A，B，C，D，【答案】D【解析】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，排除AB选项；分析可知：函数图像是由向左平移所得，.故D选项正确.故选：D例6（2023广东高三统考学业考试）函数（a0，且a1）的图象恒过定点（）A（0，3）B（0，2）C（1，3）D（1，2）【答案】D【解析】令x10，则x1，此时，ya032，图象过定点（1，2）故选：D变式5（202

6、3全国高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.另因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.故选：B变式6（2023全国高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）ABCD【答案】C【解析】A. 函数的定义域为，值域为R；B. 函数的定义域为R，值域为；C. 函数的定义域为R，值域为R；D. 函数的定义域为，值域为，故选：C变式7（2023全国高三专题练习）下列函数中，值域为的是（）ABCD【答案】C【解析】函数的值域为，故排除；函数的值域为，故排

7、除；函数的值域为，故满足条件；函数的值域为，故排除，故选：变式8（2023全国高三专题练习）已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】根据指数函数性质知，解得故选：C变式9（2023全国高三专题练习）已知函数，则（）A是偶函数，且在是单调递增B是奇函数，且在是单调递增C是偶函数，且在是单调递减D是奇函数，且在是单调递减【答案】B【解析】定义域为，且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；故选：B变式10（2023全国高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】函数在上单调递减，解得，实数的取值范围是.故选

8、：A.变式11（2023全国高三专题练习）指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以，得，所以实数a的取值范围是，故选：D变式12（2023全国高三专题练习）设函数则满足的实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】当时，此时，不合题意；当时，可化为，所以，解得综上，实数的取值范围是故选：B题型三：指数函数中的恒成立问题【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对

9、解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解例7（2023全国高三专题练习）若函数，在上恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】因为恒成立，所以在上恒成立；设，则，因为时，所以.例8（2023全国高三专题练习）已知函数是奇函数.(1)求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）因为函数是奇函数，定义域为R，所以，令，有，即，经检验符合题意，所以，又因为函数在R上递增，函数在R上递减，所以函数是R上的增函数（2）不等式可化为，由函数是R上的增函数，所以，即，而，所以，故实数k的

10、取值范围为例9（2023春山西长治高三校考阶段练习）已知定义在上的函数是奇函数(1)求实数；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)是定义域为的奇函数，则，满足，所以成立.(2)中，函数单调递减，单调递增，故在上单调递增原不等式化为，即恒成立，解得变式13（2023全国高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，又恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，所以，所以，即；故选：B题型四：指数函数的综合问题例10（2023全国高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值

11、【解析】（1）因为函数且是定义域为的奇函数，可得，从而得，即当时，函数，满足，所以，由，可得且，解得，所以是增函数，又由，可得，所以，解得，即不等式的解集是（2）由（1）知，因为，即，解得，故，令，则在上是增函数，故，即，此时函数的对称轴为，且开口向上，所以当，函数取得最小值，最小值为，即函数的最小值为例11（2023春陕西咸阳高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知指数函数，当时，有，若不等式解集为，函数的值域为B(1)求集合；(2)当时，求的取值范围【解析】（1）根据题意，指数函数，当时，有，可得，所以，函数为上的减函数，由可得，解得，故.（2），故，因为，则，所以，解得.因此，实数的取值

12、范围是.例12（2023春山西太原高三校考期中）已知是偶函数(1)求实数k的值；(2)求不等式的解集【解析】（1）由题意，则，解得.（2）由（1）可知，则，整理为，解得，即.【过关测试】一、单选题1（2023春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（）ABCD【答案】A【解析】，是减函数，排除CD，是增函数，又排除B，故选：A2（2023春北京大兴高三校考阶段练习）“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为指数函数单调递增，由可得：，充分性成立，当时，但不一定，必要性不成立，故选：A

13、3（2023全国高三专题练习）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）ABCD【答案】A【解析】根据图象可知，函数关于对称，且当时，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.4（2023全国高三专题练习）设，且，则=（）A4B5C6D7【答案】B【解析】由题意，函数，因为，可得，解得，即，所以.故选：B.5（2023全国高三专题练习）若函数满足，且当时，则（）AB10C4D2【答案】B【解析】由，得，函数是周期函数，且4是它的一个周期，又当时，；故选：B.6（2023全国高三专题练习）不等式成立是不等式成立的（）A充分不必要条件B必

14、要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.故选：B.7（2023全国高三专题练习）甲乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（）A或B或C或D或【答案】D【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或故选：D8（2023全国高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】由题意可得，即，函数单调递增，所以，解得故选：

15、B9（2023全国高三专题练习）函数在的最大值是（）ABCD【答案】C【解析】因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，所以.故选：C10（2023全国高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（）ABCD【答案】A【解析】由指数函数（，且），且根据指数函数单调性可知所以，故选：A11（2023全国高三专题练习）若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】二次函数的开口向上，对称轴为，左减右增，所以且在上递减.故，解得，所以实数的取值范围是.故选：B12（2023春四川德阳高三校考期中）世界人口在过去年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（）（参考数据，）

16、ABCD【答案】A【解析】设40年前人口数为，则现在人口数为，假设每年的增长率为，则经过40年增长人口数为，即， ， .故选:A.二、多选题13（2023全国高三专题练习）下列函数是指数函数的有（）ABCD【答案】BC【解析】对于A，函数不是指数函数，对于B，函数是指数函数；对于C，函数是指数函数；对于D，函数不是指数函数.故选：BC.14（2023全国高三专题练习）关于函数的结论正确的是（）A值域是B单调增区间是C值域是D单调减区间是【答案】AB【解析】令，则，又为增函数，所以，所以函数的值域为，故A正确，C错误；因为在上单调递增，为增函数，所以函数的单调增区间是，故选：AB15（2023全

17、国高三专题练习）已知，则（）ABCD【答案】CD【解析】命题意图本题考查不等式的性质.，A错误；，B错误；，C正确，D正确 故选：CD.三、填空题16（2023全国高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为_【答案】【解析】因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示：由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是故答案为：17（2023全国高三专题练习）若函数为指数函数，则a_.【答案】2【解析】因为函数为指数函数，所以，解得a2.故答案为：218（2023全国高三专题练习）已知函数，若，则不等式的解集为_.【答

18、案】【解析】当时，则不等式可转化为或解得或，所以，则不等式的解集为,故答案为：.19（2023全国高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】当时，当时，因为函数的值域为，所以，解得：.故答案为：20（2023全国高三专题练习）已知函数，则_【答案】4043【解析】由题意，函数，可得，设，则两式相加，可得，所以.故答案为：.21（2023全国高三专题练习）下列函数中，满足“”的单调递增函数是_. （填序号）；f（x）3x【答案】【解析】，不满足.，不满足.，是上的减函数，不符合题意.，且在上递增，符合题意.故答案为：四、解答题22（2023全国高三专题练习）化简：

19、（1） （2）(a0，b0).（3）.【解析】（1）原式 （2）原式.（3）原式.23（2023全国高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）原式 ；（2）原式；（3）原式；（4）原式.24（2023全国高三专题练习）已知a0，且a1，若函数y|ax2|与y3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围【解析】当0a1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y|ax2|与y3a的图象如图1若直线y3a与函数y|ax2|(0a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，所以0a1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y|ax2|与y3a的图象如图2若直线y3a

20、与函数y|ax2|(a1)的图象有两个交点，则由图象可知03a2，此时无解所以实数a的取值范围是25（2023春天津武清高三校考阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，.(1)求在上的解析式；(2)若，求a的取值范围.【解析】（1）因为函数是定义域在R上的奇函数，所以，则.当时，所以，则，所以在上的解析式为（2）当时，则在上单调递增，又函数为奇函数，所以在R上单调递增，因为，所以，所以，解得，即a的取值范围是26（2023全国高三专题练习）已知函数，(1)当时，求函数在的值域(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围【解析】（1），令，而对称轴，开口向上，当时，当时，的值域是.（2）方程有解，即有解，即有解，有解，令，则，.27（2023春黑龙江鸡西高三校考开学考试）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)解不等式【解析】（1）由题可知解得（2）由（1）得在上单调递增，解得，故原不等式的解集为