备战2024年高考数学二轮复习热点题型归纳专题3-5超难压轴小题-导数和函数归类(2)(全国通用)(解析版).docx

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1、专题3-5超难压轴小题：导数与函数归类（2） 热点题型归纳 【题型一】 导数中的“距离”1：利用同底指数和对数关于y=x对称关系（原函数与反函数）【典例分析】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为ABCD【答案】D【分析】如图所示，与直线相交于，关于的对称点在上，根据切线与平行得到，得到答案.【详解】如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上.则设，则，故在上单调递减，在上单调递增，故恒成立，即恒成立.的导函数，的导函数，当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为.故，当，时等号成立.故选：.【提分秘籍】基本规律同底指数与对数函数，以为例1.“双飞燕”数据：2.对称轴不变：注意左加右减和上加下减之

2、间的对应关系。3.对称轴跟随变化：要注意整体平移后的对称轴变化。【变式演练】1.已知,为自然对数的底数，则的最小值为ABCD【答案】B【详解】函数和函数互为反函数，图像关于对称.令，切线方程为，和直线之间的距离为，故的最小值为，此时，故选B.点睛：本题主要考查函数导数与最值问题，考查互为反函数的两个函数间的最值问题.首先观察要求最小值的式子，第一个部分可以看作两个互为反函数的函数和函数，这两个函数图像关于对称，可以利用导数求得对应图像上两点的距离的最小值.2.若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：，使；当时，取得最小值；的最小值为2；其中所有正确结论

3、的序号是（ ）AB【答案】C【分析】先利用导数求得两条切线方程，令,可知，故存在零点，正确；，通过求导讨论单调性可知有最小值，进而可以判断最小值范围，正确，错误；通过判断与大小可判断出正确.【详解】由直线与两曲线分别交于两点可知：曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.令，则，令，由零点存在定理，使，即，使，即，故正确.，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故正确.是对勾函数，在上是减函数，故错误.，故正确.故选：C.3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为ABCD【答案】A【分析】将的最小值

4、，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值.设出函数上任意一点的坐标，求得圆心的坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去求得的最小值.【详解】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，令解得，由于，可知当时，递增，时，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，当时，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.【题型二】 导数中的“距离”2：构造型距离【典例分析】已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为ABCD【答案】D【分析

5、】由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值.【详解】实数满足，点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，考查曲线平行于直线的切线，令，解得，切点为，该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.故选：D【提分秘籍】基本规律适当的选取对应纵横坐标，借助距离了公式和比值转换，可以把复杂问题转化为两曲线（直线）的距离，进而构造函数求导求解。【变式演练】1.若实数满足，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】将题目所给方程，转化为点是曲线上的点，是直线上的点，而题目所求表示为的最小值

6、，利用平移求切线的方法，结合点到直线的距离公式，求得的最小值.解：，点是曲线上的点，是直线上的点，要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时，由得，；由得当时，取得极小值由，可得 （负值舍去）点到直线的距离为，故选：A2.设.，则的最小值为AB1CD2【答案】C【详解】由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，显然在递减，递增所以，故最小值为3.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为ABCD【答案】A【详解】点 看作曲线 上点P；点 看作直线 上点Q；则为 ,由 ，所以，选A.【题型三】 导数中的“距离”3：其他距离【典例分析】已知函数，若成

7、立，则的最小值是ABCD【答案】A【详解】分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值详解：设，则，令，则，是上的增函数，又，当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，的最小值是【提分秘籍】基本规律各种各样的“距离”：1.水平线“距离”，如【典例分析】2曲线点到直线距离，如练习23.借助函数图像对称性，如练习3【变式演练】1.设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）ABC7D【答案】B【分析】设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.【详解】设t为在上的零点，则，所以，即点在直线，又表示点到原点距

8、离的平方，则，即，令，可得，因为，所以，得在上为单调递增函数，所以当t=0是，所以的最小值为.故选：B.2.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为_.【答案】【分析】，看成点到点的距离的平方，转化为一个点在函数上，一个点在直线上，根据导数的几何意义及切线的应用可以求出，再利用取等号的条件求出【详解】解：，则看成点到点的距离的平方，其中点在函数上，点在直线上，由，得，令，则，设，所以函数在点处的切线与直线平行，所以点到直线的距离，即点到点的距离的最小值，点到直线的距离为，所以，过点且垂直直线的直线方程为，由，得，当且仅当，即时，所以，所以实数的所有可能取值构成的集合为，

9、故答案为：3.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为_【答案】【分析】画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解【详解】,函数在单调递增，单调递减.。它的图像及关于直线对称的图像如图所示：分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近

10、，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.令，又P在y轴右侧，；根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得。因此PQ中点坐标为：故答案为：【题型四】 极值点偏移【典例分析】已知函数，若且，关于下列命题：正确的个数为 A1个B2个C3个D4个【答案】B【详解】,所以函数f(x)在单调递增，在单调递减f(0)=1f(1)=0，当x0，所以即x轴是函数的渐近线，画出草图如下由图可知（1）（4）错，（2）（3）对选B.【提分秘籍】基本规律1.极值点偏移小题是属于“大题”题型。2.如果只是做小题，可以考

11、虑画出草图，粗略的可以判断真假【变式演练】1.已知方程有两个不同的实数根，（），则下列不等式不成立的是（ ）ABCD【答案】D【分析】由题设，将问题转化为与在上有两个交点且横坐标分别为，（），利用导数研究的单调区间，进而可得且有，令则，构造中间函数并利用导数研究单调性，进而判断的符号，即可确定A、B的正误；构造，利用导数研究单调性，判断C、D的正误.【详解】由题意，即与在上有两个交点且横坐标分别为，（），而，当时，单调递减；当时，单调递增；的极小值也是最小值为，而，要使题设成立，则且有.令，则，若且，即在上单调递减，且当时单调递增，故在右侧存在，使，即，若，且恒成立，即，故A、B正确；令且，则

12、，即，递减；，递增；，故单调递增，即，易知C正确，D错误；故选：D2.已知，若，且，则与2的关系为ABCD大小不确定【答案】A【分析】先求导求出的极大值点为1，再比较和的大小得出，再根据当时，单调递减可得【详解】由题，,令则有，所以当时，当时，所以,在时取得极大值和最大值.又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在使得,不失一般性令 ,则,，对于任意的,分别取两点、，现在比较和的大小. ，令分子部分为,.求导有,当时, ;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在 上是单调增函数,且,故,即，因为，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A3.设且，若，则

13、下列结论中一定正确的个数是；A1B2C3D4【答案】D【详解】 ，即 ，令 时， 时， ， ， ，故 对；令 时， ， ， ，即 ，故对；又 ，故对；构造 ， 递减，时， ， ， ，故 故对，所以正确的个数为 ，故选D.【题型五】 嵌套函数求参【典例分析】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据函数的值域可以确定，然后换元令，进而根据讨论得出，代入可得，解出m，转化为用导数求值域的问题.【详解】由题意，曲线上存在点，使得，所以记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，因为，所以，所

14、以的最大值为故选：D.【提分秘籍】基本规律1.嵌套函数：双坐标系换元转化2.利用导数数形结合求解【变式演练】1.设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）A，B，C，D，【答案】C【分析】利用函数的单调性可以证明.令函数，化为.令，利用导数研究其单调性即可得出.解：，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即函数的取值范围为，若上存在点，使得成立，则，.又在定义域上单调递增.所以假设，则（c），不满足.同理假设，也不满足.综上可得：.，.函数，的定义域为，等价为，在，上有解即平方得，则，设，则，由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，即（1），当时，

15、（e），则.则.故选：.2.已知函数，记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M ，N，则（ ）A若M=1，则N2B若M=2，则N2C若M=3，则N=4D若N=3，则M=2【答案】A【分析】对函数求导，分析其单调性和最值，在同一坐标系中作出与的图像，根据题意函数零点的个数与的范围有关，为简单起见只讨论的情况，逐一选项判断即可得选项.【详解】，令单调递增，单调递减，当时，取得最小值，当，在同一坐标系中作出与的图像，如下图所示：当时，作出函数的图像如下图所示：记，则的零点转化为和，对于A选项：若时，即有1个零点，即有1个交点，所以或，（1）当时，有1个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，在时

16、，有1个根；（2）当时，有1个根，所以没有根，所以若时，h(x)的零点个数或；所以，故A选项成立；对于B选项：若时，即有2个零点，即有2个交点，所以或，（1）当时，有2个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，当时，有2个根，在或时，有1个根，当时，没有根；（2）当时，有2个根，且或，所以没有根，所以若时，h(x)的零点个数或或；所以，故B选项不正确；由图示可知和不可能有3个零点，所以，若或这种情况不存在；所以当时，若时，或；若时，或或；若或的情况不存在；和的情况与的情况类似，故选：A.3.已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】由题意可知，当时，；当时，.由，

17、得.根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.【详解】当时，；当时，综上，对.有两个零点，即方程有两个根，即方程有两个根，不妨设.易知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，.令.令，令.时，；时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，.函数的值域为，即的取值范围是.故选：.【题型六】 多参型1：复杂讨论型【典例分析】已知、，且，对任意均有，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.【详解】，故与的符号相同，当时，；当时，.所以，与的符号相同.，令，所以，当时，恒成立，令，可得，.，分以下四种情

18、况讨论：对于A选项，当，时，则，当时，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，当，时，则，若，若、均为正数，若，则，当时，不合乎题意；若，则，当时，不合乎题意.若、都不相等，记，则当时，不合乎题意.由上可知，当时，若使得恒成立，则，如下图所示， 所以，当，时，且，时，当时，恒成立；对于C选项，当，时，则，若时，则当时，不合乎题意；当时，构造函数，其中，函数在上单调递增，则，.当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；对于D选项，当，时，则，此时、为正数.当、都不相等时，记，当时，不合乎题意；若，则，当时，不合乎题意；当时，当时， 不合乎题意.所以，D选项错误.故选：B.【提分秘籍】基本规律“多参”求

19、最值或者范围，属于综合难题，没有特别有规律的方法，大多数需要选取适当的函数，利用导数分类讨论，属于难题【变式演练】1.设a，b是正实数，函数，.若存在，使成立，则的取值范围为_.【答案】【分析】由区间的表示可知,令，存在，使成立等价于，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数在区间上的单调性，即可求出的取值范围.【详解】存在，使成立，得；令；，令，即时，递增；时，递减；若，即在上单调递减；，对恒成立；若，即，在上先递减后递增；，即，综上的取值范围为.故答案为：.2.对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_.【答案】【分析】根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而

20、确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可.【详解】令，则，即，单调递增，当时，即在上递减，而当时，故不满足；当时，若得，即，时，即递减；当时，即递增；若令，即，则：当，即，恒成立；情况下最小，即直线与曲线相切，而，时，有，则；当，即，得，情况下最小，即直线与曲线相切，而，时，有，则；综上：，即的最小值为.故答案为：.3.已知函数，若且，则的取值范围为ABCD【答案】C【详解】根据绝对值的几何意义，有，且，故，化简得，令，故函数在上单调递增，所以.【题型七】 多参型2：凸凹翻转型【典例分析】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A7

21、B8C9D11【答案】C【分析】等价于，令，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.解：由题干条件可知：等价于，令，则 ， ，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.令，则，当时，此题无解，所以，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.若成立，只需，即，即，两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，令，本题即求的最大的正整数.恒成立，则在上单调递减，所以的最大正整数为9.。故选：C.【提分秘籍】基本规律凸凹翻转型常见思路，如下图 【

22、变式演练】1.已知实数，满足，则的值为ABCD【答案】A【分析】设，得，变形为，令，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可【详解】设，则，令，(m)=m0,m1,(m)0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，,故x+y=2。故选A2.已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据零点定义，令，可得，构造函数，求导并令，解得，且根据导数的符号判断单调性，进而可得在处取得最大值。所以可得，进而根据极限值情况可得m的取值范围。【详解】令，可化为，令，令，得，当时，；当时，所以，先增后减，即从负无穷增大到，然后递减到，而函数是时由正无穷递减到0，然后

23、又逐渐增大，所以，即所以选B【题型八】 多参型3:比值代换等代换【典例分析】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828），则实数的可能的取值是（ ）ABCD0【答案】B【分析】根据题意可得，求出的取值范围，进而可得的取值范围，结合选项，即可求解.解：，令，又，且，令，则，再令，在上单调递增。又，在上，；在上，则在上，；在上，且当时，；当时，或或所以结合选项，可知答案选B.故选：B【提分秘籍】基本规律代换构造型，1.比值代换，如【典例分析】2.整体代换，如练习1和2【变式演练】1.对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为ABCD【答案】A【详解】由得，设，则，设，所以在上

24、单调递增，在上单调递减，且，故当时，存在两个不同的实数，使成立，即对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立故选A2.若正实数满足，则函数的零点的最大值为_.【答案】【分析】根据题意，先求出函数的零点，然后换元，转化为求的最大值，求导取得其单调性，转化为求t的最大值，再令，再根据单调性求最大值，最后求得结果.【详解】因为正实数满足，则函数的零点 令 所以零点的最大值就相当于求的最大值令， 所以函数是单调递减的，当t取最小值时，f(t)取最大值又因为，a+b=1所以 令 ， 令 ，解得，此时递增。 ，解得，此时递减， 所以此时 故答案为3.若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取

25、值范围是_.【答案】【详解】， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .【题型九】 多参型4：韦达定理型【典例分析】已知在上恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【详解】由题意得，令，得，由题意知在上有两个根，得由根与系数的关系得，由求根公式得，则，令，则设，则，易知在

26、上单调递增，当时，函数为减函数，且，故选：D.【提分秘籍】基本规律1.一般涉及到极值点，对应导函数的零点2.通过韦达定理寻找参数之间的代换。【变式演练】1.已知函数有两个不同的极值点，若不等式有解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.【详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.故选

27、：C.2.已知函数（其中，），当时恒成立，则的取值范围为_.【答案】【分析】将拆分为、分别研究单调性，令可得，讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导数求目标式的范围.【详解】令，则，时，时，在上递减，在上递增，故，若，则在上递减，在上递增，令，即，1、即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点，即，又，则，此时，令，则，递减且时，则，故.2、，即时，在上，此时只需即即可.此时，令，则，即在递减，而，故.综上，【题型十】 多参型5：“二次”最值型【典例分析】已知函数，若时，恒有，则的最大值为ABCD【答案】C【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数

28、并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可.【详解】因为函数，则，由题可知，对，恒有成立，令，则，当时，函数在R上单调递增，且时，不符合题意；当时，当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；所以，故，令，则，且，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，故，综上所述，的最大值为.故选：C【提分秘籍】基本规律1.这类型题最早原型题是2012年高考新课标1卷理科压轴题。2.解题时，要注意通过对函数讨论后转变为参数不等式时，是求最小还是最大（不是恒成立而是类似“存在”型）【变式演练】1.已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值

29、为（ ）ABCD【答案】B【分析】转化条件得，求出的最小值后即可得，可得，最后求出的最大值即可得解.【详解】由题意得恒成立，令，则，若，单调递增，当时，不合题意；若，当时，单调递减，当时，单调递增，所以最小值为.，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，即的最大值为.。故选：B.2.已知函数，若，则ab的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】画出的图像，结合图像，根据，求得的取值范围.令，将用表示，由此求得的表达式，进而利用导数求得的最小值.【详解】画出图像如下图所示，令，解得.所以.令，由图可知.，所以.所以.构造函数（稍微放大的范围）.令，所以在上递减.而.由于，所以，所以. ，故存在，

30、使.所以在上递增，在上递减.所以对于来说，最小值只能在区间端点取得. 当时，；当时，.所以的最小值为.故选：B3.已知函数若不等式对恒成立，则的最小值是（ ）ABCD【答案】B【分析】通过将不等式变形，即需要证明在上恒成立，再通过对求导，找出求出的最大值，再证明大于等于零在上恒成立即可【详解】解法1：令，则，当时，单调递增，无最大值，不合题意；当时，令，则，时，单调递增，单调递减，即，由的导数为，当时，且，；当时，可得时，取得最小值，上的最小值为，故选B解法2，作出的图象，易知是凸函数，曲线与轴交于点，即，要满足题意，则时，用零点比大小模型，则，故选B最新模考题组练1.对于定义域为的函数，若满

31、足 ； 当，且时，都有； 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”现给出四个函数：；则其中是“偏对称函数”的函数个数为A0B1C2D3【答案】C【详解】因为条件，所以与同号，不符合，不是“偏对称函数”；对于；，满足，构造函数，在 上递增，当，且时，都有，满足条件 ，是“偏对称函数”；对于， ，满足条件，画出函数的图象以及在原点处的切线， 关于 轴对称直线，如图，由图可知满足条件，所以知是“偏对称函数”；函数为偶函数，不符合，函数不是，“偏对称函数”，故选C.2.若实数满足，则的最小值为_ 【答案】【解析】实数满足，可得，分别令，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，设与直线平行且与曲线相切的切点

32、为，则，解得，可得切点，切点到直线的距离. 的最小值为，故答案为.3.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为_ 【答案】【详解】圆心，先求的最小值，设，所以以点为切点的切线方程为，当垂直切线时，此时点，函数图象上任意点到点的距离大于点到切线的距离即，所以的最小值是，故答案为.4.已知函数，若存在，使得，则的取值范围是ABCD 【答案】A【分析】先由函数的单调性结合等式，得出，由此得出关于的方程在区间上有实解，利用参变量分离法得出在有实根，转化为直线与函数在区间有交点，利用数形结合思想求解即可.【详解】易知函数在区间上单调递增，则存在，使得不等式

33、成立，所以，得.假设，则，不合乎题意；假设，则，不合乎题意；假设，则，合乎题意.由上可知，关于的方程在区间上有实解，由，得，所以，构造函数.则直线与函数在区间有交点.，令，则，令，得.当时，；当时，.所以，函数在处取得最小值，即，所以，对任意的，则函数在区间上单调递增.，所以，当时，直线与函数在区间有交点.因此，实数的取值范围是，故选A.5.设，（其中为自然对数的底数),若函数有个零点，则的取值范围ABCD 【答案】D【详解】分析：问题转化为直线与函数有四个交点，利用导数研究函数的性质，作出图象（草图），观察分析.详解：当时，由知在有一个零点，在上有一个零点，1也是它的零点，且满足；当时， ，

34、由知在上有一个零点，且，都是极大值点，1是极小值点，注意到，当时，直线与函数有四个交点，6.直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为（ ）AB2CD 【答案】D【分析】根据题意可设，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.【详解】直线分别与曲线和曲线交于，两点，设，且，令解得，（舍），当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增所以，综上可知的最小值为故选：D.7.已知函数，若函数与的图象相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别记为，则的取值范围是( )ABCD 【答案】B【详解】作出函数，的图象如图，不妨设，当经过点时，联立得，所以；因为与的图象关于

35、直线对称，而与垂直，所以，且.令，且，则易知为增函数，所以，因为，所以.故选：B.8.已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为ABCD 【答案】B【解析】由，令，（），则，（，），显然，在单调递减，（）令，（），则，令在单调递减，实数a的最大值为选B.9.已知且对任意的恒成立，则的最小值为_ 【答案】1【解析】设，则由得：，当当时，当时，所以当时，有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为 ，故成立，令（），当时，当时，所以当时，所以，故填10.设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）ABCD 【答案】D【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可.【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，则 在上恒成立，令，所以，若，则 ， 在递增，当时， ，不等式不成立，故，当时，当时，所以当时，取得最大值，所以，所以，所以，令，则，所以，当时，当时，所以当时，取得最小值，所以的最小值是。故选：D