广东省佛山市顺德市重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷及参考答案.docx

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1、2022-2023学年广东省佛山市顺德区重点中学高二（下）月考数学试卷（3月份）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知数列中，则数列的最小项是()A. 第项B. 第项、第项C. 第项D. 第项、第项2. 在数列中，若，则()A. B. C. D.

2、3. 等差数列的前项和，则()A. B. C. D. 4. 在等比数列中已知，则()A. B. C. D. 5. 已知数列是递增的等比数列，则公比()A. B. C. D. 6. 若数列对任意正整数都有，则()A. B. C. D. 7. 已知两个等差数列，和，都有项，则它们的公共项的个数为()A. B. C. D. 8. 已知等差数列的前项和为，若，则取最大值时的值为()A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 正项等比数列的前项和为，已知，下列说法正确的是()A. B. 是递增数列C. 为等比数列D. 是等比数列10. 记为公差不为

3、的等差数列的前项和，则()A. ，成等差数列B. 成等差数列C. D. 11. 已知数列中，则()A. B. C. D. 12. 如图所示，图是边长为的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图，重复以上作图，得到图，记图中正方形的个数为，图中正方形的个数为，图中正方形的个数为，图中正方形的个数为，下列说法正确的有()A. B. 图中最小正方形的边长为C. D. 若，则图中所有正方形的面积之和为第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共24.0分）13. 设数列满足，则 14. 九章算术是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有

4、大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？“意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士爵位依次变低个人共出钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这个人各出多少钱？“在这个问题中，若大夫出钱，则上造出的钱数为15. 数列中，且，则数列的通项公式为 16. 已知数列满足，且，则，数列的前项和四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题分已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，求数列，的通项公式；数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列的前项和18. 本小题分已知为各项均为正数

5、的等比数列，且，求数列的通项公式；令，求数列前项和19. 本小题分已知数列的前项和为求数列的通项公式20. 本小题分已知数列中，设 求证：数列是等差数列；设，记数列的前项和为证明：21. 本小题分已知数列满足，且 求证：数列是等比数列，并求的通项公式；若对任意的恒成立，求实数的取值范围22. 本小题分市民小张计划贷款万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后

6、收本金；利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供总额保持不变银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款如年月日贷款到账，则年月日首次还款已知该笔贷款年限为年，月利率为若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还元，最后一个还款月应还元，试计算该笔贷款的总利息若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半已知小张家庭平均月收入为万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批不考虑其他因素参考数据：对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由答案解析1.【答案】【解析】解：根据题意，数列中，则，当时，有

7、，则有，当时，有，则有，当时，有，则有，故数列的最小项是第项、第项故选：根据题意，求出的表达式，分析其符号，即可得数列的单调性，由此分析可得答案本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题2.【答案】【解析】解：因为数列中，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则故选：由已知结合等差数列的定义及通项公式即可求解本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础题3.【答案】【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为，若其前项和，则有，变形可得，则有，则故选：根据题意，设等差数列的公差为，由等差数列前项和公式可得，变形可得，又由等差数列的通项公式可得，计算可得答案本题考查等差数列

8、的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题4.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的通项公式进行计算即可本题主要考查等比数列的通项公式，根据条件求出公比是解决本题的关键【解答】解：等比数列中，故选：5.【答案】【解析】解：数列是递增的等比数列，则，解得，解得或，数列是递增的等比数列，故选：根据已知条件，结合等比数列的性质，以及数列是递增的等比数列，即可求解本题主要考查等比数列的性质，属于基础题6.【答案】【解析】解：因为，所以时，两式相减，得，即，又时，得，也适合，所以时，所以故选：根据递推公式，可求出数列的通项公式，从而可求出的值本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题7.【答案】

9、【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式和性质，解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高，属中档题法一：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，法二由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解【解答】解：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为，则数列，与，公差分别为与，的公差，又，与，的第项分别是与，即又，两个数列有个相同的项解法二：设数列，与数列，分别为与，则，设中的第项与中的第项相同，即，又、，可设，得根据题意得，解得，从而有个相同

10、的项，故选A8.【答案】【解析】解：设等差数列的公差为，即，取最大值时的值为故选：由等差数列中，其前项和为，且，推导出，且，由此能求出当取最大值时，的值本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9.【答案】【解析】解：正项等比数列的前项和为，已知，设首项为，公比为，则，解得，所以，故A错误，B正确；则：，由于的关系式符合的形式，故C正确由于，所以，所以该数列为等差数列，故D错误故选：直接利用等比数列的定义和等比数列的性质的应用和前项和公式的应用求出数列的通项公式和前项和公式，进一步判定、的结论本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，等比数列的前项和，主要考查学生

11、的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题10.【答案】【解析】解： ， ，成等差数列，故选项A正确；，即，成等差数列，故选项B正确；，不成立，即选项C错误；，成立，即选项D正确；故选：由等差数列性质及前项和公式对个选项依次判断即可本题考查了等差数列性质及等差数列的前项和，是中档题11.【答案】【解析】解：，数列是以为周期的周期数列，对于：，故A错误；对于：，故B正确；对于：，故C错误；对于：由递推关系式得， ，故D正确故选：根据递推关系式可推导出数列是以为周期的周期数列，由，即可判断；由，即可判断；由，即可判断；根据递推关系式可得，即可判断本题考查数列的递推公式、周期数列等基础知识，考查运算

12、求解能力，属于中档题12.【答案】【解析】解：图中，正方形的个数为，正方形的边长为，正方形的面积为，图中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，正方形的面积之和为，图中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，正方形的面积之和为，下一个图中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，以此类推，图中，正方形的个数为，最小正方形的边长为，则图中，所有正方形的面积之和为 则，故A错误，图中最小正方形的边长为，故B正确，故C正确，若，得，得，则图中所有正方形的面积之和为，故D正确，故选：根据已知，分别判断正方形个数，最小正方形的边长以及所有正方形面积，根据规律归纳出通项公式，然后分别进行判断即可本题主要考查归纳推

13、理的应用，根据已知条件，分别归纳出，正方形个数，最小正方形边长以及正方形面积之和的规律是解决本题的关键，是中档题13.【答案】【解析】解：数列满足，故答案为：利用递推公式求解本题考查数列的第项的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用14.【答案】【解析】【分析】本题考查数列的实际应用，涉及等差数列的定义以及通项公式，属于基础题根据题意，设按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，由等差数列的前项和求出，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，设按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，设首项为，公差为由题意可得，由联立可得，则上造出的钱数为，故答案为：15.【答案】【解析】解：数列中，且，即

14、，又，数列是首项为，公比为的等比数列，数列的通项公式为故答案为：根据已知的递推关系式得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而求解结论本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和转化能力，属于基础题16.【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的通项公式的求解以及前和的求解，涉及到叠加以及裂项相消法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题由已知可得，如何利用叠加法即可求出，然后再利用裂项相消法即可求出【解答】解：数列满足，且，则，即，则，所以，则，故答案为：；17.【答案】解：数列的前项和为，且，可得时，解得；时，由，可得，两式相减可得，化为，所以；设等差数列的公差为，即，解得，所以；因为

15、数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，可得数列的前项为数列的前项去掉数列的前项后所得的项，所以【解析】由数列的递推式和等比数列的通项公式可得；由等差数列的通项公式可得；由题意可得数列的前项为中的前项中去掉中的前项后所得的项，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和本题考查数列的递推式和等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题18.【答案】解：已知为各项均为正数的等比数列，且，则，又，则，即；由题意可得，则 【解析】由题意可得，又，即，然后求解即可；由题意可得，然后结合分组求和法求解即可本题考查了等比数列通项公式的求法

16、，重点考查了分组求和法，属基础题19.【答案】解：，当时，由累乘法得，则，又，当时，当时，符合上式，故数列的通项公式为【解析】利用递推关系变形得，利用累乘法求出，再根据，即可得出答案本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题20.【答案】证明：，时，可得数列是首项为，公差为的等差数列；由可得，所以，则，因为，所以【解析】求得，由等差数列的定义可得结论；计算，由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，以及裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题21.【答案】解：证明：，故为等比数列，首项为，公比为，则，设

17、，整理得：，对照系数可知，解得：，故，故为公比为的等比数列，首项为，则，故；结合第一问可知，整理得：，当为奇数时，即，整理得：，设，当时，故单调递增，且，故，解得：，当为偶数时，故，整理得：，设，因为单调递增，且，故，解得：，综上：，即实数的取值范围是【解析】根据条件变形得到，可得数列为等比数列，得到，再构造出为等比数列，求出；在第一问的基础上，分为奇数和为偶数两种情况，利用作差法得到的单调性，进而列出不等式，求出实数的取值范围本题主要考查数列递推式，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于难题22.【答案】解：依题意，由该笔贷款年限为年，可知该笔贷款一共还款月数为月，若小张采取等额本金的还

18、款方式，则小张每个还款月应还本金为元，故小张第个还款月应还利息为，第个还款月应还利息为， 第个还款月应还利息为，该笔贷款的总利息为： 元由题意，若小张采取等额本息的还款方式，设小张每月固定还款额为元，设每个还款月还款后欠银行还款额分别为，则， ， ， 由此类推，可得 ，第个还款月还完之后表示贷款全部还清，即，整理，得， ，小张申请该笔贷款能够获批由第题，可知若小张采取等额本息的还款方式，则该笔贷款的总利息约为：元元元，即小张采取等额本息的还款方式的总利息比等额本金的还款方式的总利息多，我会建议小张选择等额本金的还款方式【解析】先根据题意计算出该笔贷款一共还款月数以及每月应还本金的金额，再分别推

19、导出每个还款月应还利息，最后求和并根据等差数列的求和公式进一步计算出即可得到采取等额本金的还款方式该笔贷款的总利息；根据题意设小张每月固定还款额为元，设每个还款月还款后欠银行还款额分别为，先推导出前几个还款月还款后欠银行还款额的数学表达式，并同理类推可得的表达式，再依据代入列出关于的方程，结合等比数列的求和公式推导出的值，再与元比较大小，即可判断小张申请该笔贷款是否能够获批；先根据第题的结果计算出小张采取等额本息的还款方式该笔贷款的总利息，再与第题小张采取等额本金的还款方式该笔贷款的总利息进行大小比较，即可判别出建议小张选择哪种还款方式本题主要考查等差数列和等比数列在实际生活中的运用考查了转化与化归思想，方程思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属较难题