备战2023年高考数学二轮专题复习专题一　函数与导数第1讲　函数的图象与性质.docx

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1、第1讲函数的图象与性质1.函数的图象(2022全国甲卷,T5)函数y=(3x-3-x)cos x在区间-2,2的图象大致为(A)解析:法一(特值法)取x=1,则y=(3-13)cos 1=83cos 10;取x=-1,则y=(13-3)cos(-1)=-83cos 10,排除C.2.函数的奇偶性与单调性(2020全国卷,T9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(D)A.是偶函数,且在(12,+)单调递增B.是奇函数,且在(-12,12)单调递减C.是偶函数,且在(-,-12)单调递增D.是奇函数,且在(-,-12)单调递减解析:由2x+10,2x-10得函数f(x)

2、的定义域为(-,-12)(-12,12)(12,+),其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当x(-12,12)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.当x(-,-12)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln2x+12x-1=ln(1+22x-1),易知函数f(x)单调递减.故选D.3.函数的奇偶性与周期性(2021新高考卷,T8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,

3、则(B)A.f(-12)=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0解析:因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.故选B.4.奇偶性求参数(2022全国乙卷,T16)若f(x)=ln|a+11-x|+b是奇函

4、数,则a=,b=.解析:f(x)=ln|a+11-x|+b=ln|a+11-x|+ln eb=ln|(a+1)eb-aebx1-x|.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=ln|(a+1)2e2b-a2e2bx21-x2|=0,所以|(a+1)2e2b-a2e2bx2|=|1-x2|.当(a+1)2e2b-a2e2bx2=1-x2时,(a+1)2e2b-1+(1-a2e2b)x2=0对任意的x恒成立,则(a+1)2e2b-1=0,1-a2e2b=0,解得a=-12,b=ln2.当(a+1)2e2b-a2e2bx2=x2-1时,(a+1)2e2b+1-(a2e2b+1)x2=0对任意的

5、x恒成立,则(a+1)2e2b+1=0,a2e2b+1=0,无解.综上,a=-12,b=ln 2.答案:-12ln 25.分段函数(2021浙江卷,T12)已知aR,函数f(x)=x2-4,x2,|x-3|+a,x2.若f(f(6)=3,则a=.解析:因为62,所以f(6)=6-4=2,所以f(f(6)=f(2)=1+a=3,解得a=2.答案:2高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等,主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值、分段函数与方程、不等式或分段函数中求参数问题及函数图象的识别,难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现,有时在压轴

6、题的位置,多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.热点一函数及其表示(1)复合函数的定义域.若f(x)的定义域为m,n,则在f(g(x)中,由mg(x)n解得x的取值范围即为f(g(x)的定义域.若f(g(x)的定义域为m,n,则由mxn得到g(x)的取值范围,即为f(x)的定义域.(2)分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.典例1(1)(2022河南商丘模拟)函数y=f(x-1)的定义域是-4,3,则函数g(x)=f(3x-2)x+2的定义域是()A.13,53B.-1,43C.(-2,-1D.(-2,53(2)设函数f(x)=2x+1,x0,4x

7、,x0,则满足f(x)+f(x-1)2的x的取值范围是.解析:(1)因为函数y=f(x-1)的定义域是-4,3,所以-4x3,即-5x-12,所以函数y=f(x)的定义域是-5,2,所以函数g(x)=f(3x-2)x+2的定义域需满足-53x-22,x+20,解得-1x43.故选B.(2)法一(分段求解)因为函数f(x)=2x+1,x0,4x,x0,所以当x0时,x-1-1,f(x)+f(x-1)=2x+1+2(x-1)+1=4x2,无解;当x0,x-10,即00,即x1时,f(x)+f(x-1)=4x+4x-12,解得x1.综上,x的取值范围是12,+).法二(图象法)将不等式f(x)+f(

8、x-1)2变形为f(x-1)2-f(x),令y1=f(x-1),y2=2-f(x),作出其图象如图所示,由图可知不等式的解集为12,+).答案:(1)B(2)12,+)(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题,基本方法是分段函数分段求解,即依据条件准确地找出利用哪一段求解;再者数形结合,利用图象法求解.(2)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提.利用函数性质转化时,首先判断已知分段函数的性质,利用性质将所求问题简单化.形如f(g(x)的函数求值时,应遵循先内后外的原则.热点训练1 (1)(多选题)已知函数f(x)=-2-x+a,x0,aR,则下列结论正确的是()A.f(x)为奇函数B.

9、若f(x)在定义域上是增函数,则a1C.若f(x)的值域为R,则a0,则x(-1,0)(0,+)(2)(2022浙江绍兴模拟)设函数f(x)=(13) x-8,x0,lgx,x0,则ff(1)=;若f(a)1,则实数a的取值范围是.解析:(1)当x0,f(x)=-2-x+a,f(-x)=2-x-a=-(-2-x+a)=-f(x);当x0时,-x0,f(x)=2x-a,f(-x)=-2x+a=-f(x),则函数f(x)为奇函数,故A正确;若f(x)在定义域上是增函数,则-2-0+a20-a,即a1,故B正确;当x0时,f(x)=2x-a在区间(0,+)上单调递增,此时值域为(1-a,+),要使得

10、f(x)的值域为R,则a-11-a,即a1,故C错误;当a1时,由于-2-0+a20-a,则函数f(x)在定义域上是增函数,由f(x)+f(3x+4)0,得f(x)f(-3x-4),则x0,-3x-40,x-3x-4,解得x(-1,0)(0,+),故D正确.故选ABD.(2)ff(1)=f(0)=(13)0-8=-7.f(a)1等价于a0,lga1或a0,(13) a-81,由得a10;由得a-2,则实数a的取值范围是(-,-2)(10,+).答案:(1)ABD(2)-7 (-,-2)(10,+)热点二函数的图象及应用(1)作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平

11、移变换、伸缩变换、对称变换.(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点.典例2(1)(2022湖北荆州模拟)函数f(x)=|x|sinx,x(-,0)(0,)的图象大致为()(2)(2019全国卷)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时,f(x)=x(x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)-89,则m的取值范围是()A.(-,94B.(-,73C.(-,52D.(-,83解析:(1)因为f(-x)=|-x|sin(-x)=-|x|sinx=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以排除A;当0x0,所以

12、g(x)在(0,)上单调递增,所以g(x)g(0)=0,所以f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递增,所以排除B,D.故选C.(2)当x(0,1时,f(x)=x(x-1),且当xR时,f(x+1)=2f(x),作出函数f(x)的部分图象如图所示.当2x3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-89,整理得9x2-45x+56=0,所以(3x-7)(3x-8)=0,所以x1=73,x2=83,结合图象知,m73时,符合题意.所以当x(-,m时,都有f(x)-89成立,即m73,所以m(-,73.故选B.(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质,如

13、定义域、奇偶性、单调性等,特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想,借助于函数图象的特点和变化规律,求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时,可以先画出已知函数完整的图象,再观察.热点训练2 (1)(2022全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3的大致图象,则该函数是()A.y=-x3+3xx2+1B.y=x3-xx2+1C.y=2xcosxx2+1D.y=2sinxx2+1(2)(2022广东茂名一模)已知函数f(x)=|log2x|,0x0,与图象不符,故排除D;对于选项C,当

14、x0时,y=2xcosxx2+12xcosx2x=cos x1,与图象在y轴右侧最高点大于1不符,所以排除C.故选A.(2)不妨设x1x20的解集为()A.(-,-2)B.(-2,+)C.(0,+)D.(-,0)(2)(2022山东青岛一模)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在0,+)上单调递增,若a=f(log213),b=f(log312),c=f(-3-43),则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.bcaC.acbD.abc解析:(1)由题意知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x+sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=1-cos x0,则f(x)在(-,+)上

15、单调递增.由f(2m+1)+f(1-m)0得f(2m+1)f(m-1),即2m+1m-1,解得m-2.故选B.(2)依题意f(x)是定义域为R的偶函数,则a=f(log213)=f(log2123-12)=f(-log23)=f(log23),b=f(log312)=f(log3122-12)=f(-log32)=f(log32),c=f(-3-43)=f(3-43),log23log22=1,23=8,(313)3=3,23(313)3,2313,1=log33log32log3313=13,03-43bc.故选D.考向2奇偶性、周期性与对称性典例4(1)(2022福建模拟预测)已知f(x)

16、是定义在R上的奇函数,f(x+1)=f(1-x),且f(-1)=1,则f(2 021)=()A.1B.0C.-2 021D.-1(2)(多选题)(2022河北模拟预测)若函数f(2x+1)(xR)是周期为2的奇函数,则下列选项一定正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称B.2是函数f(x)的一个周期C.f(2 021)=0D.f(2 022)=0解析:(1)因为f(x)为奇函数,所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),所以f(x+3)=f(x+2+1)=-f(x+2-1)=f(x-1),所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,故f(2 021)=f

17、(1)=-f(-1)=-1.故选D.(2)因为函数f(2x+1)(xR)是奇函数,所以f(2x+1)=-f(-2x+1)f(2x+1)+f(-2x+1)=0,函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;因为函数f(2x+1)(xR)的周期为2,所以f(x)的周期为4,故B错误;因为函数f(2x+1)(xR)是周期为2的奇函数,所以 f(2 021)=f(4505+1)=f(1)=0,故C正确;f(2 022)=f(4505+2)=f(2),无法判断f(2)的值,故D错误.故选AC.函数的性质及应用(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密

18、切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上,尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x).(2)单调性:可以用来比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性等.(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.(4)对称性:f(x)的图象关于直线x=a对称f(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x);f(a+x)+f(b-x)=2cf(x)的图象关于点(a+b2,c)中心对称.热点训练3 (1)(2022山东济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),则f(2 022)=()A.0B.1C.-1

19、D.2 022(2)(多选题)(2022甘肃兰州一中期末)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在-1,0上是增函数,则下列关于f(x)的结论中正确的有()A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x)在0,1上是增函数C.f(x)在1,2上是减函数D.f(2)=f(0)解析:(1)因为f(x-2)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0,f(2 022)=f(5054+2)=f(2)=0.故选A.(2)根据题意,若f(x

20、+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,则有f(2)=f(0),故D选项正确;若f(x+2)=f(x),且函数f(x)为偶函数,则有f(x+2)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A选项正确;f(x)在-1,0上是增函数,且函数f(x)为偶函数,则函数f(x)在0,1上是减函数,故B选项错误;f(x)在-1,0上是增函数,且f(x)是周期为2的周期函数,则函数f(x)在1,2上是增函数,故C选项错误.故选AD.专题强化训练(一)一、单项选择题1.(2022山东济南二模)函数y=16-x2x的定

21、义域是(A)A.-4,0)(0,4B.-4,4C.(-,-44,+)D.-4,0)4,+)解析:由16-x20,x0,得-4x4,且x0,所以函数y=16-x2x的定义域是-4,0)(0,4.故选A.2.(2022四川绵阳三模)已知函数f(x)=xx-1,则(D)A.f(x)为奇函数B.f(f(2)=1C.f(x)在(1,+)上单调递增D.f(x)的图象关于点(1,1)对称解析:由解析式知函数f(x)的定义域为x|x1,显然不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,A错误;f(2)=2,则f(f(2)=f(2)=2,B错误;由f(x)=1+1x-1,可知f(x)在(1,+)上单调递减且图象关于点

22、(1,1)对称,故C错误,D正确.故选D.3.(2022陕西西安二模)设f(x)=2x+1-1,x3,log2(x2-1),x3,若f(x)=3,则x的值为(B)A.3B.1C.-3 D.1或3解析:当x3时,令2x+1-1=3,解得x=1,当x3时,令log2(x2-1)=3,解得x=3,这与x3矛盾,所以x=1.故选B.4.(2022河北石家庄一模)函数f(x)=x32x+2-x的部分图象大致是(A)解析:函数f(x)=x32x+2-x的定义域为R,f(-x)=-f(x),故为奇函数,图象关于原点对称,据此排除B,D选项;易知当x+时,f(x)=x32x+2-x0,2x+,2-x0,x3+

23、,因为指数函数y=2x比幂函数y=x3增长的速率要快,故f(x)0,即f(x)在x+时,图象往x轴无限靠近且在x轴上方,故A选项符合.故选A.5.(2022北京丰台区二模)已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递减.若f(lg x)f(1),则x的取值范围是(C)A.(110,1)B.(0,110)(1,+)C.(110,10)D.(0,110)(10,+)解析:因为偶函数f(x)在区间0,+)上单调递减,所以f(x)在区间(-,0上单调递增,则f(lg x)f(1)等价于|lg x|1,即-1lg x1,即lg110lg xlg 10,解得110xf(2-32)f(2-23)B.f(2-32

24、)f(2-23)f(log314)C.f(log314)f(2-23)f(2-32)D.f(2-23)f(2-32)f(log314)解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+)上单调递减,又log341,02-322-23f(2-23)f(log34),即f(2-32)f(2-23)f(log314).故选B.7.(2022江苏苏州二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数, f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x).若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)=(D)A.-3B.-2C.2D.3解析:g(x+1)为偶函数,则g(x)的图象关于直线

25、x=1对称,即g(x)=g(2-x),即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x),即f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,又f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(x-4)=f(x-2)-2=-f(x-2)=- -f(x)=f(x),即f(x-4)=f(x),所以f(x)的周期为4,所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2,所以g(-0.5)=g(2.5)= 1.5f(2.5)=3.故选D.8.(2022天津市第四十七中学模拟预测)已知函数f(x)=-12x,x0,2x-x2,xf(-|a|

26、),则实数a的取值范围是(A)A.(-2,-10-23)(10-23,2)B.(-2,-1)(1,2)C.(-2,0)(0,2)D.(-1,0)(0,1)解析:作出函数f(x)=-12x,x0,2x-x2,x0的图象如图,因为-|a|0,若2-a2f(-|a|),则2-a2-|a|,解得2|a|-2|a|-a2,解得10-23|a|2.综上,10-23|a|2,解得-2a-10-23或10-23a2,2x-3,x2,则以下结论正确的为(BC)A.f(x)为R上的增函数B.f(x)有唯一的零点x0,且1x02C.若f(m)=5,则m=33D.f(x)的值域为R解析:作出f(x)的图象如图所示.对

27、于A,取特殊值:f(2)=1,f(3)=1,故A错误;对于B,由图象可知,f(x)有唯一的零点x0,f(x)在(-,2上单调递增,且f(1)0,故B正确;对于C,当x2时,2x-31,故log2(m-1)=5,解得m=33,故C正确;对于D,f(x)的值域为(0,+)(-3,1=(-3,+),故D错误.故选BC.10.(2022重庆模拟预测)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y1-xy),且当x(-1,0)时,f(x)f(56)解析:令x=0,y=0,得f(0)-f(0)=f(0),所以f(0)=0;令x=0,y=x,得f(0)-f(x)=f(-x),故-f(x

28、)=f(-x),所以f(x)为奇函数,A正确;任取-1x1x20,故-1x1-x21-x1x20,f(x1)-f(x2)=f(x1-x21-x1x2)0,f(x1)f(x2),故f(x)为增函数,C正确;f(12)+f(13)=f(12)-f(-13)=f(12+131+1213)=f(57)2f(x1+x22),则称函数f(x)具有H性质.则下列函数中具有H性质的是(ACD)A.f(x)=(12)xB.f(x)=ln xC.f(x)=x2(x0)D.f(x)=tan x(0x2f (x1+x22),则点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连线的中点在点(x1+x22,f(x1+x22)的上

29、方,如图(其中a=f(x1+x22),b=f(x1)+f(x2)2).根据函数f(x)=(12)x,f(x)=ln x,f(x)=x2(x0),f(x)=tan x(0x2)的图象可知,函数f(x)=(12)x,f(x)=x2(x0),f(x)=tan x(0x2)具有H性质,函数f(x)=ln x不具有H性质.故选ACD.12.(2022福建福州模拟预测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x(-1,1)时,f(x)=-x2+1,则下列结论正确的是(ABD)A.f(72)=-34B.f(x+7)为奇函数C.f(x)在(6,8)上单调递减D.方程f(x)+

30、lg x=0仅有6个实数解解析:因为f(x+1)为偶函数,故f(x+1)=f(-x+1),令x=52得f(72)=f(-52+1)=f(-32),因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)=-f(-x-1),令x=-12得f(-32)=-f(12-1)=-f(-12),其中f(-12)=-14+1=34,所以f(72)=f(-32)=-f(-12)=-34,A正确;因为f(x-1)为奇函数,所以f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,又f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的周期为42=8,故f(x+7)=f(x-1),所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(

31、x-1)=-f(x-1+8)=-f(x+7),从而f(x+7)为奇函数,B正确;f(x)=-x2+1在x(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)在(-2,0)上单调递增,且f(x)的周期为8,故f(x)在(6,8)上单调递增,C错误;根据题目条件画出函数f(x)与y=-lg x的图象,如图所示,其中y=-lg x单调递减且-lg 12-1,所以两函数图象有6个交点,故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解,D正确.故选ABD.三、填空题13.(2022广东深圳二模)已知函数f(x)=ln(ex+1)-kx是偶函数,则k=.解析:由题意知f(x)=ln(

32、ex+1)-kx是偶函数,则xR,f(-x)=f(x),即ln(e-x+1)-k(-x)=ln(ex+1)-kx,即ln(ex+1)-x+kx=ln(ex+1)-kx,即(k-1)x=-kx,解得k=12.答案:1214.(2022山东烟台一模)已知f(x)为R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,当-1x0时,f(x)=2x,则f(2+log25)的值为.解析:由题设,f(2-x)=-f(x)=f(-x),故f(2+x)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(2+log25)=f(22+log254)=f(log254)=-f(log245),且-1log2450,且a1,函数f(x)

33、=loga(2x2+1),x0,ax,x0,若f(f(-1)=2,则a= ,f(x)4的解集为.解析:由题可知,f(f(-1)=f(a-1)=loga(2a-2+1)=2,则a2=2a-2+1,即a4-a2-2=0,解得a2=2,故a=2.当x0时,f(x)=log2(2x2+1)4,解得0x62;当x0,y0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),则不等式log3|f(x)+1|0的解集为.解析:法一不等式log3|f(x)+1|0等价于0|f(x)+1|1,即0f(x)+11或-1f(x)+10,即-1f(x)0或-2f(x)-1,因为f(x)是奇函数,且f(-2)=-1,f(1)=0,所

34、以f(2)=1,f(-1)=0,故f(1)=f(212)=f(2)+f(12)=0 ,则f(12)=-1 ,f(14)=f(1212)=f(12)+f(12)=-2,f(-4)=-f(4)=-f(2)-f(2)=-2.又奇函数f(x)在区间(-,0)上是增函数,故f(x)在区间(0,+)上也是增函数,故-1f(x)0,即f(-2)f(x)f(-1)或f(12)f(x)f(1),此时x(-2,-1)(12,1) ;而-2f(x)-1,即f(-4)f(x)f(-2) 或f(14)f(x)f(12),此时x(-4,-2)(14,12),故不等式log3|f(x)+1|0,y0时,都有f(xy)=f(x)+f(y),所以当x0时,可设f(x)=logax(a0,且a1),由f(2)=1可得a=2,所以f(x)=log2x(x0),-log2(-x)(x0),由log3|f(x)+1|0可得-2f(x)0且f(x)-1.作出函数f(x)的图象如图,由图象可知,不等式的解集为(-4,-2)(-2,-1)(14,12)(12,1).答案:(-4,-2)(-2,-1)(14,12)(12,1)