广东省广州市海珠外国语实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版).docx

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1、广州市海珠外国语实验中学2022-2023学年第一学期期末考试高二数学（试题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 120D. 150【答案】A【解析】【分析】将直线一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.【详解】 又 故选：A.2. 已知空间向量，且，则x=（ ）A. B. 3C. D. 6【答案】C【解析】【分析】利用向量平行列方程直接求得.【详解】因为空间向量，且，所以，解得：.故选：C3. 在数列中，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据数

2、列的递推式，计算数列的项，可推得数列为周期性数列，利用其周期即可求得答案.【详解】由题意可得，,该数列是周期数列，周期,又 ， ，故选：B 4. 已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的取值范围.【详解】解：由题意，则，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，圆上的点P到直线的最小距离为，最大距离为面积的最小值为，最大值为面积的取值范围是故选：B5. 四棱柱的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且

3、，则线段的长度是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量运算法则得到，再利用模长公式进行求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，即线段的长度是.故选：D.6. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】，故选：B7. 如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ）A. B. C. D.

4、 【答案】B【解析】【分析】根据旋转体特性可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，根据内接正方形与圆得关系求出一组代入椭圆方程即可求出a，最后得出答案.【详解】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接，因为正方体棱长为1，所在圆半径为根据图像的对称性可知，正方体上方正方形所在位置，将其代入椭圆方程得，解得，故选：B8. 点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（ ）A.B. C. D. 【答案】B【解析】【

5、分析】讨论斜率，斜率存在时设、联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定的方程，可得过定点，若以G为圆心的圆半径为，只需保证可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.【详解】当直线斜率均存在时，令且，则，联立与曲线C并整理得：，且，则，所以，故，联立与曲线C并整理得：，同理，可得，直线，故过定点，当直线中一条的斜率不存在时，令，则，所以，故过，而，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，若圆的半径为，只需恒成立，故圆最小面积为.故选：B【点睛】关键点点睛：讨论直线斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求线段中点坐标，进而确定的方程，得到过定点，根据恒有公共点

6、有圆半径为，只需保证恒成立即可.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知是等比数列的前n项和，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解.【详解】若公比有，此时，故公比，由题意，化简有，两边同时乘以，可得：；两边同时乘以，可得：故有或，选选：AB.10. 已知F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 的周长为10B. 面积

7、的最大值为C. 的最小值为1D. 椭圆C的焦距为6【答案】AB【解析】【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.【详解】椭圆C方程为：，的周长为，A正确；PF1F2面积的最大值为，此时位于短轴的端点，B正确；在椭圆的左顶点时，|PF1|的最小值为ac1，又P为椭圆C上异于长轴端点的动点，C错误；椭圆C的焦距为2c4，D错误.故选：AB.11. 已知三棱锥的底面是正三角形，则下列各选项正确的是（ ）A. 与平面所成角的最大值为B. 与平面所成角的最小值为C. 若平面平面，则二面角的最小值为D. 若、都不小于，则二面角为锐二面角【答案】AC【解析】【分析】利用

8、线面角的定义可判断AB选项；利用二面角的定义可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项.【详解】对于A选项，设点在平面内的射影点为，取的中点，连接、，设等边的边长为，则，平面，所以，直线与平面所成角为，平面，平面，则，为等边三角形，为的中点，则，平面，平面，所以，二面角的平面角为，所以，则，即当平面平面时，取得最大值，A对；对于B选项，由A选项可知，与平面所成角的最大值为，B错；对于C选项，取的中点，过点在平面内作，垂足为点，连接、，则，为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，所以，二面角的平面角为，平面，平面，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故当平面

9、平面时，则二面角的最小值为，C对；对于D选项，过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，则二面角的平面角为，设，取，则，此时为钝角，即二面角为钝二面角，D错.故选：AC.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：定义法；垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是

10、一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）A. 曲线C围成的图形有4条对称轴B. 曲线C围成的图形的周长是C. 曲线C上的任意两点间的距离不超过5D. 若是曲线C上任意一点，的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图像，由图像即可判断ABCD.【详解】，当时，即，表示圆心为，半径的半圆；当时，即，表示圆心为，半径的半圆；当时，即，表示圆心为，半径的半圆；当时，即，表示圆心为，半径的半圆.曲线的图像如下图所示：对于A，易知曲线图像有4条对称轴，A正确；对于B，曲线图形由4个半圆组成，故其周长

11、为，B正确；对于C，由图可知，曲线C上的任意两点间的最大距离为，C错误；对于D，圆心到直线的距离为，到直线的距离，若使最小，则有，所以，得，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 双曲线，写出一个与双曲线有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【详解】与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程可设为，当时，得到双曲线方程为，显然该双曲线与双曲线有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：14. 在直三棱柱中，则异面直线与夹角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】根据条件，可建立空间直角坐

12、标系，得出与坐标，利用向量法解决.【详解】由已知可得，两两垂直，可如图建立空间直角坐标系.则，由可得，则，所以，.所以，异面直线与夹角的余弦值为.故答案为：.15. 已知数列的各项均为正数，则数列前10项的和为_.【答案】【解析】【分析】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可.【详解】由，或，当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，这不符合数列的各项均为正数；当时，即，所以数列是以为公比的等比数列，又，所以，因为，所以前10项的和为，故答案为：16. 在平面直角坐标系中，已知圆与x轴交于AB（点A在点B的左侧），圆C的弦过点，分别过EF作圆C的切线，交点为P，则线段的最小值

13、为_.【答案】【解析】【分析】设，根据切线的垂直关系，可得在以为为直径的圆上，求出的方程，将代入，求出点轨迹方程，转化为点到直线的距离，即可求出结论.【详解】，圆心，令或，点在点的左侧，设，为圆的切线，在以为直径的圆上，其方程为，即，直线为圆:与以为直径的圆的相交弦，直线方程为，弦过点，点的轨迹为直线，其方程为，线段最小值为点到直线的距离为.故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中17小题10分，其余每小题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 数列中，为的前项和.（1）若，求；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知数列是首项

14、为3，公比为3的等比数列，根据等比数列的前项和公式求；（2）由（1）可知，代入后，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由得数列是首项，公比的等比数列；由得.得，解得.所以的值为.（2）由（1）知数列是首项，公比的等比数列.可得.所以，数列的前项和.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.18. 已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为.（1）当时，求的长；（2）当弦被点P平分时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分

15、析】（1）根据题意先求出直线l方程，再求圆心到直线l的距离，再结合垂径定理利用弦长公式即可得解；（2）根据垂径定理，弦被点P平分，则，先求可得，再利用点斜式即可得解.【详解】（1）当时，直线l的方程为：即，圆心到，直线l的距离，所以（2）当弦被平分时，直线l的方程为：，即.19. 如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据

16、方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且 ，由知由知，平面（2）方法一：【通性通法】向量法如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由已知得 取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为方法二：三垂线等积法由（1）知平面，可得平面平面如图5，在平面内作，垂足

17、为N，则平面在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即设，则，在中，在中，由，得，则设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为方法三：三垂线线面角定义法由（1）知平面，可得平面平面如图6，在平面内作，垂足为N，则平面在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即同解法1可得在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结在中，因为，所以由平面，可得平面平面，交线为在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为方法四：【最优解】定义法如图7，取的中点H，联结，则过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）联结，则即为二

18、面角的平面角，即，得联结，则为直线与平面所成的角在中，所以【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解20. 双曲线的一条渐近线方程为且焦距为，点，过的直线与双曲线交于，两点（1）求

19、双曲线的方程（2）若，两点均在轴左侧，求直线的斜率的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)根据渐近线方程为，焦距为，可得，再由即可求出的值，从而可得双曲线方程；(2) 直线的方程为，联立双曲线方程可得，由可得，设，由题意可得，结合韦达定理即可求解出的取值范围【小问1详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为且焦距为，所以，解得，所以双曲线方程为：；【小问2详解】解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由，可得，所以，即，设，因为，两点均在轴左侧，所以，所以，可得，解得，又因为，所以，所以.21. 某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可

20、达到每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，（1）写出，并证明数列是等比数列；（2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？（lg【答案】（1），证明见解析 （2）至少到2026年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元【解析】【分析】（1）由题意可知，再结合等比数列的性质，即可求解（2）由（1）知，则，令，再结合对数函数运算，即可求解【小问1详解】依题意知，, ,所以,又，所以是首项为3，公比为1.5的等比数列.【小问2详解】由（1）知，所以令，解得，所以，所以至少到2026年的年底，企业的剩

21、余资金会超过21千万元22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为点P是椭圆E上的一个动点，且P在第一象限记的面积为S，当时，（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图，的延长线分别交椭圆于点M，N，记和的面积分别为和求证：存在常数，使得成立【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得解；（2）设，解方程组求出的值，再求出即得证.【小问1详解】由题得. 所以当时，.由已知得，且，所以，从而，所以椭圆E的方程为.【小问2详解】根据椭圆的对称性，可设，则即，因为，直线PM与直线PN斜率均不为零，所以设直线PM的方程为（其中直线PN的方程为（其中，联立，得，所以，所以，所以，由，得，所以所以，所以，所以，所以即存在常数，使得成立【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为,（或,）的形式；（5）代入韦达定理求解.