备战2023年高考数学二轮专题复习专题六　解析几何第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质.docx

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1、第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质1.圆锥曲线的定义(2021新高考卷,T5)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为(C)A.13B.12C.9D.6解析:因为F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=6,又|MF1|MF2|(|MF1|+|MF2|2)2=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,取等号,所以|MF1|MF2|的最大值为9.故选C.2.圆锥曲线的方程(2022全国甲卷,T11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C

2、的上顶点.若BA1BA2=-1,则C的方程为(B)A.x218+y216=1B.x29+y28=1C.x23+y22=1D.x22+y2=1解析:因为离心率e=ca=1-b2a2=13,解得b2a2=89,b2=89a2,A1,A2分别为C的左、右顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B为上顶点,所以B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b),因为BA1BA2=-1,所以-a2+b2=-1,将b2=89a2代入,解得a2=9,b2=8,故椭圆C的方程为x29+y28=1.故选B.3.抛物线的性质(多选题)(2022新高考卷,T10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2

3、px(p0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则(ACD)A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|4|OF|D.OAM+OBM2p=4|OF|,C正确;对于D,OAOB=(3p4,6p2)(p3,-6p3)=3p4p3+6p2(-6p3)=-3p240,则AOB为钝角,又MAMB=(-p4,6p2)(-2p3,-6p3)=-p4(-2p3)+6p2(-6p3)=-5p260,则AMB为钝角,又AOB+AMB+OAM+OBM=360,则OAM+OBM0,b0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值

4、.解析:因为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),所以C的渐近线方程为y=bax,结合渐近线的特点,只需01,所以1e5.答案:2(满足10)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.解析:由题意,不妨设P在第一象限,则P(p2,p),kOP=2,因为PQOP,所以kPQ=-12,所以直线PQ的方程为y-p=-12(x-p2),当y=0时,x=5p2,因为|FQ|=6,所以5p2-p2=6,解得p=3,所以抛物线C的准线方程为x=-32.答案:x=-32圆锥曲线的定义方程和性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面

5、进行考查:(1)利用圆锥曲线的定义求解圆锥曲线的方程,利用定义实现距离的转化都是高考常见的命题方向,多以选择题、填空题的形式考查,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.(2)利用圆锥曲线的几何性质解决问题是高考的重点,尤其是椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线等,多以选择题、填空题的形式命题,难度中等,主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.热点一圆锥曲线的定义与标准方程(1)圆锥曲线的定义.椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|).双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(02ab0)的左焦点,椭圆E上一点P(2,1)关于原点的对称点为Q,若

6、PQF的周长为42+25,则a-b=()A.2B.22C.3D.32(2)已知A,B是抛物线y2=8x上两点,当线段AB的中点到y轴的距离为3时,|AB|的最大值为()A.5B.52C.10D.102解析:(1)因为P与Q关于原点对称,则Q(-2,-1),所以|PQ|=212+22=25,又PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|=42+25,所以|PF|+|QF|=42.设椭圆的右焦点为M,则由椭圆的性质,得|PF|=|QM|,所以|QM|+|QF|=2a=42,所以a=22.将点P(2,1)代入椭圆方程,得4a2+1b2=1,则b=2,所以a-b=22-2=2.故选A.(2)设抛物线y2

7、=8x的焦点为F,准线为l,线段AB的中点为M.如图,分别过点A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,连接AF,BF.因为线段AB的中点到y轴的距离为3,抛物线y2=8x的准线l:x=-2,所以|MN|=5.因为|AB|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=10,当且仅当A,B,F三点共线时取等号,所以|AB|max=10.故选C.(1)方法技巧:回归定义,借助几何条件解题.涉及圆锥曲线上的点与焦点的问题,一般都与圆锥曲线的定义有关,解题的关键一是回归定义,二是分析图形的几何关系.椭圆、双曲线定义的应用,主要是关联焦点三角形的周长和面积问题,注意正弦定理、余弦定理(涉及最值

8、问题时常用到基本不等式)在解题中的应用.抛物线定义的应用,主要是利用定义确定动点的运动轨迹是不是抛物线的问题,涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题等,注意在解题中利用两个距离之间的相互转化.(2)常用结论:焦点三角形问题.焦点三角形是椭圆、双曲线中特有的几何图形,与其面积有关的常用结论有:椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,若P是椭圆上的点,F1,F2是两个焦点,且F1PF2=,则SPF1F2=12|PF1|PF2|sin =b2tan 2.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,若P是双曲线上的点,F1,F2是两个焦点,且F1PF2=,则SPF1F2=12|PF1|PF2

9、|sin =b2tan 2.热点训练1 (1)已知双曲线x2-5y2=25上一点P到其左焦点F的距离为8,则PF的中点M到坐标原点O的距离为()A.9B.6C.5D.4(2)(多选题)在ABC中,AB=4,M为AB的中点,且|CA-CB|=|CM|,则下列说法中正确的是()A.动点C的轨迹是双曲线B.动点C的轨迹关于点M对称C.ABC是钝角三角形D.ABC面积的最大值为23解析:(1)由x2-5y2=25,得x225-y25=1,则a2=25,b2=5,所以c2=30,所以a=5,b=5,c=30.设双曲线的右焦点为F1,因为点P到其左焦点F的距离为80,b0)(y0)上,且a2+b2=(AB

10、2)2=4.对点C(x,y)有x2+y2=r2,x2r24-y24-r24=1,从而y2=364r2(16-r2)(y0),当r2=8时,y2最大,故|y|3,SABC23,故D正确;当r=2时,得到另一个C点C,此时ABC为直角三角形,故C错误;因为|CA-CB|非定值,所以C不以双曲线为轨迹,故A错误;因为|CA-CB|=|CM|,所以一定有C关于M的对称点关于原点对称,故B正确.故选BD.热点二椭圆、双曲线的性质(1)求离心率的两种方法.求出a,c,代入公式e=ca.根据条件建立关于a,b,c的齐次式,消去b后,转化为关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.(2)与双曲线x2a2

11、-y2b2=1(a0,b0)共渐近线bxay=0的双曲线方程为x2a2-y2b2=(0).典例2(1)(2022河北沧州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,M为OA的中点,P为双曲线C右支上一点且PF2F1F2,且tan PF1F2=34,则下列说法错误的是()A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为x3y=0C.PM平分F1PF2D.PA=14PF1+34PF2(2)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过点F向双曲线C的一条渐近线作垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,O为坐标原点.若|OF|=|FB|,

12、则双曲线C的渐近线方程为()A.y=33xB.y=2xC.y=3xD.y=x解析:(1)由题设F1(-c,0),F2(c,0)且c0,又PF2F1F2,所以|PF2|=b2a,而tan PF1F2=|PF2|F1F2|=34,故b22ac=34,由b2=c2-a2,则(2c+a)(c-2a)=0,a0,c0,故c=2a,所以C的离心率为2,A正确;由上可得b2=3a2,故C的渐近线方程为y=bax=3x,B错误;由|PF2|=b2a=3a,则|PF1|=2a+|PF2|=5a,故|PF1|PF2|=53,而M为OA的中点,则|MF1|=c+a2=5a2,|MF2|=c-a2=3a2,故|MF1

13、|MF2|=53,由角平分线的性质易知,PM平分F1PF2,C正确;PA=PF1+F1A=PF1+34F1F2=PF1+34(F1P+PF2)=14PF1+34PF2,D正确.故选B.(2)如图所示,过点F(c,0)向双曲线C的另一条渐近线作垂线,垂足为D,双曲线的渐近线方程为y=bax,则点F(c,0)到渐近线的距离d=bca2+b2=b,即|FA|=|FD|=b,则|OA|=|OD|=a.又|OF|=|FB|,所以OFB为等腰三角形,则D为OB的中点,|OB|=2a.在RtOAB中,|OB|=2|OA|,知AOB=60,所以AOF=30,ba=tan 30=33.故双曲线C的渐近线方程为y

14、=33x.故选A.(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求ca的值.(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.热点训练2 (1)(2022江西抚州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),其左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为e=12,点P为该椭圆上一点,且满足F1PF2=3,已知F1PF2的内切圆的面积为3,则该椭圆的长轴长为()A.2B.4C.6D.12(2)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别

15、为F1,F2,渐近线上一点P满足POPF2=0(O为坐标原点),OPF1=30,则双曲线C的离心率为()A.526B.213C.53D.73解析:(1)因为离心率为e=12,所以ca=12,即a=2c,c=12a,再由F1PF2的内切圆的面积为3,设内切圆的半径为r,则r2=3,所以r=3,设|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆的定义可知m+n=2a,在F1PF2中,F1PF2=3,由余弦定理|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos F1PF2=|F1F2|2,即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-2|PF1|PF2|12=|F1F2|2,即3|PF1|PF2

16、|=3mn=4a2-4c2=3a2,可得mn=a2,所以SF1PF2=12|PF1|PF2|sin 3=12mnsin 3=34mn=34a2,而SF1PF2=12(2a+2c)r=123a3=332a,即34a2=332a,解得a=6,所以长轴长为2a=12.故选D.(2)因为POPF2=0,所以PF2PO,由双曲线的性质可知,|PF2|=b,又|OF2|=c,故|OP|=|OF2|2-|PF2|2=c2-b2=a,如图,过点P作PAx轴,则|PA|=|OP|sin POF2=abc,|OA|=|OP|cos POF2=a2c,所以|PF1|=(a2c+c)2+abc2=3a2+c2,在PF

17、1O中,由正弦定理得|PF1|sinPOF1=|OF1|sinOPF1,即3a2+c2bc=c12,整理可得3c2=7a2,则e=c2a2=73=213.故选B.热点三抛物线的性质抛物线的焦点弦的几个常见结论:设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),是弦AB的倾斜角,则(1)x1x2=p24,y1y2=-p2.(2)|AB|=x1+x2+p=2psin2.(3)1|FA|+1|FB|=2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x=-p2相切.典例3(1)(多选题)(2022福建福州模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的准线为l,点M在抛物线上,以M为

18、圆心的圆与l相切于点N,点A(5,0)与抛物线的焦点F不重合,且|MN|=|MA|,NMA=120,则()A.圆M的半径是4B.圆M与直线y=-1相切C.抛物线上的点P到点A的距离的最小值为4D.抛物线上的点P到点A,F的距离之和的最小值为4(2)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A,B两点,且|AF|-|BF|=32,则|AF|BF|=.解析:(1)由抛物线的定义,得|MN|=|MF|,F(p2,0),准线l:x=-p2,以M为圆心的圆与l相切于点N,所以MNl,即MNx轴,又NMA=120,所以MAF=60;因为|MN|=|MF|=|MA|,所以MAF是等边三角形,

19、即|MN|=|MF|=|MA|=|AF|;设点M在第一象限,作AF的中点G,连接MG,因为A(5,0),所以|AF|=|MN|=|MF|=|MA|=5-p2,则|OG|=|MN|-p2,即12(5-p2)+p2=5-p2-p2,解得p=2,则抛物线的方程为y2=4x,则|OG|=3,对于A选项,有|MN|=|MF|=|MA|=5-1=4,故A选项正确;对于B选项,xm=|OG|=3,所以ym=23,易得圆M与直线y=-1不相切,故B选项错误;对于C选项,设抛物线上的点P(t24,t),则|AP|=(t24-5)2+t2,化简,得|AP|=116(t2-12)2+164,当且仅当t2=12时等号

20、成立,故C选项正确;对于D选项,设过点P作准线l:x=-1的垂线交l于点P,由抛物线的定义,知|PP|=|PF|,则|PA|+|PF|=|PP|+|PA|PA|,当且仅当A,F,P三点共线时取得最小值,所以|PA|+|PF|PA|5+1=6,故D选项错误.故选AC.(2)法一抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1)(斜率不存在时不满足题意),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2+4k2,x1x2=1,由抛物线的定义可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,由|AF|-|BF|=32,

21、得(x1+1)-(x2+1)=32,即x1-x2=32,由x1x2=1,x1-x2=32,得1x2-x2=32,解得x2=12或x2=-2(舍去),所以x1=2,所以|AF|BF|=x1+1x2+1=312+1=2.法二由焦点弦的常用结论知1|AF|+1|BF|=2p=1,联立|AF|-|BF|=32,解得|AF|=3,|BF|=32,所以|AF|BF|=332=2.答案:(1)AC(2)2利用抛物线的几何性质解题时,要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系,灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论,使问题简单化且减少数学运算.热点训练3 (多选题)已知抛

22、物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线l的斜率为3且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D.若|AF|=8,则下列结论正确的是()A.p=4 B.DF=FAC.|BD|=2|BF|D.|BF|=4解析:如图所示,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,M,连接EF.抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF|=p,由于直线l的斜率为3,则其倾斜角为60.又AEx轴,所以EAF=60,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则AEF为等边三角形,所以EFP=AEF=60,则PEF=30,所以|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,解得p=4,故A正

23、确;因为|AE|=|EF|=2|PF|,PFAE,所以F为线段AD的中点,则DF=FA,故B正确;因为DAE=60,所以ADE=30,所以|BD|=2|BM|=2|BF|(抛物线定义),故C正确;因为|BD|=2|BF|,所以|BF|=13|DF|=13|AF|=83,故D错误.故选ABC.专题强化训练(十九)一、单项选择题1.“n1”是“方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当n0时,x2+ny2=1可化为x2+y21n=1,因为椭圆的焦点在x轴上,所以11n,即n1,故方程x2+ny2=1表示焦

24、点在x轴上的圆锥曲线时,n1,故“n1”是“方程x2+ny2=1表示焦点在x轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件.故选A.2.阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为74,面积为12,则椭圆C的方程为(A)A.x29+y216=1B.x23+y24=1C.x218+y232=1D.x24+y236=1解析:设椭圆C的方程为x2b2+y2a2=1(ab0),由题意可得ab=12,ca=74,a2=b2+c2,解得a=4,b=3,

25、所以椭圆C的方程为x29+y216=1.故选A.3.(2022广东高中联合质量测评)“青花出晕染,胜却人间无数”,青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一,如图,是一青花瓷花瓶,其外形上下对称,可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径是8 cm,瓶身最小的直径是4 cm,瓶高是6 cm,则该双曲线的离心率为(B)A.52B.72C.54D.344解析:以花瓶最细处所在直线为x轴,花瓶的竖直对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),花瓶的最小直径|A1A2|=2a=4,则a=2,由已知可得M(4

26、,3),故164-9b2=1,解得b=3,所以双曲线的离心率e=1+b2a2=1+34=72.故选B.4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为C在第一象限上的一点,若PF的中点到y轴的距离为3,则直线PF的斜率为(C)A.2B.2C.22D.4解析:由y2=8x,知焦点到准线的距离为p=4,焦点F(2,0).由抛物线的定义知PF的中点到y轴的距离等于|PF|2=3,又|PF|=xP+2,所以xP+2=6,得xP=4,从而yP=42,所以点P(4,42).所以直线PF的斜率为42-04-2=22.故选C.5.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是

27、数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为(B)A.y=3xB.y=33xC.y=x D.y=2x解析:因为双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),所以下焦点为(0,-c)(c0),渐近线方程为y=abx,即axby=0,则下焦点到axby=0的距离d=bca2+b2=b=2,又因为e=ca=1+(ba) 2=2,解得ba=3,即ab=33,所以该双曲线的渐近线方程为y=33x.故选B.6.(2022河北张家口三模)已知点P

28、是抛物线y2=4x上的动点,过点P向y轴作垂线,垂足记为N,动点M满足|PM|+|PN|的最小值为3,则点M的轨迹长度为(C)A.163 B.8C.163+43D.8+23解析:设点F为抛物线y2=4x的焦点.当M在抛物线外部时,如图(1)所示,当M,P,F三点共线时,|PM+PN|最小,故|PM|+|PN|=|PM|+|PN|+1-1=|PM|+|PF|-1|MF|-1=3,所以|MF|=4,点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16(在抛物线外部的部分),与y2=4x联立解得x=3,所以轨迹与抛物线的两个交点为A(3,23),B(3,-23),则AFB=23,圆在抛物线外部的弧长为434=1

29、63;当点M在抛物线上或内部时,如图(2)所示,当N,P,M三点共线时,|PM|+|PN|最小,此时点M的轨迹方程为x=3(-23y23),其长度为43.所以点M的轨迹长度为163+43.故选C.7.(2022广东佛山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过焦点且斜率为22的直线l与抛物线C交于A,B(A在B的上方)两点,若|AF|=|BF|,则的值为(C)A.2B.3C.2D.5解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),直线l的倾斜角为,则y12=2px1,y22=2px2,|AB|=x1+x2+p=2psin2,由tan =22,及同角三角函数的基本关系可得si

30、n2=89,即有x1+x2=54p,由直线l的斜率为22,则直线l的方程为y-0=22(x-p2),即y=22x-2p,联立抛物线方程,消去y并整理,得4x2-5px+p2=0,则x1x2=p24,可得x1=p,x2=14p,则|AF|BF|=p+12p14p+12p=2,故的值为2.故选C.8.(2022四川德阳模拟)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,点P在C上,且仅当点P在y轴右边时有PF1PF2=12PF12,那么椭圆C的离心率的取值范围是(B)A.12,32)B.13,12)C.13,33)D.12,22)解析:设|PF1|=x,由于点P在C上,|P

31、F1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-x,当点P在y轴右边时,有x(a,a+c,设PF1,PF2的夹角为,又PF1PF2=12PF12,所以x(2a-x)cos =12x2,所以cos =x2(2a-x),在PF1F2中,由余弦定理可知,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos ,所以(2c)2=x2+(2a-x)2-2x(2a-x)cos =x2+(2a-x)2-x2=(2a-x)2,又2c0,2a-x0,所以2c=2a-x,所以x=2(a-c),又axa+c,所以a2(a-c)a+c,所以2ca3c,所以13ca12,故13e0,b0)的左、右焦点分

32、别为F1,F2,Q是圆F2:(x-4)2+y2=16上一动点,线段F1Q的垂直平分线交直线QF2于E上的点P,则(ABD)A.E的离心率为2B.E的渐近线方程为y=3xC.F2到E的渐近线的距离为3D.PF1F2内切圆圆心的横坐标为2解析:由题意,可知F2(4,0),所以c=4.又由题意,知|PF1|=|PQ|,所以2a=|PF1|-|PF2|=|PQ|-|PF2|=|QF2|=4b0)上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,焦距为2c(c0),若F1PF2是直角,则(ABC)A.|OP|=c(O为原点)B.SF1PF2=b2C.F1PF2的内切圆半径r=a-cD.|PF1|max=a+c解析:

33、在RtF1PF2中,O为斜边F1F2的中点,所以|OP|=12|F1F2|=c,故A正确;设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2+n2=(2c)2,m+n=2a,所以mn=12(m+n)2-(m2+n2)=2b2,所以SF1PF2=12mn=b2,故B正确;SF1PF2=12(m+n+2c)r=b2,r=2SF1PF2m+n+2c=2b22a+2c=2(a2-c2)2(a+c)=a-c,故C正确;若|PF1|=a+c,则P为椭圆右顶点,此时P,F1,F2构不成三角形,故D错误.故选ABC.11.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过F的直线与抛物线C分别交于A(x1,y1),B

34、(x2,y2)两点,则下列说法正确的是(AD)A.y1y2为定值B.AOB可能为直角C.以BF为直径的圆与y轴有两个交点D.对于确定的直线AB,在C的准线上存在三个不同的点P,使得ABP为直角三角形解析:由题意知直线AB的斜率不为0,设lAB:x=ty+1,与y2=4x联立可得y2-4ty-4=0,y1y2=-4,故A正确;因为x1x2=y12y2216=1,所以kOAkOB=y1y2x1x2-1,所以AOB2,故B错误;设BF的中点为M(1+x22,y22),|BF|2=1+x22,则以BF为直径的圆与y轴相切,故C错误;设AB的中点N(x1+x22,y1+y22),N到C的准线的距离为x1

35、+x22+1,因为|AB|2=x1+x22+1,故有以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,对于确定的直线AB,当P为直角时,此时P为切点;当A或B为直角时,P为过A(或B)的AB的垂线与准线的交点,故D正确.故选AD.12.(2022湖北模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是抛物线y2=4x上一动点,Q是圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上一动点,则下列说法正确的有(AC)A.|PF|的最小值为1B.|QF|的最小值为10C.|PF|+|PQ|的最小值为4D.|PF|+|PQ|的最小值为10+1解析:由题意知,F(1,0),C(4,1),圆C的半径为 r=1,由抛物线的定义知,|PF|=

36、xP+11,所以|PF|的最小值为1,即选项A正确;点Q是圆上的动点,|QF|min=|CF|-r=10-1,即选项B错误;过点P作PM垂直准线于点M,则|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|MQ|,而|MQ|min=|MC|-r=4+1-1=4,当且仅当M,Q,C三点共线,且该直线与x轴平行时,等号成立,所以|PF|+|PQ|的最小值为4,即选项C正确,选项D错误.故选AC.三、填空题13.(2022湖南长沙岳麓区校级模拟)已知点A,B在椭圆C:x26+y23=1上,O为坐标原点,直线OA与OB的斜率之积为-12,设OP=OA+OB,若点P在椭圆C上,则2+2的值为.解析:设点A(x1,y1

37、),B(x2,y2),则x126+y123=1,x226+y223=1,且y1y2x1x2=-12.由题设,点P(x1+x2,y1+y2)在椭圆C上,则(x1+x2)26+(y1+y2)23=1,即2(x126+y123)+2(x226+y223)+2(x1x26+y1y23)=1,得2+2=1.答案:114.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF的周长的最小值为.解析:由抛物线y2=4x可得焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.由题意可知求PAF周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.设点P在准线上的射影为点D.则根据抛物线的定

38、义,可知|PF|=|PD|,因此求|PA|+|PF|的最小值即求|PA|+|PD|的最小值.易知当P,A,D三点共线时,|PA|+|PD|最小.所以(|PA|+|PD|)min=xA-(-1)=3+1=4.又因为|AF|=(3-1)2+(2-0)2=22,所以PAF的周长的最小值为4+22.答案:4+2215.(2022河北张家口一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,过原点O的直线l交椭圆C于点A,B,且2|FO|=|AB|,若BAF=6,则椭圆C的离心率是.解析:因为直线AB过原点,由椭圆及直线的对称性可得|OA|=|OB|,所以|AB|=2|OA|,设右焦点为F,

39、如图所示,连接BF,AF,又因为2|OF|=|AB|=2c(c0),即|FF|=|AB|,可得四边形AFBF为矩形,且ABF=AFF,在RtAFF中,|AF|=|FF|sin AFF=2csin AFF,|AF|=|FF|cos AFF=2ccos AFF,由椭圆的定义可得|AF|+|AF|=2a,所以2a=2c(sin AFF+cos AFF),因为BAF=6,故AFF=3,所以离心率e=ca=132+12=3-1.答案:3-116.已知直线l为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,点F1关于直线l的对称点在双曲线C的另一条渐近线上,则双曲线C的渐近线的斜率为,离心率为.解析:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=bax,设直线l为y=-bax,则另一条渐近线为y=bax,因为F1(-c,0)(c0),设点F1关于直线l的对称点F(x0,y0),所以y0x0+c=ab,y02=-bax0-c2,解得x0=2b2c-c,y0=2abc,所以2abc=ba(2b2c-c),即2a2=2b2-c2,所以2a2=2c2-2a2-c2,2a2=2b2-a2-b2,即c=2a,3a=b,所以双曲线C的渐近线的斜率为3,离心率e=ca=2.答案:32