高考数学十年真题分项汇编(2014－2023)专题10平面向量(解析版).docx

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1、十年（20142023）年高考真题分项汇编平面向量目录题型一：平面向量的概念及线性运算1题型二：平面向量的基本定理3题型三：平面向量的坐标运算9题型四：平面向量中的平行与垂直13题型五：平面向量的数量积与夹角问题14题型六：平面向量的模长问题33题型七：平面向量的综合应用38题型一：平面向量的概念及线性运算一、选择题1(2021年高考浙江卷第3题)已知非零向量，则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【答案】B解析:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B2(2020年新高考全国卷数学(海南)第3题)在中，D是AB边上的中

2、点，则=()ABCD【答案】C解析：3(2022新高考全国I卷第3题)在中，点D在边AB上，记，则()ABCD【答案】B解析：因点D在边AB上，所以，即，所以 故选：B4(2019上海第13题)已知直线方程的一个方向向量可以是()A. B C D【答案】D【解析】依题意：为直线的一个法向量， 方向向量为，选D.【点评】本题主要考查直线的方向量5(2019全国理第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm

3、，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A165cmB175cmC185cmD190cm【答案】答案：B解析：如图，则，所以身高，又，所以，身高，故，故选B二、填空题1(2020北京高考第13题)已知正方形的边长为，点满足，则_；_【答案】(1) (2) 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，故答案为：；2(2014高考数学北京理科第10题)已知向量 、满足|=1 , = (2 , 1), 且 (), 则 = 【答案】解析：， 3(2015高考数学新课标2理科第13题)设向量，不平行，向量与平行，则实数_【答案】解析：因为向

4、量与平行，所以，则所以题型二：平面向量的基本定理一、选择题1(2018年高考数学课标卷(理)第6题)在中,为边上的中线，为的中点，则()ABCD【答案】A解析：在中，为边上的中线，为的中点，故选A2(2014高考数学福建理科第8题)在下列向量组中，可以把向量表示出来的是()ABCD【答案】B解析：根据，选项A：，则，无解，故选项A不能；选项B：，则，解得，故选项B能选项C：，则，无解，故选项C不能选项D：，则，无解，故选项D不能故选：B3(2015高考数学新课标1理科第7题)设D为ABC所在平面内一点，则()ABCD【答案】A解析：由题知=，故选A4(2017年高考数学课标卷理科第12题)在矩

5、形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为()ABCD【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得所以，所以其中，所以的最大值为，故选A法二：通过点作于点，由，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线的距离为所以，所以的最大值为，故选A另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A法三：如图，建立平面直角坐标系设 根据等面积公式可得

6、圆的半径是，即圆的方程是 ，若满足即 ， ，所以，设 ，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A法四：由题意，画出右图设与切于点，连接以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为，切于点是中斜边上的高即的半径为在上点的轨迹方程为设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，两式相加得： (其中，)当且仅当，时，取得最大值3二、填空题1(2023年天津卷第14题)在中，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_；若，则的最大值为_【答案】 解析：空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即于

7、是记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值故答案：； 2(2015高考数学北京理科第13题)在中，点，满足，若，则 ； 【答案】解析：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，则，3(2017年高考数学江苏文理科第12题)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45若, 则_ A C BO(第12题) 【答案】3 解析:由可得,根据向量的分解,易得,即,即,即得,所以 题型三：平面向量的坐标运算一、选择题1(2023年北京卷第3题)已知向量满足，则()ABC0D1【答案】B解

8、析：向量满足，所以故选：B2(2023年新课标全国卷第3题)已知向量，若，则()ABCD【答案】D解析：因为，所以，由可得，即，整理得：故选：D3(2014高考数学重庆理科第4题)已知向量，且,则实数()ABCD【答案】C解析：4(2014高考数学安徽理科第10题)在平面直角坐标系中，已知向量，点满足曲线，区域，若为两段分离的曲线，则()ABCD【答案】A解析：因为 ，且 ，设 ， ，则由得 曲线C:设，则，则，表示以为圆心，为半径的圆；区域 ：设，则由，则有：，表示以 为圆心，分别以和为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，若使得是两段分离的曲线，则由图像可知：，故选A5(2016高考数学课标卷

9、理科第3题)已知向量,则()ABCD【答案】A【解析】由题意,得,所以,故选A.6(2016高考数学课标卷理科第3题)已知向量，且，则()ABCD【答案】D【解析】由可得：，所以，又所以，所以，故选D二、填空题1(2021年高考全国乙卷理科第14题)已知向量，若，则_【答案】解析：因为，所以由可得，解得故答案为：【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，注意与平面向量平行的坐标表示区分2(2020江苏高考第13题)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是_【答案】【解析】三点共线，可设，即，若且，则三点共线，即，,，设，则，根据余弦定理可得，解得，的长度为当时， ，重

10、合，此时的长度为，当时，重合，此时，不合题意，舍去故答案为：或3设向量与的夹角为，则【答案】解：设向量与的夹角为且 ，则。4(2015高考数学江苏文理第6题)已知向量，, 若(), 则的值为_【答案】解析：由题意得：5(2016高考数学课标卷理科第13题)设向量，且，则 【答案】【解析】由已知得：，解得题型四：平面向量中的平行与垂直一、选择题1(2018年高考数学北京（理）第6题) 设，均为单位向量，则“”是“的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C解析：等号两边分别平方得：，因为，所以，与等价，故选C2(2016高考数学山东理科第8题) 已知非

11、零向量满足，若，则实数的值为()A4BCD【答案】B【解析】由，可设，又，所以 所以，故选B二、填空题1(2014高考数学湖北理科第11题)设向量，若，则实数 【答案】解析：由题意得(ab)(ab)0，即a22b20，则a22b232(2018年高考数学课标卷(理)第13题)已知向量，若，则 【答案】解析：依题意可得，又，所以，解得3(2021年高考全国甲卷理科第14题) 已知向量若，则_【答案】解析：,，解得,故答案为：题型五：平面向量的数量积与夹角问题一、选择题1(2020年高考课标卷理科第6题) 已知向量a，b满足，则()ABCD【答案】D解析：，因此，故选：D【点睛】本题考查平面向量夹

12、角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题2(2022年高考全国乙卷数学（理）第3题) 已知向量满足，则()ABC1D2【答案】C解析：，又9， 故选：C3(2019全国理第3题) 已知，则()ABCD【答案】C【解析】，,，解得，即，则4(2018年高考数学天津（理）第8题) 如图，在平面四边形中，若点为边上的动点，则的最小值为()ABCD3【答案】A【基本解法1】连接，则易证明，所以所以，设，则，当时，取得最小值，最小值为【基本解法1】连接，则易证明，所以，所以，以为坐标原点，所在方向为轴正方向建立如图所示平面直角坐标系，过作轴于点则，所以，

13、设，则，当时，取得最小值，最小值为5(2018年高考数学课标卷（理）第4题) 已知向量，满足，则()A4B3C2D0【答案】B解析：，故选B6(2014高考数学天津理科第8题) 已知菱形的边长为2,点分别在边上,若,则()ABCD【答案】C解析:记,则,所以故选C7(2014高考数学上海理科第16题) 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为()A1B2C4D8【答案】A解析:在上的投影为，所以,值只有一个8(2014高考数学课标2理科第3题) 设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=()A1B2C3D5【答案】A解析：因为两

14、式相加得：所以，故选A9(2015高考数学四川理科第7题) 设四边形为平行四边形，若点满足，则()A20B15C9D6【答案】C解析：，所以，选C10(2015高考数学陕西理科第7题) 对任意向量，下列关系式中不恒成立的是()ABCD【答案】B解析：因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确故选B11(2015高考数学山东理科第4题) 已知菱形的边长为，,则()ABCD【答案】D解析：因为 故选D12(2015高考数学福建理科第9题) 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于()A13B15C19D21【答

15、案】A解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号13(2015高考数学安徽理科第8题) 是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是()ABCD【答案】D解析：如图，由题意，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D14(2017年高考数学浙江文理科第10题) 如图,已知平面四边形,与交于点记,则()ABCD【答案】C 【解析】法一: 动态研究问题:, 此时有,且, 故故选C 【解析】法二: 如图,取边中点,则,在线段上,再取,中点,则所以, ,所以 作交于,所以,而,所以, ,所以,

16、又, 所以,所以故选C 法三:余弦定理得,所以, 所以,所以 又由余弦定理得,所以 , 所以故 而, ,所以故选C 15(2017年高考数学课标卷理科第12题) 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是()ABCD【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法连接， 最小值为解法二：均值法， 由上图可知：；两边平方可得 ， ，最小值为解法三：配凑法 16(2016高考数学天津理科第7题) 已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为()ABCD【答案】B解

17、析： ，选B17(2019全国理第7题) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为()ABCD【答案】B解析：，所以，所以18(2023年全国甲卷理科第4题) 已知向量满足，且，则()ABCD【答案】D解析：因为,所以,即,即,所以如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,故选:D19(2014高考数学四川理科第7题) 平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则()A-2B-1C1D2【答案】D解析：因为，所以，又所以即解析2：由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故20(2023年全国乙卷理科第12题) 已知的半径为1，直线PA与相切于点A直线PB与交于BC两点，D为BC的中点，

18、若，则的最大值为()ABCD【答案】A解析：如图所示，则由题意可知:，由勾股定理可得 当点位于直线异侧时，设，则：，则当时，有最大值 当点位于直线同侧时，设，则：，则当时，有最大值综上可得，的最大值为故选：A二、填空题1(2020年高考课标卷理科第13题) 已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k=_【答案】解析：由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2(2020年浙江省高考数学试卷第17题) 设，为单位向量，满足，设，的夹角为，则的最小值为_【答

19、案】解析：，3(2022年高考全国甲卷数学（理）第13题) 设向量，的夹角的余弦值为，且，则_【答案】【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以故答案为：30(2021高考北京第13题) 已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为1，则 _；_【答案】 0 3解析：以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，故答案为：0；35(2019天津理第14题) 在四边形中，点在线段的延长线上，且，则 【答案】答案：解析：以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，则，因为，所以，又，可得，又，所以，所以，6(2018年高考数学上海第8题) 在平面直

20、角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 【答案】解析：设，则，最小值为解法2：取中点，则显然(当关于原点对称)所以则7(2014高考数学课标1理科第15题) 已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为_【答案】 解析:,O为线段BC中点,故BC为的直径, ,与的夹角为 8(2014高考数学江苏第12题) 如图，在平行四边形中，已知，则的值是 ABDCP【答案】22解析：解法一：(基底法)考虑将条件中涉及的向量用基底表示，而后实施计算 ，则因为，则，故解法二：(坐标法)不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标系，可设，则，由，得，由，得，则，所求 9(2015高

21、考数学天津理科第14题) 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 【答案】解析：因为， 当且仅当即时的最小值为10(2015高考数学上海理科第14题) 在锐角中，为边上的一点，与面积分别为2和4，过作于，于，则 【答案】解析：由题可知，所以，化简可得11(2015高考数学湖北理科第11题) 已知向量，则 【答案】9解析：因为，所以12(2017年高考数学天津理科第13题) 在中,若,且,则的值为_【答案】 【解析】以点为坐标原点,以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示)依题意易得 ,则可得,于是有,解得 13(2017年高考数学江苏文理科第13题) 在平面直角

22、坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是_【答案】 解析:设,由得,由,可得或,由得P点在圆左边弧上上,由限制条件,可得点P横坐标的取值范围为 14(2016高考数学浙江理科第15题) 已知向量，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 【答案】解析：由于对任意单位向量恒成立，所以，所以，即，故的最大值是15(2016高考数学上海理科第12题) 在平面直角坐标系中，已知，是曲线上一个动点，则的取值范围是 【答案】解析：由题意设，则，又所以所以的范围为16(2016高考数学江苏文理科第13题) 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，则的值是 【答案】解析：令，则，则，则，由，可得，因此，因此

23、17(2019上海第3题) 已知向量，则与的夹角为_.【答案】【解析】.故18(2019全国理第13题) 已知，为单位向量，且，若，则_【答案】【解析】因为，所以，所以，所以【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案19(2014高考数学江西理科第15题) 已知单位向量与的夹角为,且,向量与的夹角为,则=_【答案】 分析:因为所以 20(2021年高考浙江卷第17题) 已知平面向量满足记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_【答案】解析:由题意，设，则，即，又向量在方向上投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影

24、，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为故答案为21(2021年新高考全国卷第15题) 已知向量，_【答案】解析:由已知可得，因此，故答案为：题型六：平面向量的模长问题一、选择题23(2014高考数学大纲理科第4题) 若向量满足：则()A2BC1D【答案】B解析：因为，所以，即，所以，又因为，所以，故选B2(2015高考数学湖南理科第8题) 已知点，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为()A6B7C8D9【答案】B分析：由题意得，为圆的直径，故可设，的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，从而易得当时的最大值为，故选B3(2018年高考数学浙江卷第9题) 已知是平面向量，是单位向

25、量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是()ABC2D【答案】A解析：解法1：(配方法)由得，即，因此如图，则向量的终点在以为圆心，1为半径的圆上，而的终点在射线上，问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值为圆心到射线的距离减去半径即为解法2：(向量的直径圆式)由，得，所以，如图，则，即终点在以为直径的圆上，以下同解法1解法3：(绝对值性质的应用)由，得，即，因此，而由图形得，所以，所以的最小值为解法4：(坐标法)设起点均为原点，设，则的终点在射线上，由，得，即，所以向量的终点在圆上，的最小值即为求圆上一点到射线上一点的最小距离，即为二、填空题1(2023年新课标全国卷

26、第13题) 已知向量，满足，则_【答案】解析：法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即故答案为：2(2019浙江第17题) 已知正方形的边长为当每个取遍时，的最小值是 ，最大值是 【答案】0，【解析】正方形的边长为1，可得，所以，由于，2，3，4，5，取遍，取，时得，此时所求最小值为0；由中，中的一个最大值为4，另一个为2，可取，此时所求最大值为3(2014高考数学湖南理科第16题) 在平面直角坐标系中, 为原点,动点满足,则的最大值是_【答案】解析:动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则设为,则4(2017年高考数学浙江文理科第15题) 已知向量

27、,满足,则的最小值是_,最大值是_【答案】, 【解析】(几何法)本题的关键是要挖掘隐含条件:是以为邻边的平行四边形的两条对角线,故如图,是以为邻边的平行四边形的两条对角线,是以为圆心的单位圆上一动点,构造2个全等的平行四边形所以易知当三点共线时,最小,此时;当时,最大,此时 (坐标法) 设,则, 所以, 则,所以 (不等式法) 最小值:(当且仅当方向相反,即时,取“=”)最大值: (当且仅当,即时,取“=”) (转化为二元最值问题) 令原题转化为,且, 求的最值 方法1(数形结合):直线与圆弧有交点,如图可得 方法2(判别式法):化简得得,所以当然,本题用基本不等式,柯西不等式等方法都能求最值

28、 5(2017年高考数学新课标卷理科第13题) 已知向量,的夹角为,则_【答案】 【解析】法一: 所以 法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为 法三:坐标法 依题意,可设,所以 所以 6(2020年高考课标卷理科第14题)设为单位向量，且，则_【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：题型七：平面向量的综合应用一、多选题1(2021年新高考卷第10题)已知为坐标原点，点，则()ABCD【答案】AC解析:A：，所以，故，正确；B：，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，正确；D：由题意得：，错误；故选AC二、选择题1(201

29、4高考数学浙江理科第8题) 记，设为平面向量，则()ABCD【答案】D解析：对于选项A，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边=4，而不等式右边2，显然不成立由排除法可知，D选项正确故选：D三、填空题1(2019江苏第12题)如图，在中，是的中点，在边上，与交于，若，则的值是_.【答案】【解析】法1：，设，则，因为三点共线，所以，所以，所以，故，所以.法2：不妨设，以为原点，为轴正方向建系，设， ，则，则，所以点，所以，所以.法3：极化恒等式+中线定理：同解法一知：，同理可得

30、：，取中点，所以，因为，所以.由中线定理得，所以，所以.2(2014高考数学安徽理科第15题)已知两个不相等的非零向量，两组向量,和,均由2个和3个排列而成记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)有5个不同的值 若，则与无关若，则与无关若，则若，则与的夹角为【答案】解析：记,，若与中有两个向量对应，则；若与中有且只有一个向量对应，则，若与中没有向量对应，则；又因为，所以 所以说法有三个不同的值，说法错误；对于，当时，故正确；又当，与有关，故说法错误；当时，故正确；当时，所以，所以，所以，故说法错误，综上易知正确的是3(2015高考数学浙江理科第15题)已知是空间单位向量，若空间向量满足，且对于任意，则 ， ， 【答案】，解析：问题等价于当且仅当，时取到最小值1，两边平方即在，时，取到最小值1，