备战2024年高考数学一轮复习基础讲义第41讲特征数及抽样方法(解析版).docx

《备战2024年高考数学一轮复习基础讲义第41讲特征数及抽样方法(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2024年高考数学一轮复习基础讲义第41讲特征数及抽样方法(解析版).docx（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第41讲 特征数及抽样方法一两种抽样方法（一）简单随机抽样1.概念：一般地，从元素个数为N的总体中逐个不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法3.适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小.（二）分层抽样1.概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不交叉的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层

2、抽样2.应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样3.特征：等比例抽样二频率分布直方图（表） 1.频率分布直方图基础概念纵轴表示，频率：数据落在各小组内的频率用各长长方形的面积表示各小长方形的面积总和等于1分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体的分布规律2.频率分布直方图的步骤如下()求极差；()确定组距和组数；()将数据分组；()列频率分布表；()画

3、频率分布直方图频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状三茎叶图1.概念：当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)2.两个突出的优点：其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息都可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录与表示四样本的数字特征特征数具体数字算法频率分布直方图（表）众数次数出现最多的数字频率最大或最高组的中间值

4、中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数频率等于0.5时的横坐标平均数所有数字之和除以总个数每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和方差平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定题型一：两种抽样法1（石嘴山市第三中学高二月考）下列说法正确的个数是（ ）.总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；在对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；西货商场的抽奖活动是抽签法；整个抽样过程中，每个个体被抽取的

5、机率相等（有剔除时例外）.A1B2C3D4【答案】B【详解】解：对于，总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，命题正确；对于，系统抽样在总体均分以后的第一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样，错误；对于，百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓阄，命题正确；对于，系统抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时概率也相等），错误；综上，正确的命题有2个故选：B2（全国高一课时练习）关于简单随机抽样，下列说法中正确的是（ ）它要求被抽取样本的总体的个数有限；它是从总体中逐个地进行抽取；它是一种不放回抽样；它是一种等可能性抽样ABCD【答案】A【详解】简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，

6、正确；简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，正确；简单随机抽样是一种不放回抽样，正确；简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，正确故答案为：故选：A3（广州大学附属中学高二月考）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）A10B05C09D20【答案】C【详解】依题意，读取的第一个数为14，向右每两位读取数据，依次为：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在编号范围内

7、，舍去，而后一个05与前一个05重复，应舍去后一个05，读取符合要求的两位数据依次为：14，05，11，09，则09刚好是第四个符合要求的编号，所以得到的第4个样本编号是09.故选：C4（大同市平城中学校高一月考）我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层简单抽样的方法），则北面共有多少人（ ）A8000B8100C8200D8300【答案】B【详解】解：设北面人数为，根据题意知，解得，所以北面共有8100人故选：B5（陕西省黄陵县中学高一月考）某校高二年级有男生600人，女生500人，为了

8、解该年级学生的体育达标情况，从男生中任意抽取30人，从女生中任意抽取25人进行调查这种抽样方法是（ ）A系统抽样法B抽签法C随机数法D分层抽样法【答案】D【详解】所要研究的对象是男生和女生，要了解该年级学生的体育达标情况，而男生和女生的体育达标情况有比较大的差异性，抽取样本的时候应该选择分层抽样，总体是由男生和女生组成，比例为60050065，故抽取的比例也是65.故选：D6（渭南市尚德中学高一月考）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（ ）件.A1800B1600C1

9、900D1000【答案】A【详解】解：样本容量为80，抽取的比例为，又样本中有50件产品由甲设备生产，样本中30件产品由乙设备生产，乙设备生产的产品总数为故选：A7（崇仁县第二中学（文）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A6B8C10D12【答案】A【详解】设样本容量为N，则,解得N=16，所以高二所抽人数为：.故选：A8（黑龙江让胡路大庆中学）从一个容量为（，）的总体中抽取一个容量为的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被

10、抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ）ABCD【答案】D【详解】随机抽样每个个体被抽到的概率相等，选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为故选：D9（罗平县第二中学）某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，则样本中甲类奶制品的数量为（）A6盒B15盒C20盒D24盒【答案】D【详解】某天奶制品的总产量为，则用分层抽样抽取容量为60的样本的抽样比为：，所以样本中甲类奶制品的数量为.故选：D题型二：频率分布直方图1（广西南

11、宁高三模拟预测（文）北京舞蹈学院为了解大一舞蹈专业新生的体重情况，对报到的1000名舞蹈专业生的数据（单位：）进行统计，得到如图所示的体重频率分布直方图，则体重在以上的人数为（ ）A100B150C200D250【答案】D【详解】， 故选：D2（天津市第四十七中学高三月考）天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）A1

12、20B360C420D480【答案】C【详解】由频率分布直方图可得样本中优秀的频率为，则这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为.故选：C.3（沙坪坝重庆南开中学）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在棵树苗中随机抽取棵，统计这棵树苗的高度，将所得个高度数据分为组：，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这棵树苗中高度小于cm的树苗棵数是（ ）A360B600C840D1320【答案】B【详解】依题意可得这棵树苗中高度小于cm的概率为，所以在这棵树苗中高度小于cm的树苗棵数是，故选：B4（江苏南京高二月考）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示

13、这些学生的支出金额（单位：元）都在内，其中支出金额在内的学生有234人，频率分布直方图如图所示，则等于（ ）A300B320C340D360【答案】D【详解】解：由频率分布直方图知：，故选：D.5（嘉峪关市第一中学高一期中）在高一（1）班组织的“我爱古诗词”的调研考试中，全班40名学生的成绩数据（均为整数且都在）统计为如下的频率分布直方图，则第四小组（成绩分布在）的频率为（ ）A0.001B0.01C0.03D0.3【答案】D【详解】由频率分布直方图可得第四小组的频率为.故选：D.6（北京牛栏山一中）某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度（单位：mm）全部介于93至105之间.

14、将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：93，95），95，97），97，99），99，101），101，103），103，105，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在97，103）内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的不合格率是（ ）A80%B11%C20%D14.5%【答案】C【详解】解：长度在，内的元件为合格品，根据频率分布直方图得不合格的频率为：，所以估计这批元件的不合格率是故选：C7（陕西韩城高一期末）抽样统计某校部分学生的物理测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：根据频率分布直

15、方图，不低于60分的频率为，所以及格率是.故选：D.8（河南商丘）某校高三年级共有名学生选修地理，某次考试地理成绩均在分之间，分数统计后绘成频率分布直方图，如图所示，则成绩在分的学生人数为（ ）ABCD【答案】C【详解】成绩在分内的频率为，所以成绩在分的学生人数为.故选：C9（陕西铜川高一期末）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且小于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比

16、为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和的值分别是（ ）A，35B，45C，35D，45【答案】A【详解】解：从频率分布直方图上可以看出，故选：10（全国高一专题练习）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（ ）ABCD【答案】A【详解】由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为：，故选：题型三：平均数、众数、中位数1（全国高一课时练习）下面表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分

17、别为（ ）甲组912x2427乙组91518y24A15，18B14，19C16，17D13，10【答案】A【详解】甲组共有5个数，其余4个数分别为9,12,24,27，余下一个数为，将它们按从小到大排列后，第三个数为中位数，故中间数必定为且为15，又，解得，故选：A.2（全国）阳澄湖大闸蟹在国内外享誉盛名，某超市从批发商那里购得10000只大闸蟹，这批大闸蟹的平均重量是100克.现在某超市员工随机抽取了一个样本容量为100的样本，检测得这100只大闸蟹的平均重量为克，则以下说法正确的是（ ）A大于100B等于100C小于100D以上都有可能【答案】D【详解】解：由于样本平均数是一个随机变量，

18、故选：D.3（吉林长春外国语学校高二开学考试）甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（ ）A极差B平均数C中位数D都不相同【答案】B【详解】，故甲、乙的平均数相同，甲、乙的极差分别为，故不同，甲、乙的中位数分别为，故不同，故选：4（北京101中学高一期中）一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A这组新数据的平均数为B这组新数据的平均数为C这组新数据的方差为D这组新数据的标准差为【答案】D.【详解】由题可知，这组新数据的平均数为，故AB错误；这组新数据的

19、方差为，故C错误；这组新数据的标准差为，故D正确.故选：D.5（山西省长治市第二中学校高一月考）在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A甲地总体均值为3，中位数为4B乙地总体均值为2，总体方差大于0C丙地总体均值为2，总体方差为3D丁地中位数为3，众数为3【答案】C【详解】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，A不正确；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，B不正确；当总体平均数是2，假设有

20、一个数据超过7，则方差就超过3，不成立，故C正确中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人，D不正确；故选：C6（全国高三月考（文）某大学共有名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（ ）（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）A众数为B平均数为C中位数为D该校读书不低于本的人数约为人【答案】B【详解】A：由图知：众数在，故众数为，错误；B：平均数为，正确；C：由图知：中位数在，所以，解得，错误；D：由图知：该校读书不低于本的频率之和为，所以该校读书不低于本的人数约为人.

21、故选：.7（甘肃张掖市第二中学高三月考（理）联合国生物多样性公约第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在中国昆明举行为了让广大市民深入了解COP15，展现春城昆明的城市形象，2021年6月5日全国30个城市联动举行了“2021COP15春城之邀一粒来自昆明的种子”活动，活动特别准备了2万份“神秘”花种盲盒，其中有一种花种的花卉，其植株高度的一个随机样本的频率分布直方图如图所示，根据这个样本的频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A这种花卉的植株高度超过的估计占25%B这种花卉的植株高度低于的估计占5%C这种花卉的植株高度的平均数估计超过

22、D这种花卉的植株高度的中位数估计不超过【答案】D【详解】对于A，由频率分布直方图可知，这种花卉的植株高度超过的频率为，所以这种花卉的植株高度超过的估计占25%，所以A正确，对于B，由频率分布直方图可知，这种花卉的植株高度低于的频率为，所以这种花卉的植株高度低于的估计占5%，所以B正确，对于C，这种花卉的植株高度的平均数约为，所以C正确，对于D，因为，所以中位数在40-50之间，设中位数为，则，解得，所以D错误，故选：D8（邯山区新思路学本文化辅导学校高一月考）跳水比赛共有7名裁判分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效

23、评分与7个原始评分相比，一定不会改变的数字特征是（ ）A众数B标准差C中位数D极差【答案】C【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，其平均数、极差、方差都可能会发生改变，不变的数字特征数中位数.故选：C.9（江苏通州高一期中）某机构调査了10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是（）A138，160.5B138，146C138，175D135，160.5【答案】A直接按照百分位数的定义求第25百分位数；按中位数的定义求中位数.【详解】将10个数按从小到大排

24、列：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，而，为第3项138；中位数为.故选：A10（宁夏大学附属中学高二月考（文）某次数学检测中，某一题目的得分情况如下：得分（分）01234百分率（%）37.08.66.028.220.2其中众数是（ ）A37.0%B20.2%C0分D4分【答案】C【详解】解：众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据所给表格的百分率最高的是“0”，可求出众数是：0故选：C11（四川雅安高二期末（文）某中学有10个学生社团，每个社团的人数分别是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的平均数，众数，中位

25、数的和为（ ）A165B160C150D170【答案】C【详解】人数分别是10,30,30,40,40,50,60,60,60,70，则众数为60，中位数为，平均数为，平均数，众数，中位数的和为：60+45+45=150.故选：C.12（福建省福州第一中学）福州地铁二号线“福州大学站”的一个安保员，某日将负责的车箱从中午一点开始的十班下车的人数统计如下：36731046768，则这组数据的众数为（ ）A3B6C7D8【答案】B【详解】36731046768按从小到大排列33466677810所以众数为6故选：B题型四：方差、标准差1（全国高二课时练习）有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分

26、蘖数据，计算出样本均值，方差分别为，.由此可以估计（ ）A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较【答案】B【详解】解：已知样本方差：，由此估计，乙种水稻的方差约为，甲种水稻的方差约为.因为所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐故选：B.2（玉林市第十一中学高二月考）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的极差是（ ）A56B53C55D51【答案】A【详解】由题意，茎叶图中数据最大值为68，最小值为12故极差故选：A3（全国（文）在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如

27、图所示.下列说法正确的是（ ）A甲得分的中位数和极差都比乙大B甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大C甲得分的中位数和极差都比乙小D甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小【答案】B【详解】甲得分依次为、，中位数是，极差为，乙得分依次为、，中位数是，极差为，则甲得分的中位数比乙小，极差比乙大，故选：B.4（咸阳百灵学校高一月考）甲乙两个样本的方差分别为，由此反映（ ）A样本甲的波动比样本乙大B样本乙的波动比样本甲大C样本甲和样本乙的波动一样大D样本甲和样本乙的波动大小无法确定【答案】B【详解】解：样本方差的大小反应样本的波动情况，样本方差越大，则样本波动越大，反之波动越小，所以此题样本乙的波动比样本甲的

28、波动大.故选：B5（山西怀仁高二期末（文）有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则（ ）A两组样本数据的样本平均数相同B两组样本数据的样本中位数数相同C两组样本数据的样本标准差相同D两组样本数据的样本极差不同【答案】C【详解】设样本数据，的样本平均数为，样本中位数为，样本标准差为，根据平均数和标准差的性质可知，样本数据，的样本平均数为，样本标准差为，根据中位数的概念可知，样本数据，的样本中位数为，根据极差的概念可知两组样本数据的样本极差相同.故选：C6（长春市第二十九中学）如果，的方差是，则，的方差为（ ）A9B3CD6【答案】B【详解】如果，的方差是，则，的方差为,故选

29、：B.7（广东惠州高一期末）已知有样本数据2、4、5、6、8，则该样本的方差为（ ）A5B4C2D0【答案】B【详解】解：平均数为该样本的方差为故选：B8（浙江台州高一期末）若数据的方差为2，则的方差为（ ）A1B2C4D8【答案】D【详解】解：因为数据的方差为2，所以的方差为.故选：D.9（云南昆明高二期末（文）设一组样本数据的方差为1，则数据的方差为（ ）A36B7C6D1【答案】D【详解】解：设的平均数为，即，则数据的平均数， 所以数据的方差为，故选：D10（湖南天心长郡中学高二期末）已知数据 的方差为 4 ， 若 ， 则新数据 的方差为（ ）A2B4C8D16【答案】D【详解】解：由题

30、意可得，因为，所以，所以新数据 的方差为，故选：D11（全国高一期末）已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是，则该样本标准差为（ ）A1BCD2【答案】B【详解】解：因为五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，所以，解得，所以标准差为，故选：B12（山西）数据，的平均数为4，标准差为2，则数据，的方差和平均数分别为（ ）A36，14B14，36C12，19D4，12【答案】A【详解】数据，的平均数为4，标准差为2，所以数据，的方差为4，平均数为4.根据方差和平均数的性质可得，的方差为，平均数为.故选:A.13（广州大学附属中学高二开学考试）若数据，的平均数为4，标准差为1，则，的平均数和标准差分别为（ ）A4，1B17，8C17，9D17，3【答案】D【详解】解：，的平均数为，方差为，标准差为，的平均数为，即为17.方差，标准差.故选：D.