2024版高考数学一轮总复习第2章函数第2节函数的单调性与最值.docx

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1、第二节函数的单调性与最值考试要求：1借助函数图象，会用数学语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义2理解单调性、最值及其几何意义一、教材概念结论性质重现1单调递增、单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(2)如果x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减2增函数、减函数(1)当函数f(x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(2)当函数f(x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数1单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征任意性；有大小，

2、即x1x2)；同属于一个单调区间三者缺一不可2增、减函数定义的等价形式对于x1，x2I，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0(0(f(x)B对任意x1，x20，)，且x1x2，都有f(x1)f(x2)C对任意x1，x20，)，且x1x20，都有f(x1)f(x2)0CD解析：根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x0，都有f(x1)f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x20，)，都有f(x1)f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x20，)，且x1x20，都有f(x1)f(x2)x2，若fx1fx2x1x20

3、，必有f(x1)f(x2)0，则函数在0，)上为增函数，符合题意3函数yx26x6在区间2，4上()A单调递减B单调递增C先单调递减再单调递增 D先单调递增再单调递减C解析：画出函数yx26x6在区间2，4上图象，观察图象可知，该函数在2，3上单调递减，在3，4上单调递增4已知函数f(x)2x1，x2，6，则f(x)的最大值为_，最小值为_225解析：画出函数f(x)2x1，x2，6的图象，观察图象可知，该函数在2，6上单调递减，所以f(x)的最大值为f(2)2212，最小值为f(6)26125.5若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为_6解析：由图象易知函数f(x)|2x

4、a|的单调递增区间是a2，+.令a23，得a6.考点1确定函数的单调性(区间)基础性1函数f(x)|x23x2|的单调递增区间是()A32，+B1，32和2，)C(，1和32，2D，32和2，)B解析：y|x23x2|x23x+2，x1或x2，x2+3x2，1x2.如图所示，所以函数f(x)的单调递增区间是1，32和2，)2若函数f(x)ax1在R上单调递减，则函数g(x)a(x24x3)的单调递增区间是()A(2，)B(，2)C(4，)D(，4)B解析：因为f(x)ax1在R上单调递减，所以a0. 而g(x)a(x24x3)a(x2)2a. 因为a0，解得x4或x2，所以(4，)为函数yx2

5、2x8的单调递增区间根据复合函数的单调性可知，函数f(x)ln (x22x8)的单调递增区间为(4，)4试讨论函数f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性解：(方法一：定义法)设x1，x2(1，1)且x1x2，f(x)ax1+1x1a1+1x1，则f(x1)f(x2)a1+1x11a1+1x21ax2x1x11x21.因为1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上单调递增1解决这

6、类问题要优先考虑用函数图象法解决，二是可以利用定义法判断，也可以利用导函数与函数单调性的关系求解2有些题目，如第3题还可以利用复合函数的单调性求解考点2求函数的最值(值域)综合性(1)若函数f(x)x22xm在3，)上的最小值为1，则实数m的值为()A3B2C1D1B解析：因为f(x)(x1)2m1在3，)上单调递增，且f(x)在3，)上的最小值为1，所以f(3)1，即22m11，m2.故选B.(2)函数yx21x2+1的值域为_1，1)解析：由yx21x2+1，可得x21+y1y.由x20，知1+y1y0，解得1yf(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2

7、)f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)(2)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立设af12，bf(2)，cf(e)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacb DbacD解析：因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以f12f52.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为1252e，所以f(2)f52f(e)，所以bac.利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较对于选择

8、题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解考向2解函数不等式(1)已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f13的x的取值范围是()A13，23B13，23C12，23D12，23D解析：因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，且f(2x1)f13，所以02x113，解得12x23.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x1x2时，有f(x1)f(x2)(x1x2)0，则x的取值范围是_(，1)解析：根据已知条件，当x1x2时，有f(x1)f(x2)(x1x2)0等价于f(3x1)f(2)f(2)，所以3x12，即x1.解函数不等式的

9、方法1若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f(x1)f(x2)x1x2)2在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行3若不等式一边没有“f”，而是常数，应将常数转化为函数值考向3利用函数的单调性求参数(范围)(1)若f(x)x+a1x+2在区间(2，)上单调递增，则实数a的取值范围是_(，3)解析：f(x)x+a1x+2x+2+a3x+21a3x+2，要使函数f(x)在区间(2，)上单调递增，需使a30，解得a3.(2)若函数f(x)2x+1，x0，mx+m1，x0在(，)上单调递增，则实数m的

10、取值范围是_(0，3解析：由题意知m0， m120+1，解得0m3.利用函数的单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小1已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是()A(，1 B(，1C1，) D1，)A解析：f(x)x+a，xa，xa，xa，由题意知a1，即a1.故选A.2已知函数f(x)x24ax+2，x1，ax，x1， 对于任意两个不相等实数x1，x2，都有fx1fx2x1x2

11、0成立，则实数a的取值范围是()A0，12B12，35C0，35D12，1B解析：因为对于任意的两个不相等实数x1，x2都有fx1fx2x1x20成立，所以函数f(x)是R上的减函数，所以2a1， 0a0恒成立，试求实数a的取值范围解：(1)当a12时，f(x)x12x2，任取1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)12x112x2x1x22x1x212x1x2.因为1x11，所以2x1x210.又x1x20，所以f(x1)0恒成立，所以x2+2x+a0，x1 ax2+2x，x1. 等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值因为(x)(x1)21在1，)上单调递减，所以当x1时

12、，(x)取最大值为(1)3，所以a3.故实数a的取值范围是(3，)课时质量评价(七)A组全考点巩固练1函数f(x)1x1在区间3，7上的最大值是M，最小值是N，则MN()A13B12C3D2C解析：f(x)在3，7上单调递减，故最大值为f(3)12，最小值为f(7)16，则MN3.故选C.2已知f(x)是定义在0，1上的函数，那么“函数f(x)在0，1上单调递增”是“函数f(x)在0，1上的最大值为f(1)”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A解析：若函数f(x)在0，1上单调递增，则f(x)在0，1上的最大值为f(1)若f(x)在0，1上的最大值为f(

13、1)，比如f(x)x132，但f(x)x132在0，13上单调递减，在13，1上单调递增，故f(x)在0，1上的最大值为f(1)推不出f(x)在0，1上单调递增，故“函数f(x)在0，1上单调递增”是“f(x)在0，1上的最大值为f(1)”的充分不必要条件故选A.3(2023日照模拟)已知函数f(x)exx1，若a(1，0)，则f(a)，f(2a)，f2(a)的大小关系为()Af(2a)f(a)f2(a)Bf(2a)f2(a)f(a)Cf2(a)f(2a)f(a)Df2(a)f(a)f(2a)D解析：显然f(x)在R上是增函数，且f(0)0，当a(1，0)时，2aa0，所以f(2a)f(a)0

14、，从而f2(a)f(a)f(2a)故选D.4定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x2)，且在1，0上单调递减设af(2)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是()AbcaBabcCbacDacbC解析：因为偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则af(2)f(22)，bf(2)f(0)，cf(3)f(1)因为1220，且函数f(x)在1，0上单调递减，所以ba0的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是()A1，2B1，0C1，2D0，2D解析：当x0时，f(x)x1xa2a，当且仅当x1x，即x1时，等号成立，故当x1时取得最小值2a.因为f(0)

15、是函数f(x)的最小值，所以当x0时，f(x)(xa)2单调递减，故a0，此时的最小值为f(0)a2，所以2aa2，解得1a2.又a0，可得0a2.故选D.6已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上不具有单调性，则实数a的取值范围为_(1，2)解析：函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，函数在(，a和a，)上都分别具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1，2上不具有单调性，只需1a4. 若函数f(x)在区间(a, a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_(，14，)解析：作出函数f(x)的图象如图所示由图象可知，若f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a

16、1或a4.9已知函数f(x)x2x3.(1)试判断f(x)在1，2上的单调性；(2)求函数f(x)在1，2上的最值解：(1)任取x1，x21，2，且x1x2，则f(x2)f(x1)x22x23x12x13x22x13x12x23x23x13x2x1x1x23x1+x2x23x13x2x1x13x239x23x13.因为x1，x21，2，所以2x231，2x131，所以1(x23)(x13)4，所以(x13)(x23)90，(x23)(x13)0，所以x2x1x13x239x23x130，即f(x2)0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)1，解关于

17、x的不等式f(x22x)f(1x)4.解：(1)令xy0，得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4，得f(x2x1)f(3)又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1.故原不等式的解集为x|x1B组新高考培优练11已知函数f(x)x3，x0， lnx+1，x0，若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1，2) D(2，1)D解析：因为当x

18、0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线因为当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln (x1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1.12(多选题)已知函数f(x)x1+x2，x(，0)(0，)，则下列等式成立的是()Af(x)f1xBf(x)f1xC1fxf1xDf(x)f(x)AD解析：因为f(x)x1+x2，所以f1x1x1+1x2x1+x2，所以f(x)f1x.又f(x)x1+x2x1+x2f(x)，所以f(x)f(x)故AD正确，BC错误13(多选题)若函数f

19、(x)x2a2 x+8，x1，ax，x1 为R上的减函数，则实数a的取值可能为()A4B5 C6D7ABC解析：因为函数f(x)x2a2 x+8，x1，ax，x1 为R上的减函数，所以1a4， a0， 9a2a，解得4a6.故选ABC.14高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，例如：3.54，2.12.已知函数f(x)ex1+ex12，则函数yf(x)的值域是_1，0解析：f(x)1+ex11+ex12111+ex121211+ex，因为1

20、ex1，所以011+ex1，所以111+ex0，121211+ex12，即f(x)12，12，所以f(x)1，015判断并证明函数f(x)ax21x(其中1a3)在x1，2上的单调性解：f(x)ax21x(1a3)在1，2上单调递增证明如下：任取1x1x22，则f(x2)f(x1)ax22+1x2ax12+1x1(x2x1)ax1+x21x1x2.由1x1x22，得x2x10，2x1x24，1x1x24，11x1x214.又1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)1x1x20，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1，3)时，函数f(x)在1，2上单调递增16(

21、2022烟台模拟)已知0mn，若函数f(x)在xm，n上的值域是km，kn，则称f(x)是第k类函数(1)若f(x)11x是第k类函数，求k的取值范围；(2)若f(x)4xx2是第2类函数，求m，n的值解：(1)因为f(x)11x在xm，n，0mn上是增函数，且函数f(x)在xm，n上的值域是km，kn，所以11m=km，11n=kn，即1m1m2=k，1n 1n2=k，所以直线yk与函数yx2x(x0)的图象有两个交点因为yx2xx12214(x0)在0，12上单调递增，在12，+上单调递减，将x0代入yx2x得y0，将x12代入yx2x得y14，所以直线yk与函数yx2x(x0)的图象有两

22、个交点，只需0k14，所以k的取值范围是0，14.(2)因为f(x)4xx2(x2)24，当0mn2时，f(x)在xm，n上单调递增，因为f(x)4xx2是第2类函数，所以fm=4mm2=2m，fn=4nn2=2n，即m22m=0，n22n=0，因为0mn2，所以m0，n2，当2mn时，f(x)在xm，n上单调递减，因为f(x)4xx2是第2类函数，所以fm=4mm2=2n，fn=4nn2=2m，则4mm2(4nn2)2n2m，整理得mn6，即m6n.将m6n代入4nn22m，得n26n120，因为364120，所以n没有实数解，当0m2n时，当xm，n，f(x)maxf(2)4，因为f(x)4xx2是第2类函数，所以2n4，解得n2(舍去)综上所述，m0，n2.