备战2024年高考数学一轮复习人教a必修第二册第六章平面向量、复数第1节　平面向量的概念及线性运算课时作业.docx

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1、第六章平面向量、复数(必修第二册)第1节平面向量的概念及线性运算 选题明细表 知识点、方法题号平面向量的基本概念1,3,9平面向量的线性运算2,5,6,8共线向量定理及其应用4,7,13,14综合问题10,11,12,151.(多选题)下列命题错误的是(BCD)A.向量AB的长度与向量BA的长度相等B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反C.|a|+|b|=|a-b|a与b方向相反D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同解析:向量AB与向量BA,长度相等,方向相反,故A正确;当a=0时,a与b的方向不一定相同或相反,故B错误;当a,b之一为零向量时,a与

2、b的方向不一定相反,故C错误;当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故D错误.2.设D为线段BC的中点,且AB+AC=-6AE,则下列结论正确的是(D)A.AD=2AE B.AD=3AEC.AD=2EA D.AD=3EA解析:由D为线段BC的中点,且AB+AC=-6AE,得2AD=-6AE,则AD=-3AE,所以AD=3EA.3.(2023河南模拟)下列关于平面向量的说法正确的是(D)A.若AB,CD共线,则点A,B,C,D必在同一直线上B.若ab且bc,则acC.若G为ABC的外心,则GA+GB+GC=0D.若O为ABC的垂心,则OAOB=OBOC=OCOA解析

3、:若AB,CD共线,则A,B,C,D在同一直线上或ABCD,A错误;若b为零向量,则a与c不一定平行,B错误;GA+GB+GC=0G为ABC的重心,C错误;若O为ABC的垂心,则OABC,则OABC=0,所以OA(OC-OB)=0,得OAOC=OAOB.同理得OAOB=OBOC,故OAOB=OBOC=OCOA,D正确.4.已知a,b是两个不共线的向量,且向量b+ma,a-3b共线,则实数m的值为(D)A.3 B.-3C.13 D.-13解析:设b+ma=k(a-3b),即b+ma=ka-3kb,则k=m,-3k=1,解得k=-13,m=-13.5.(多选题)已知等边三角形ABC内接于O,D为线

4、段OA的中点,E为线段BC的中点,则BD等于(AC)A.23BA+16BC B.43BA-16BCC.BA+13AE D.23BA+13AE解析:如图所示,已知BC中点为E,则BD=BA+AD=BA+13AE=BA+13(AB+BE)=BA-13BA+1312BC=23BA+16BC.6.如图所示,已知B=30,AOB=90,点C在AB上,OCAB,若用OA和OB来表示向量OC,则OC= .解析:由题意知OC=OA+AC=OA+14AB=OA+14(OB-OA)=34OA+14OB.答案:34OA+14OB7.设e1与e2是两个不共线向量,AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1

5、-2ke2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为 .解析:由题意,A,B,D三点共线,故必存在一个实数,使得AB=BD.又AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1-2ke2,所以BD=CD-CB=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=(3-k)e1-(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以3=(3-k),2=-(2k+1),解得k=-94.答案:-948.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且OA=a,OB=b,则DC=,BC=.(用a,b表示)解析:如图,DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC-OB=-O

6、A-OB=-a-b.答案:b-a-a-b9.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是(AB)A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数,使a-b=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b解析:对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=27e,b=-87e,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,由平面向量共线定理知,存在相异实数,使a-b=0,则非零向量a,b是共线向量,故B正确;对于C,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=0

7、,则不能保证a,b共线,故C错误;对于D,已知在梯形ABCD中,AB=a,CD=b,AB,CD不一定是梯形的上、下底,故D错误.10.设D为ABC的边AB的中点,P为ABC内一点,且满足AP=AD+13BC,则SAPDSADC等于(A)A.13 B.34 C.12 D.23解析:因为D为ABC的边AB的中点,所以SABC=2SADC.又因为P为ABC内一点,且满足AP=AD+13BC,所以AP-AD=13BC,即DP=13BC,即|DP|=13|BC|且DPBC,所以ADP=B.因为SABC=12|AB|BC|sin B,SAPD=12|AD|DP|sin B=1212|AB|13|BC|si

8、n B=1612|AB|BC|sin B=16SABC,所以SAPDSADC=16SABC12SABC=13.11.(多选题)设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(ACD)A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,则MBC的面积是ABC面积的12解析:若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点,故A正确;若AM=2AB-AC,即AM-AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若AM=-BM-CM,即MA

9、+MB+MC=0,则点M是ABC的重心,故C正确;如图,AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC,设AN=2AM,则M为AN的中点,则MBC的面积是ABC的面积的12,故D正确.12.在直角梯形ABCD中,A=90,B=30,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+AB,则的取值范围是 .解析:由已知可得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.因为点E在线段CD上,所以DE=DC (01).因为AE=AD+DE,又AE=AD+AB=AD+2DC,所以2=.因为01,所以012.答案:0,1213.在ABC中,AN=23NC,P是线段BN上一点,若AP=t

10、AB+13AC,则实数t的值为 .解析:法一因为AN=23NC,所以AC=52AN,所以AP=tAB+13AC=tAB+56AN,因为B,P,N三点共线,所以t+56=1,所以t=16.法二因为AN=23NC,所以AN=25AC,设NP=NB(01),则AP=AN+NP=25AC+NB=25AC+(NA+AB)=25AC+(-25AC+AB)=AB+25(1-)AC.又AP=tAB+13AC,所以t=,25(1-)=13,解得t=16.答案:1614.如图所示,在ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.(1)试用向量a,b表示 OM.(2)过点M作

11、直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记 OE=a,OF=b,求证:1+3为定值.(1)解:由A,M,D三点共线,可设DM=mDA,则OM=mOA+(1-m)OD=ma+1-m2b,由B,M,C三点共线,可设BM=nBC,则OM=nOC+(1-n)OB=n4a+(1-n)b,所以m=14n,1-m2=1-n,解得m=17,n=47,所以OM=17a+37b.(2)证明:因为E,M,F三点共线,设FM=kFE,则OM=kOE+(1-k)OF=ka+(1-k)b,由(1)知k=17,(1-k)=37,所以1=7k,3=7-7k,所以1+3=7,为定值.15.已知A1,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足A1M=(A1A2+A1A3)(是实数),且MA1+MA2+MA3是单位向量,则这样的点M有(C)A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个解析:由题意得,MA1=-(A1A2+A1A3),MA2=MA1+A1A2,MA3=MA1+A1A3,所以MA1+MA2+MA3=(1-3)(A1A2+A1A3),如图所示,设D为A2A3的中点,所以(1-3)(A1A2+A1A3)是与A1D共起点且共线的一个向量,显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点,故有两个值,即符合题意的点M有2个.