高考数学人教a版一轮复习第八章 立体几何与空间向量解答题专项四 第1课时 利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离.docx
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1、解答题专项四立体几何中的综合问题第1课时利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离解答题专项练1.如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1C的中点.求证:(1)EF平面A1B1BA;(2)平面AEA1平面BCB1.证明:(1)由AB=AC,E为BC的中点,则AEBC,而AA1平面ABC,AA1BB1,过E作平行于BB1的垂线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB=3,BE=5,所以AE=2,所以E(0,0,0),C(5,0,0),A(0,2,0),B(-5,0,0),
2、B1(-5,0,27),A1(0,2,7),F52,1,72,所以EF=52,1,72,AB=(-5,-2,0),AA1=(0,0,7).设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x,y,z),则nAB=-5x-2y=0,nAA1=7z=0,令x=-2,则n=(-2,5,0),而EFn=52(-2)+15+720=0,所以EFn.又EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)因为EC平面AEA1,则EC=(5,0,0)为平面AEA1的一个法向量.又EA平面BCB1,则EA=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量.因为ECEA=0,故ECEA,故平面AEA1平面BCB1.2.(2023内
3、蒙古赤峰高三开学考试)在如图所示多面体中,平面EDCF平面ABCD,EDCF是面积为3的矩形,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2.(1)证明:BDEA;(2)求点D到平面ABFE的距离.(1)证明:因为平面EDCF平面ABCD,且平面EDCF平面ABCD=CD,EDDC,ED平面EDCF,所以ED平面ABCD,又BD平面ABCD,所以EDBD,在四边形ABCD中,作DMAB于M,CNAB于N,因为CDAB,AD=CD=CB=1,AB=2,所以四边形ABCD为等腰梯形,则AM=BN=12,所以DM=32,BD=DM2+BM2=3,所以AD2+BD2=AB2,所以ADBD,又EDAD=D,E
4、D平面EAD,AD平面EAD,所以BD平面EAD,又因为EA平面EAD,所以BDEA.(2)解:由(1)知ED平面ABCD,ADBD,以点D为原点,DA,DB,DE为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,因为矩形EDCF的面积为3,CD=1,所以ED=3.所以A(1,0,0),B(0,3,0),E(0,0,3),则AE=(-1,0,3),BE=(0,-3,3),DE=(0,0,3),设平面ABFE的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则nAE=-x1+3z1=0,nBE=-3y1+3z1=0,可取n=(3,1,1),设点D到平面ABFE的距离为d,则d=|DEn|n|=35=155
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