高考数学人教a版一轮复习第八章 立体几何与空间向量解答题专项四 第2课时 求空间角.docx
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1、解答题专项四立体几何中的综合问题第2课时求空间角解答题专项练1.(2022全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)证明:BDPA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.(1)证明:PD平面ABCD,BD平面ABCD,PDBD.取AB的中点E,连接DE.CD=1,BE=12AB=1,CDBE,四边形CDEB是平行四边形,DE=CB=1.DE=12AB,ABD为直角三角形,AB为斜边,BDAD.PD平面PAD,AD平面PAD,且PDAD=D,BD平面PAD.又PA平面PAD,BDPA.(2)解:由(1)知,PD,AD,
2、BD两两垂直,以点D为坐标原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,其中BD=AB2-AD2=3.则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),PD=(0,0,-3),PA=(1,0,-3),AB=(-1,3,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则PAn=0,ABn=0,即x-3z=0,-x+3y=0,取x=3,则y=z=1,则n=(3,1,1).设直线PD与平面PAB所成的角为,则sin =|cos|=|PDn|PD|n|=|-3|35=55,直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为55.2.(2022广东茂名二模)
3、如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AD=CD=BC=12AB=12AA1,E,F分别为A1D,CC1的中点.(1)证明:EF平面ABCD;(2)求平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值.(1)证明:取AA1的中点G,连接EG,FG,AC,因为EGAD,EG平面ABCD,AD平面ABCD,所以EG平面ABCD,因为AGCF,AG=CF,所以四边形AGFC是平行四边形,FGAC,又FG平面ABCD,AC平面ABCD,所以FG平面ABCD,因为FGEG=G,所以平面EFG平面ABCD,因为EF平面ABCD,所以EF平面A
4、BCD.(2)解:设CD=BC=12AA1=12AB=2,由AD=CD=BC,得DAB=ABC=60,易知ACBC,所以AC=42-22=23,由题意知CA,CB,CC1两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(23,0,0),A1(23,0,4),B(0,2,0),C1(0,0,4),D(3,-1,0),E323,-12,2,所以EC1=-323,12,2,BC1=(0,-2,4),设平面C1EB的一个法向量为n= (x,y,z),由nEC1=0,nBC1=0,得-33x+y+4z=0,y-2z=0,取z=1,得n=233,2,
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