备战2024年高考数学一轮复习热点知识归纳常用结论提升真题练04基本不等式及应用(原卷附答案).docx

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1、考向04 基本不等式及应用 1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解2.通过拼凑法利用基本不

2、等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等1.几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）.

3、（3）其他变形：(沟通两和与两平方和的不等关系式)(沟通两积与两平方和的不等关系式)(沟通两积与两和的不等关系式)重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立.1.基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数即正数的算

4、术平均数不小于它们的几何平均数基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.1（2022全国模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为_2（2022福建龙岩模拟预测）若正实数a，b满足，则的最小值为_.3（2022江苏南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数满足，则的最小值是_4（2022湖南长郡中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_.1（2022广东茂名二模）已知

5、 ，则 的最小值为（）A0B1C2D2（2022浙江湖州模拟预测）已知，定义，则的最小值是（）A5B6C8D13（2022全国模拟预测（文）若实数，满足，则的最小值为（）A0B1C2D34（2022江西萍乡三模（文）已知正实数满足，则的最小值为（）ABCD5（2022江西南昌市八一中学三模（文）已知实数a，b满足，且，则的最小值为（）.A1BC4D6（2022辽宁实验中学模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（）ABCD不存在7（2022山东泰安模拟预测）已知，则的最小值是（）A2BCD38（2022安徽合肥市第八中学模拟预测（文）已知，满足，则的最小值是（）ABC2D29（2022浙江镇海中

6、学模拟预测）若正实数x，y满足，则的最小值为（）A3BCD10（2022江苏南京市天印高级中学模拟预测）已知正实数a，b满足，则下列结论不正确的是（）A有最大值B的最小值是8C若，则D的最大值为11（2022湖北黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（）A8B9C10D1312（2022湖南邵阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（）ABCD13（2022安徽合肥一六八中学模拟预测（理）已知正数x，y满足，则的最小值（）ABCD14（2022上海位育中学模拟预测）已知 ， 且， 则 的最小值为_.15（2022四川宜宾市叙州区第一中

7、学校模拟预测（文）已知 为正实数， 且， 则 的最小值为_1（2022全国高考真题（文）已知，则（）ABCD2（2021全国高考真题（文）下列函数中最小值为4的是（）ABCD3（2021全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A13B12C9D64（多选题）（2022全国高考真题）若x，y满足，则（）ABCD5（多选题）（2020海南高考真题）已知a0，b0，且a+b=1，则（）ABCD6（2022全国高考真题（理）已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_7（2021天津高考真题）若，则的最小值为_8（2020天津高考真题）已知，且，则的最小值为_9（2020江苏高考

8、真题）已知，则的最小值是_10（2019天津高考真题（文） 设，则的最小值为_.11（2019天津高考真题（理）设，则的最小值为_.1【答案】【解析】，当且仅当，即，时取得等号故答案为：.2【答案】1【解析】，当且仅当时等号成立即，则或（舍去），即故答案为：13【答案】16【解析】，则可得当且仅当时等号成立故答案为：164【答案】8【解析】因为直线过圆心，所以，因为a、b为正实数，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，故答案为：81【答案】C【解析】由可得：,故 ，令，则，因为，当且仅当，即或时等号成立，所以 ，即的最小值为2，故选：C2【答案】A【解析】由定义，得，所以，当且仅当，即时，取等号

9、.所以，即的最小值为.故选：A3【答案】C【解析】因为，又所以所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为2，故选：C.4【答案】B【解析】由，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.5【答案】C【解析】由，当且仅当时取等号，即时取等号， 故选：C6【答案】A【解析】又，则当且仅当即时取等号故选：A7【答案】A【解析】由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.8【答案】D【解析】由，得，而，则有，因此，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为2.故选：D9【答案】C【解析】因为正实数x，y满足，所以.所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故

10、选：C10【答案】B【解析】对A：，当且仅当时，等号成立，故A正确；对B：，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；对C：，故C正确；对D：由可知，故，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：B.11【答案】B【解析】设切点为 ，的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，令，则 ，故切点为，代入，得，、为正实数，则，当且仅当，时，取得最小值9，故选：B12【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，因为，则，可得，由已知、，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.13【答案】A【解析】令，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.14【答案】【解析】，而，当且仅当时等

11、号成立，由可得或，故，当且仅当或等号成立，故的最小值为.故答案为：.15【答案】【解析】由题意当且仅当即时等号成立，故答案为：1【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以又，所以，即，所以综上，故选：A.2【答案】C【解析】对于A，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，函数定义域为，而且，如当，D不符合题意故选：C3【答案】C【解析】由题，则，所以（当且仅当时，等号成立）故选：C4【答案】BC【解析】因为（R），由可变形

12、为，解得，当且仅当时，当且仅当时，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误故选：BC5【答案】ABD【解析】对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD6【答案】#【解析】设，则在中，在中，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.7【答案】【解析】，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.8【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：9【答案】【解析】且，当且仅当，即时取等号.的最小值为.故答案为：.10【答案】.【解析】由，得，得，等号当且仅当，即时成立故所求的最小值为11【答案】【解析】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为