2024版高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练46直线与圆锥曲线的位置关系北师大版.docx

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1、课时规范练46基础巩固组1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点答案:C解析:直线y=kx-k=k(x-1),直线过定点(1,0).当k=0时,直线y=0与抛物线有一个公共点,即顶点;当k0时,点(1,0)在x轴正半轴上,所以直线与抛物线有两个公共点.综上所述,直线与抛物线有一个或两个公共点.故选C.2.(2023海南嘉积中学模拟)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A,B两点,则|AB|等于()A

2、.247B.127C.1227D.837答案:A解析:设直线AB方程为y=x-1,代入椭圆方程x24+y23=1,整理可得7x2-8x-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=87,x1x2=-87,根据弦长公式有AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=247.3.(2023安徽合肥模拟)已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,线段AB的中点为(4,2),则l的方程为()A.x-y-2=0B.2x-y-6=0C.x+y-6=0D.x-2y=0答案:A解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4.若直线lx轴,则线段AB

3、的中点在x轴上,不符合题意,则直线l的斜率存在,由已知y12=4x1,y22=4x2,两式作差可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),所以直线l的斜率为y1-y2x1-x2=4y1+y2=1,因此直线l的方程为y-2=x-4,即x-y-2=0.4.(2023天津西青高三检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-4,-7),则E的方程为()A.x25y24=1B.x24y25=1C.11x23611y263=1D.11x26311y236=1答案:C解析:直线l的方程为y=0-(-7)3-(-4)(x-3),即y=x

4、-3.设双曲线E的方程为x2a2y2b2=1(a0,b0),由y=x-3,x2a2-y2b2=1,消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0,=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)0.因为弦AB的中点为N(-4,-7),所以-3a2b2-a2=-4,即a2=47b2.又a2+b2=9,解得a2=3611,b2=6311,满足0,所以双曲线E的方程为x23611y26311=1,即11x23611y263=1.5.已知双曲线x2-y23=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=9x上,则实数m的值为()A.4B

5、.-4C.0或4D.0或-4答案:D解析:M,N关于y=x+m对称,直线MN的斜率为-1.设MN的中点P(x0,x0+m),直线MN:y=-x+b,点P在MN上,x0+m=-x0+b,b=2x0+m.由y=-x+b,x2-y23=1,消元可得2x2+2bx-b2-3=0,=4b2-42(-b2-3)=12b2+240恒成立,设M(xM,yM),N(xN,yN),xM+xN=-b,x0=-b2,b=m2,MN的中点P-m4,34m.MN的中点在抛物线y2=9x上,916m2=-9m4,m=0或m=-4.6.(2022山东济南三模)已知抛物线y2=2px(p0),若过点(1,2)的直线l与抛物线恒

6、有公共点,则p的值可以是.(写出一个符合题意的答案即可)答案:3(答案不唯一)解析:若过点(1,2)的直线l与抛物线恒有公共点,则当x=1时,y=2p2,解得p2.7.已知椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍,过左焦点F作倾斜角为45的直线交T于A,B两点,若|AB|=825,则椭圆T的方程为.答案:x28+y22=1解析:a=2b,则c=3b,椭圆T:x24b2+y2b2=1,左焦点F(-3b,0).设直线AB的方程为y=x+3b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程y=x+3b,x24b2+y2b2=1,消去y得5x2+83bx+8b2=0,x1+x2=-

7、835b,x1x2=8b25,|AB|=2(-835b)2-32b25=825,可得b2=2.椭圆T:x28+y22=1.8.已知斜率为1的直线l与双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)相交于B,D两点,且BD的中点为M(1,3),则C的离心率是.答案:2解析:设B(x1,y1),D(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式作差可得x12-x22a2=y12-y22b2,即(x1-x2)(x1+x2)a2=(y1-y2)(y1+y2)b2.因为M(1,3)为BD中点,所以x1+x2=2,y1+y2=6.又直线BD斜率为1,所以y1-y2x1-x2=1,

8、代入可得,b2a2=3,所以C的离心率e=1+b2a2=2.9.过双曲线x2-y23=1的左焦点F,作倾斜角为6的直线l.(1)求证:l与双曲线有两个不同的交点A,B;(2)求线段AB的中点M的坐标和|AB|.(1)证明:由双曲线方程知F(-2,0),则l:y=33(x+2).由y=33(x+2),x2-y23=1,得8x2-4x-13=0,则=16-32(-13)0,l与双曲线有两个不同的交点A,B.(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),由(1)得x1+x2=12,x1x2=-138,xM=x1+x22=14,yM=3314+2=334,M14,334,|AB|=

9、1+13(x1+x2)2-4x1x2=23314+132=3.10.(2023陕西宝鸡中学高三检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=2x+a与抛物线C交于A,B两点.(1)若a=-1,求FAB的面积;(2)若抛物线C上存在两个不同的点M,N关于直线l对称,求实数a的取值范围.解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当a=-1时,直线l:y=2x-1,联立y=2x-1,y2=4x,可得x2-2x+14=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=14.|AB|=1+4(x1+x2)2-4x1x2=54-1=15.点F到直线l的距离d=|21-

10、0-1|22+1=55,FAB的面积S=12|AB|d=121555=32.(2)点M,N关于直线l对称,直线MN的斜率为-12,可设直线MN的方程为y=-12x+m,联立y=-12x+m,y2=4x,整理可得x2-(4m+16)x+4m2=0,由=(4m+16)2-16m20,可得m-2.设M(x3,y3),N(x4,y4),则x3+x4=4m+16,y3+y4=-12(x3+x4)+2m=-8,故MN的中点为(2m+8,-4).点M,N关于直线l对称,MN的中点(2m+8,-4)在直线y=2x+a上,-4=2(2m+8)+a,得a=-4m-20.m-2,a0,b0)的离心率为2,直线l与C

11、交于P,Q两点,D为线段PQ的中点,O为坐标原点,则l与OD的斜率的乘积为()A.2B.3C.4D.6答案:B解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2),D(x0,y0),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式作差,并化简得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y1-y2)(y1+y2)b2,所以b2a2=y1+y2x1+x2y1-y2x1-x2.因为D为线段PQ的中点,所以x0=x1+x22,y0=y1+y22,所以c2-a2a2=2y02x0y1-y2x1-x2,即e2-1=klkOD.由e=2,得klkOD=3.12.椭圆x24+y2=1,则该椭圆所有斜率为12的弦

12、的中点的轨迹方程为.答案:y=-x2(-2x2)解析:设斜率为12的直线方程为y=12x+b,与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点坐标为(x,y),则y2-y1x1-x2=-12,x1+x22=x,y2+y12=y,所以x124+y12=1,x224+y22=1,两式相减可得(x1-x2)(x1+x2)4=(y2-y1)(y2+y1),x1+x24=y2-y1x1-x2(y2+y1),即y=-x2.因为弦中点在椭圆内部,联立x24+y2=1,y=12x+b,得x22+bx+b2-1=0,所以当=b2-2(b2-1)=0,即b=2时,直线与椭圆相切,此时由x222x+1

13、=0,解得x=2或x=-2,所以弦中点的横坐标满足-2x2.故弦中点的轨迹方程为y=-x2(-2xb0)过点1,62,直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M,O为坐标原点,直线OM的斜率为-0.5.(1)求椭圆C的标准方程.(2)当m=1时,椭圆C上是否存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称?若存在,求出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则Mx1+x22,y1+y22,即kOM=y1+y2x1+x2=-12.因为A,B在椭圆C上,所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1

14、-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,又kAB=y1-y2x1-x2=1,所以1a212b2=0,即a2=2b2.又因为椭圆C过点1,62,所以1a2+32b2=1,解得a2=4,b2=2.所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.(2)不存在.理由如下,由题意可知,直线l的方程为y=x+1.假设椭圆C上存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称,设P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中点为N(x0,y0),所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0.因为P,Q关于直线l对称,所以kPQ=-1,且点N在直线l上,即y0=x0+1.又因为P,Q在椭圆C上,所以x324+y322

15、=1,x424+y422=1,两式相减得(x3+x4)(x3-x4)4+(y3+y4)(y3-y4)2=0,所以x3+x44=y3+y42,即x0=2y0.联立x0=2y0,y0=x0+1,解得x0=-2,y0=-1,即N(-2,-1).又因为(-2)24+(-1)221,即点N在椭圆C外,这与N是弦PQ的中点矛盾,所以椭圆C上不存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称.创新应用组14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与直线x+2y-2=0交于A,B两点,|AB|=5,且AB的中点坐标为m,12,则此椭圆的方程为.答案:x24+y2=1解析:由于AB的中点坐标为m,12,且满足直线方程

16、x+2y-2=0,即有m+212-2=0,解得m=1,则AB的中点坐标为1,12.设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+2y-2=0,x2a2+y2b2=1,得(a2+4b2)x2-4a2x+4a2-4a2b2=0,则x1+x2=4a2a2+4b2,x1x2=4a2-4a2b2a2+4b2.AB的中点坐标为1,12,x1+x22=1,即x1+x2=2,则4a2a2+4b2=2,即a2=4b2,故x1x2=4a2-4a2b2a2+4b2=2-2b2.又|AB|=1+(-12)2(x1+x2)2-4x1x2=1+(-12)222-4(2-2b2)=5,b2=1,故a2=4b2=4.椭圆的方程为x24+y2=1.