备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题41数列通项(解析版).docx

《备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题41数列通项(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题41数列通项(解析版).docx（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题41 数列通项 【知识点总结】一、观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.二、利用递推公式求通项公式叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得叠乘法：形如 的解析式， 可用递推多式相乘求得构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.利用与的关系求解形如的关系，求其通项公式，可依据，求出【典型例题】例1（2023辽宁阜新校考模拟预测）数列的前项和为，则（）ABCD【答案】A【解析】因为所以，所以.故选：A.例2（2023全国高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公

2、式是（）ABCD【答案】C【解析】将可以写成，所以的通项公式为；故选:C例3（2023高三课时练习）在数列中，若，则的通项公式为_【答案】【解析】由题意可知数列中，故，所以 ，故答案为：例4（2023高三课时练习）在数列中，若，则的通项公式为_【答案】【解析】由题意知，故，故 ，故答案为：例5（2023秋辽宁葫芦岛高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以符号该式，故答案为：例6（2023全国高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，则的通项公式为_【答案】【解析】，又是公差为的等差数列，当时，整理得

3、：，显然对于也成立，的通项公式.故答案为：.例7（2023秋贵州贵阳高三统考期末）已知数列满足，若，则_【答案】【解析】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由题得，则等式两边同取倒数得，则，则数列为公差为2的等差数列，则，当，则，则，故答案为：.例8（2023高三课时练习）在数列中，已知，则的通项公式为_【答案】【解析】由，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故，故答案为：例9（2023全国高三专题练习）若a11，an12an3，则通项公式an_.【答案】【解析】由，得.令，则，且.所以是以4为首项，2为公比的等比数列.，.故答案为：例10（2023全国

4、高三专题练习）已知数列的前项和为.求数列的通项公式；【解析】因为，显然，所以，当时，由累乘法得，则，又，所以，所以当时，时，也符合，所以.例11（2023全国高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.【解析】因为，所以当时，可知，则，当时，可知，得，即，所以，又满足，所以数列的通项公式为.例12（2023高三课时练习）（1）已知数列满足，求；（2）已知数列的前n项和为，若，且，求【解析】（1）设，当n1时，；当时，得，而，也满足此等式所以（2）当n1时，即，解得或，因为，所以当时，整理得，由，则，得，于是数列是以2为首项，3为公差的等差数列，所以例13（2023全国高三专题练习）已知数列的

5、前项和为求数列的通项公式；【解析】由，当时，解得，当时， ，即， 可得，即，因此数列为等比数列，公比为2，首项，可得，所以数列的通项公式【技能提升训练】一、单选题1（2023全国高三专题练习）已知数列满足，则的通项为()ABCD【答案】D【解析】因为，所以，则当时，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.故选：D.2（2023春湖北高二校联考阶段练习）数列，的通项公式为（）ABCD【答案】D【解析】数列，所以第项为，所以通项公式为，故A、B、C错误，D正确.故选：D3（2023秋浙江台州高二期末）已知数列中，且是等差数列，则（）A36B37C38D39【答案】A【解析】因为，所以，又

6、是等差数列，故首项为3，公差为2，所以，所以故选：A.4（2023全国高二专题练习）数列中，（为正整数），则的值为（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A5（2023秋湖北高二统考期末）已知数列满足，则（）ABCD【答案】B【解析】，当时，当时，时，也适合此式，,故选:B.6（2023秋甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考期末）等比数列的前n项和，则（）A-2BC0D【答案】C【解析】，当时，当时，故，当时，从而，由于是等比数列，故，解得，故故选：C7（2023春江西宜春高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）数列的一个通项公式为（）ABCD【答案】D【解析】奇数项为负，偶数项为正，可用

7、来实现，而各项分母可看作，各项分子均为1，该数列的通项公式为.故选：D.8（2023秋广东江门高二统考期末）已知数列满足，则该数列的第5项为（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，故选：B9（2023春甘肃武威高二统考开学考试）已知数列的前项和，则（）A2B3C4D5【答案】B【解析】因为数列的前项和，所以.故选：B10（2023秋重庆九龙坡高二重庆市育才中学校考期末）已知，则数列的通项公式是（）AnBC2nD【答案】C【解析】由，得，即，则，由累乘法可得，因为，所以，故选：C11（2023秋重庆大渡口高二重庆市第三十七中学校校考期末）已知数列的前n项和，满足，则（）A72B96C108D1

8、26【答案】B【解析】当时，解得：，由题意可得，当时，得，即，故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以，故.故选：B.12（2023全国高二专题练习）记为数列的前n项和，若，则（）ABCD【答案】A【解析】当时，当时，所以，数列是等比数列，所以，故选：A.13（2023全国高二专题练习）已知数列满足，则（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，上述各式相乘得，因为，所以，经检验，满足，所以.故选：D.二、多选题14（2023江苏宿迁江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，则（）AB数列是公差为的等差数列C数列的前5项和最大D【答案】AC【解析】，或(舍)，故选项A正确；又，

9、数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由得，数列的前5项和最大，故选项C正确；当时，这与矛盾，故选项D错误，故选:AC.15（2023全国高二专题练习）已知数列和满足，则下列结论不正确的是 （）A数列为等比数列B数列为等差数列CD【答案】BCD【解析】对A，即，故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；对BC，即，即，故数列为首项为，公比为2的等比数列，故，故，故数列不为等差数列，BC错；对D，由A得，又，两式相加得，即，D错.故选：BCD16（2023秋江苏南京高二南京大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，且，则（）A数列是等比数列BCD的前项和为【答案】ACD【解析】由已知，当时，可得

10、选项A，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项 C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 ，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.17（2023春湖北荆州高二沙市中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（）A是递减数列BCD当最小时，【答案】BCD【解析】，当时，；当时，注意到时也满足，所以数列的通项公式为，是递增数列，A选项错误；，B选项正确；，C选项正确；，当最小时，D选项正确.故选：BCD.三、填空题18（2023高三课时练习）在数列中，若，则的通项公式为_【答案】【解析】由题意知，故，故 ，故答案为：19（20

11、23全国高三专题练习）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为_.【答案】【解析】由已知可得，且，当时，由得,由于为数列的前项积，所以，所以，又因为，所以，即，其中，所以数列是以为首项，以为公差等差数列，所以，当时，当时，显然对于不成立，所以，故答案为：20（2023春上海闵行高二上海市七宝中学校考开学考试）数列的前项和，则_.【答案】8【解析】，.故答案为：8.21（2023春河南焦作高二温县第一高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和满足，且，则_.【答案】【解析】因为，当时，解得当时，与两式相减得，即， 化简得：，所以时，是以2为首项，为公比的等比数列，所以，又不符合上式，

12、故，故答案为：22（2023秋福建福州高二校联考期末）数列中，则此数列的通项公式_.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.故答案为：23（2023全国高三专题练习）已知数列中，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】当时，解得，不满足，所以，同理，由可得，当时，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以.故答案为：.24（2023高二课时练习）数列，的一个通项公式是_【答案】【解析】因为，所以一个通项公式可以是，故答案为：四、解答题25（2023湖南模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)设数列满足，求数列

13、的通项公式【解析】（1）由，可得，两式相减可得：，化简可得，由正项数列知 ，所以，又，解得，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故，由可得.（2）由（1）知，所以，所以，由累加法可得，所以.26（2023安徽统考一模）已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.【解析】（1）函数的零点为3，8，而数列递增，则，因此数列是以5为首项，2为公差的等差数列，则，当时，而也满足上式，所以数列的通项公式是.（2）证明：由（1）得，因此，而，所以.27（2023全国高二专题练习）已知满足，（是正整数），求【解析】因为，所以，则，所

14、以当时，则，将上述式子相加可得：，因为，所以，又符合上式，故数列的通项公式.28（2023全国高三专题练习）在数列中，其前项和满足求数列的通项公式；【解析】，时有，则时有可得，即，所以，得，即，经检验满足上式子，故29（2023春安徽高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知数列前n项和，满足(1)求出，；(2)求数列的通项公式【解析】（1）因为，令，可得，令，可得，解得.（2）因为，则当时，且由（1）知，所以30（2023春湖南岳阳高二校联考阶段练习）若数列的前项和为，且满足(1)求的值；(2)求数列的通项公式【解析】（1）由已知可得故，.（2）由题得当时, ，上面两式相减得整理得：，于是当

15、时相减得由（1），此关系式对于也成立所以31（2023河北邯郸统考一模）设数列的前n项和为，且(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【解析】（1）当时，解得当时，则，即，从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以，且当时，也满足，所以故（2）由（1）可得，则，故32（2023重庆统考模拟预测）已知与都是正项数列，的前项和为，且满足，等比数列满足，(1)求数列，的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值【解析】（1），两式相减得：化简得：为正项数列，且，即为首项为1，公差为1的等差数列，又，为等比数列，设其公比为，解得或，而为正项数列，故，.综上，数列，的通项公式

16、分别为.（2）记，的前项和分别为由等差数列及等比数列的前项和公式可知易知，作差可得：即当时，单调递增，当时，当时，的最小值为8.故满足不等式的自然数的最小值为8.33（2023春福建高二福建师大附中校考开学考试）已知数列中，前项和.(1)求，及的通项公式；(2)证明：.【解析】（1）对于，则有：令，则，解得；令，则，解得；当时，则，整理得，则；注意到也满足上式，故.（2）由（1）可得，则，当时，恒成立，故.34（2023春新疆乌鲁木齐高二乌市一中校考开学考试）已知数列满足，数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.【解析】（1）依题意，数列满足，则，所以，也符合上式，所以

17、.数列满足，当时，当时，由，得，两式相减得，也符合上式，所以.（2）由（1）得，所以，两式相减得，所以.35（2023全国高三专题练习）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知(1)求，；(2)求证：数列为等差数列；(3)求数列的通项公式【解析】（1）由，且，当时，得，当时，得；（2）对于，当时，得，即，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（3）由（2）得，当时，又时，不符合，.36（2023全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）当时，解得.当时，由，得，两式相减得，即，利用累乘可得，即，因为，所以；所以的通项公式为.（2

18、）由（1）可知，裂项可得，则.所以数列的前项和37（2023春山东临沂高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式及.【解析】（1）依题意，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，所以，所以.38（2023内蒙古校联考模拟预测）设数列的前n项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【解析】（1）因为，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，当时，两式相减得，即，所以数列为常数列，且，所以；（2）由（1）得，所以，所以.39（2023全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，数列满足.求数列的通项

19、公式；【解析】由 得 ，作差得 ， 即 ，即 ， 即 ，所以数列 是以 为首项， 3 为公比的等比数列， ， 所以 .数列 满足 ，当 时， ;当 时， ，由-可得 ，当 时，也符合上式， 故数列 的通项公式为 .40（2023全国高三专题练习）在数列中，已知前n项和为，求的通项公式及的表达式；【解析】由题意，在数列中，两式相减得：， 当时，满足题意；当， ，累加得，符合上式，由通项公式可知的是以首项为，公差的等差数列.即：41（2023全国高三专题练习）在；三个条件中任选一个，补充到下面问题的横线处，并解答.已知数列的前项和为，且，_.求；注:如果选捀多个条件解答，按第一个解答计分.【解析】

20、若选条件：由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，则；若选条件：当时，经检验：满足；若选条件：当时，整理可得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，则.42（2023春河北石家庄高二校考开学考试）已知数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为【解析】（1）由可得，而，所以，所以为首项是，公比为的等比数列，所以，所以，当时，当时，也满足上式，所以；（2），已知为首项为1公差为1的等差数列，所以.五、双空题43（2023湖南邵阳统考二模）已知数列满足，设数列的前项和为，则数列的通项公式为_，_【答案】 【解析】因为，且，所以，则当时，又当时，符合上式，故由得令，得故，则，即故答案为：，.44（2023全国高三专题练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，则_；则_.【答案】 【解析】当时，当时，满足上式，所以数列的通项公式为；依题意，则的公比为，于是，所以数列的通项公式为.故答案为： ；