备战2024年高考数学一轮复习基础讲义第47讲离散型随机变量的分布列、均值与方差(解析版).docx

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1、第47讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差1随机变量的有关概念随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，表示离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质（1）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值 (i1，2，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.有时也用等式表示X的分布列（2）离散型随机变量的分布列的性质(i1，2，n)；3必记结论（1）随机变量的线性关系若是随机变量，是常数，则Y也是随机变量（2）分布列性质的两个作用利用分布列中各事件概率之和为1可求参

2、数的值随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率4离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量的分布列为：（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差5均值与方差的性质若，其中为常数，则也是随机变量，且；6二项分布的期望、方差：若，则,.题型一：离散型随机变量分布列1（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.10.3若随机变量，则等于（ ）A0.3B0.4C0.6D0.7【答案】A【详

3、解】因为，所以或.故选：A2（全国高二课时练习）已知随机变量只能取三个值，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）ABC3，3D0，1【答案】B【详解】解：由题意得：设随机变量取x1，x2，x3的概率分别为ad，a，ad，则由分布列的性质得(ad)a(ad)1，故，由，解得.所以公差的取值范围是.故选：B3（全国高二课时练习）随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且，则的值为（ ）ABC110D55【答案】B【详解】随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且P(k)ak(k1，2，10)，a2a3a10a1，55a1，a 故选：B.4（全国）袋中装有大小相同的5个球，

4、分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（ ）A25B10C15D9【答案】D【详解】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.故选：D5（全国）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“”表示试验的结果为（ ）A第一枚为5点，第二枚为1点B第一枚大于4点，第二枚也大于4点C第一枚为6点，第二枚为1点D第一枚为4点，第二枚为1点【答案】C【详解】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X4”即“X=5”

5、，表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点，故选：C6（全国）若为非负实数，随机变量的分布列为012则的最大值为（ ）A1BCD2【答案】B【详解】由题分布列的性质，可得且，解得，又由，所以的最大值为.故选：B.7（全国高二单元测试）设离散型随机变量的分布列为：123则的充要条件是（ ）ABCD【答案】C【详解】解：由离散型随机变量X的分布列知：当EX=2时，解得P1=P3，当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1.EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2.EX=2的充要条件是P1=P3.故选：C.8（河南高二期末（理）若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（ ）ABCD【答

6、案】A【详解】由分布列的性质，得，所以，当且仅当时，等号成立，故选：.9（黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知随机变量的概率分布如下：12345678910则（ ）ABCD【答案】C【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.故选：C.10（全国）已知随机变量的分布列如表所示.0123若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】解：由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，且，实数满足.故选：B.题型二：离散型随机变量的均值和方差1（全国高二单元测试）已知离散型随机变量的分布列为123则的数学期望（ ）AB2CD3【答案】A【详解】.故选：A.2（全国高二单元测试）已知随机变

7、量，则随机变量的方差为（ ）ABCD【答案】D因为，所以.故选：D.3（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，的方差是（ ）A1B2C3D4【答案】D设，依题意得，则，即另一组数据，的方差是.故选：D4（全国高二课时练习）设随机变量的方差，则的值为（ ）A2B3C4D5【答案】C.故选：C.5（全国高二课时练习）已知随机变量的分布列为，.则等于（ ）A6B9C3D4【答案】A由题意得,.故选：A.6（全国高二课时练习）已知随机变量满足，则（ ）A6B8C18D20【答案】C【详解】D(X)2，D(3X2)9D(X)18.故选:C.7（天津市蓟州区擂鼓台中学）

8、为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?【答案】（1）甲、乙的平均数、中位数分别为75，73、75，74；（2）甲成绩稳定.【详解】（1）甲的平均数为= (68+69+71+72+74+78+83+85)8=75，中位数为(72+74)2=73

9、，乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)8=75，中位数为(73+75)2=74.（2）甲的方差为s12=(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)28=35.5，乙的方差为s22=(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2 8=41，s12s22，甲成绩稳定.8（四川南充（理）随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.（1）求的分布列；（2）求和.【答案】（1）分

10、布列见解析；（2）3.5；2.92.【详解】（1）由题意，的可能取值为且各点面的概率均为，的分布列为123456（2）；.9（福建省永春第二中学高二期末）设随机变量具有分布列：12345求这个随机变量的与【答案】3，27【详解】，因为，所以10（浙江丽水高二课时练习）为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可

11、获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为【详解】（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”所以所以（2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为所有的可能取值为：，则所以的分布列为所以则11（浙江丽水高二课时练习）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：8910040402现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为（1）求该运动员

12、两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望【答案】（1）0.36；（2）见解析，9.2【详解】（1）两次都命中8环的概率为两次都命中9环的概率为两次都命中10环的概率为设该运动员两次命中的环数相同的概率为（2）的可能取值为8，9，10 ，的分布列为891001604803612（甘肃城关兰州一中高三月考（理）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（）用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）（3）【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i0,1,2,3,4)，则（）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 （）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 （）的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，所以的分布列是024P随机变量的数学期望