2024版高考数学一轮总复习第1章预备知识第5节一元二次不等式及其解法.docx

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1、第五节一元二次不等式及其解法考试要求：1会判断一元二次方程实根的存在及实根的个数，了解函数零点与方程根的关系2能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集一、教材概念结论性质重现1一元二次不等式一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一般形式是ax2bxc0或ax2bxc0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(0对任意实数x恒成立a=b=0，c0 或a0，0.(2)不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立a=b=0，c0 或a0，0.二

2、、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)不等式x2x+10的解集为1，2.()(2)若不等式ax2bxc0.()(3)若方程ax2bxc0(a0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()2已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A2，1B1，2) C1，1D1，2)A解析：Ax|x22x30x|x3或x1，Bx|2x0， 1m24m20，解得m13.5若不等式ax2bx20的解集为x12x13，则ab_14解析：依题意12，13是方程 ax2bx20的两个根由根与系数的关系得12+13=ba，1213=2a

3、，解得a12，b2，所以ab14.考点1一元二次不等式的解法综合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)函数y7+6xx2的定义域是_1，7解析：要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1，7.(2)解不等式：0x2x24.解：原不等式等价于x2x20，x2x24x2x20，x2x60x2x+10，x3x+20x2或x1，2x3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法解不等式x2(a1)xa0.解：原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a

4、1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a，1)将本例中不等式改为ax2xa0，求不等式的解集解：a0时，原不等式即为x0.14a20，即12a0或0a12时，令ax2xa0，解得x11+14a22a，x2114a22a.当12a0时，x1x2，原不等式解集为x|xx2当0ax2，原不等式解集为x|x2xx114a212或a12时，原不等式解集为.当a12时，原不等式解集为R.14a20，即a12时当a12时，原不等式解集为.当a12时，原不等式解集为x|x1综上所述：a12时，原不等式解集为R，a12时，原不等式解集为x|x1，12a0时，原不等式解集为xx114a22a，a0时

5、，原不等式解集为x|x0，0a12时，原不等式解集为x114a22ax1+14a22a，a12时，原不等式解集为. 解含参数一元二次不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述1设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_1，23解析：3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1x23，故使不等式成立的x的取值范围为1，23.2已知函数f(x)3，x12，1x，x12，则不等式x2f(x)x20的解集是_x|1x1解析：原不等式等价于x12， 3x2+x20或x12， x21x +x20，即x12，1x23或x12，x1，所以1xa2.解：因为12x2axa2，所以12x2a

6、xa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1a4，x2a3.当a0时，a4a3，原不等式的解集为xxa3当a0时，x20，原不等式的解集为x|x0当aa3，原不等式的解集为xxa4综上所述，当a0时，不等式的解集为xxa3；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a0时，不等式的解集为xxa4考点2一元二次方程与一元二次不等式基础性1(2022济南模拟)已知不等式ax25xb0的解集为xx12，则不等式bx25xa0的解集为()Ax13x12Bxx12Cx|3x2Dx|x2C解析：由题意知a0，且12，13是方程ax25xb0的两根，所以13+12=5a，1312=ba，

7、解得a=30，b=5，所以不等式bx25xa5x25x300，即x2x60，解得3x0的解集是x12x13，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x3 Bx|x2或x3Cx13x12Dxx12B解析：因为不等式ax2bx10的解集是12x13，所以ax2bx10的解是x112和x213，且a0，所以1213=ba， 1213=1a，解得a=6，b=5. 则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.所以不等式x2bxa0的解集是x|x2或x33若关于x的不等式axb0的解集是()A(，1)(3，) B(1, 3)C(1，3) D(， 1)(3，)C解析：由关于x的不等式axb0的解集

8、是(1，)，可知ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3.所以不等式的解集是(1, 3)1一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值2给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数考点3一元二次不等式的恒成立问题应用性考向1在实数集R上的恒成立问题若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2，2C(2，2D(，2)C解析：当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则a20， =4a22+16a20，即a20，a24， 解得2a0(a0)

9、对xR恒成立的充要条件是a0， b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)对xR恒成立的充要条件是a0， b24ac0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x) mina，即ma；f(x)a恒成立f(x) mina，即na.函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当xR时，x2ax3a0恒成立则a24(3a)0，即a24a120，解得6a2.所以实数a的取值范围是6，2.(2)

10、对于任意x2，2，f(x)a恒成立，即x2ax3a0对任意x2，2恒成立令g(x)x2ax3a，则有0或0， a22， g2=73a0或0， a22， g2=7+a0.解得6a2，解得a，解得7a6.综上可知，实数a的取值范围为7，2.课时质量评价(五)A组全考点巩固练1(2022菏泽一中月考)已知集合A(1，3，Bxx+2x10，则AB()A2，1)B(1，1C(1，1)D2，3C解析：A(1，3，Bx|2x2axa对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()A(1，4) B(4，1)C(，4)(1，) D(，1)(4，)B解析：不等式 x24x2axa在R上恒成立，即(2a4)24a4a2

11、20a160，所以4a1.3(2023济南模拟)已知不等式ax2bx20的解集为x|1x2，则不等式ax2(b1)x30的解集为()ARBCx|1x3Dx|x1或x3D解析：因为不等式ax2bx20的解集为x|1x2，所以1，2是方程ax2bx20的两根，故1+2=ba，12=2a，解得a1，b1，则不等式ax2(b1)x3x22x30的解集为x|x3或x1故选D.4(多选题)已知关于x的不等式kx22x6k0(k0)，则下列说法正确的是()A若不等式的解集为x|x3或x2，则k25B若不等式的解集为xxR，x1k，则k66C若不等式的解集为R，则k66D若不等式的解集为，则k66ACD解析：

12、对于A，因为不等式的解集为x|x3或x2，所以k0，且3与2是方程kx22x6k0的两根，所以(3)(2)2k，解得k25，故A正确；对于B，因为不等式的解集为xxR，x1k，所以k0， =424k2=0，解得k66，故B错误；对于C，由题意，得k0， =424k20， =424k20，解得k66，故D正确5不等式2x+1x51的解集为_xx43或x5解析：将原不等式移项通分得3x4x50，等价于(3x4)x50，x50. 解得x43或x5.所以原不等式的解集为xx43或x5.6已知不等式ax2bx10的解集是12，13，则不等式x2bxa0的解集为_(2，3)解析：由题意知12，13是方程a

13、x2bx10的两根所以，由根与系数的关系得12+13=ba，1213=1a，解得a=6，b=5. 所以不等式x2bxa0，即为x25x60，易得解集为(2，3)7甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是1005x+13x元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？求最大利润解：(1)根据题意得2005x+13x3 000，整理得5x143x0，即5x214x30.又1x10，可解得3x10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元， x的

14、取值范围是3, 10.(2)设利润为y元，则y900x1005x+13x91045+1x3x2910431x162+6112，故x6时， ymax457 500元，即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元B组新高考培优练8已知R是实数集，集合Ax|x2x20，Bxx62x10，则A(RB)()A(1，6)B1，2C12，2D12，2C解析：由x2x20，可得Ax|1x2由x62x10，得(x6)2x10，2x10， 所以Bxx12或x6，所以RBx12x6，所以A(RB)x12x2.故选C.9(2023青岛质检)已知函数f(x)ax2bxc(a

15、c0)，若f(x)0的解集为(1，m)，则下列说法正确的是()Af(m1)0Cf(m1)必与m同号 Df(m1)必与m异号D解析：因为f(x)0.所以f(x)a(x1)(xm)所以f(m1)am与m必异号故选D.10某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价的方法来增加利润已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价应定为()A12元 B16元C12元到16元之间 D10元到14元之间C解析：设销售价定为每件x元，利润为y元，则y(x8)10010(x10)，由题意得(x8)10010(x10)

16、320，即x228x1920，解得12x16.所以每件销售价应为12元到16元之间故选C.11已知a0，且a1，函数f(x)loga2x2+1，x0，ax，x0. 若f(f(1)2，则a_，f(x)4的解集为_2，62解析：由题可知，f(f(1)f(a-1)loga2a2+12，则a22a21，即a4a220，解得a22，故a2.当x0时，f(x)log2(2x2+1)4，解得0x62；当x0时，f(x)(2)x4恒成立故不等式的解集为，62.12已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_9解析：由题意知f(x)x2axbx+a22ba24.因为f(x)的值域为0，)，所以ba240，即ba24.所以f(x)x+a22.又f(x)c，所以x+a22c，即a2cxa2+c.所以a2c=m，a2+c=m+6.，得2c6，所以c9.13解不等式ax2(a1)x10(xR)解：若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于x1a(x1)0.当a1时，1a1，x1a(x1)1时，1a1，解x1a(x1)0得1ax1.当0a1，解x1a(x1)0得1x1a.综上所述：当a0时，解集为xx1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x1x1时，解集为x1ax1.