2024版高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形课时规范练25解三角形的实际应用.docx

《2024版高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形课时规范练25解三角形的实际应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024版高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形课时规范练25解三角形的实际应用.docx（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、课时规范练25基础巩固组1.(2023山西临汾高三月考)某地对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得A=23,C=120,AC=603米,则A,B间的直线距离约为(参考数据sin 370.6)()A.60米B.120米C.150米D.300米答案:C解析:由题设,B=180-A-C=37,在ABC中,ACsinB=ABsinC,即603sin37=AB32,所以AB=90sin37150米.故选C.2.如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图,为测量大跳台最高点P距地面的距离,小明同学在A点测得P的仰角为30,ABO=120,BAO=30,AB=60(单位:

2、m)(点A,B,O在同一水平地面上),则大跳台最高高度OP=()A.45 mB.452 mC.60 mD.603 m答案:C解析:在ABO中,ABO=120,BAO=30,所以AOB=30,又AB=60,由正弦定理,得ABsinAOB=AOsinABO,AO=ABsinABOsinAOB=603212=603.在RtAPO中,tan30=OPAO=OP603=33,所以OP=60m.故选C.3.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我国海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在北偏东45,距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿南偏东75的方向,以9海里/时的速度向小岛靠拢,我国海军舰艇立即以21海里

3、/时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为()A.12小时B.23小时C.34小时D.1小时答案:B解析:如图,设舰艇在B处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB=21t,CB=9t.在ABC中,根据余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120,可得212t2=102+81t2+2109t12,整理得360t2-90t-100=0,解得t=23或t=-512(舍去),故舰艇靠近渔轮所需的时间为23小时,故选B.4.(2023四川绵阳高三月考)甲船在A处,乙船在甲船北偏东60方向的B处,甲船沿北偏东方向匀速行驶,乙船沿正北方向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的3倍,为使甲船与乙船

4、能在某时刻相遇,则()A.1530B.=30C.3045D.=45答案:B解析:如图所示,设在点C处相遇,设BC=x,则AC=3x,由题知ABC=120,由正弦定理,得xsin(60-)=3xsin120,解得sin(60-)=12.因为060-AC,故CDA为锐角,所以CDA=60,故C不正确,D正确.故选ABD.6.(多选)(2023安徽池州高三月考)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向,再往正东方向行驶30海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60方向,则下列结论正确的是()A.CAD=60B.A,D之间的距离为

5、152海里C.A,B两处岛屿间的距离为156海里D.B,D之间的距离为303海里答案:BC解析:由题意可知CD=30,ADC=90+15=105,BDC=45,BCD=90,ACD=90-BCA=90-60=30,所以CAD=180-ADC-ACD=180-105-30=4560,故A错误;ADB=15+45=60,在ACD中,由正弦定理,得ADsin30=30sin45,得AD=30sin30sin45=152(海里),故B正确;在RtBCD中,因为BDC=45,BCD=90,所以BD=2CD=302303(海里),故D错误;在ABD中,由余弦定理,得AB=AD2+BD2-2ADBDcosA

6、DB=450+1800-215230212=156(海里),故C正确.故选BC.7.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的119倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则sinBAC等于.答案:513解析:依题意,设乙的速度为xm/s,则甲的速度为119xm/s,因为AB=1040m,BC=500m,所以ACx=1040+500119x,解得AC=1260.在ABC中,由余弦定理

7、,得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=10402+12602-5002210401260=1213,所以sinBAC=1-cos2BAC=1-(1213)2=513.8.(2023辽宁营口高三月考)“鲅鱼公主”形象源于一个古老的传说,寓意深刻,美丽动人,象征和平,鲅鱼圈也因此得名,享誉中外.“鲅鱼公主”雕塑作为渤海明珠景区的重要组成部分,东与望儿山翘首相望、北与鱼跃龙腾雕塑交相辉映,是山海文化、鱼龙文化相互交融的经典力作,是鲅鱼圈的标志性建筑.高中生李明与同学进行研究性学习,为确定“鲅鱼公主”雕塑的高MN,选择点A和附近一楼顶C作为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C

8、点的仰角CAB=45,MAC=75,从C点测得MCA=60,已知楼高BC=40 m,则“鲅鱼公主”雕塑的高MN= m.答案:60解析:由题意可知CBAB,MNAN,由于BC=40m,CAB=45,故AC=2BC=402m,又因为MAC=75,MCA=60,所以CMA=180-MCA-MAC=180-60-75=45,MA=sinMCAACsinCMA=sin60402sin45=403m,又因为MAN=60,故MN=MAsinMAN=40332=60m.综合提升组9.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标

9、杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬至正午太阳高度角(即ABC)约为32.5,夏至正午太阳高度角(即ADC)约为79.5,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为14米,则表高(即AC的长)约为()其中tan 32.535,tan 79.5275A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米答案:C解析:由题可知BAD=79.5-32.5=47,BD=14,在BAD中,由正弦定理,得BDsinBAD=ADsinABD,

10、即14sin47=ADsin32.5,则AD=14sin32.5sin47.又在ACD中,ACAD=sinADC=sin79.5,所以AC=14sin32.5sin79.5sin47=14sin32.5sin79.5sin(79.5-32.5)=14sin32.5sin79.5sin79.5cos32.5-cos79.5sin32.5=1411tan32.5-1tan79.514153-527=9.45.10.(2022山东济南三模)如图,某市拟建造一个扇形体育公园,其中AOB=3,OA=OB=2千米.现需要在OA,OB,AB上分别取一点D,E,F,建造三条健走长廊DE,DF,EF,若DFOA

11、,EFOB,则DE+EF+FD的最大值为千米.答案:2+3解析:因为在四边形DOEF中,AOB=3,FDO=2,FEO=2,所以DFE=23.在DEF中,由余弦定理,得DE2=DF2+EF2-2DFEFcos23,即DE2=DF2+EF2+DFEF,DE2=(DF+EF)2-DFEF,DFEF=(DF+EF)2-DE2(DF+EF)24,当且仅当DF=EF=1时取等号,DE2=DF2+EF2-2DFEFcosDFE=1+1-211-12=3,DE=3,即DF+EF233DE,DF+EF+DE233DE+DE=2+3.创新应用组11.(2022北京朝阳一模)某地进行老旧小区改造,有半径为60米,

12、圆心角为3的一块扇形空置地(如图),现欲从中规划出一块三角形绿地PQR,其中P在BC上,PQAB,垂足为Q,PRAC,垂足为R,设PAB=0,3,则PQ=(用表示);当P在BC上运动时,这块三角形绿地的最大面积是.答案:60sin 米2253平方米解析:在RtPAQ中,PAB=0,3,AP=60米,PQ=APsin=60sin(米).在RtPAR中,可得PR=60sin3-,由题可知QPR=23,PQR的面积为SPQR=12PQPRsinQPR=1260sin60sin3-sin23=9003sinsin3-=450332sin2+12cos2-12=4503sin2+6-12,又0,3,2+66,56,当2+6=2,即=6时,PQR的面积有最大值2253平方米,即三角形绿地的最大面积是2253平方米.