2024版高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练15导数的概念运算及几何意义北师大版.docx

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1、课时规范练15基础巩固组1.(2023上海青浦模拟)已知f(x)=ax2+b的图象开口向上,limx0f(a+x)-f(a)x=4,则a=()A.2B.-2C.2D.-2答案:A解析:由f(x)=ax2+b,得f(x)=2ax(a0),因为limx0f(a+x)-f(a)x=4,所以f(a)=4,即2a2=4,解得a=2或a=-2(舍去).2.(多选)(2023湖南娄底高三检测)下列求导运算错误的是()A.1x+2=1(x+2)2B.(cos x)=sin xC.(2ln x)=1xD.(xln x)=ln x+1答案:ABC解析:对于选项A,1x+2=0(x+2)-(x+2)1(x+2)2=

2、0-1(x+2)2=-1(x+2)2,故A错误;对于选项B,(cosx)=-sinx,故B错误;对于选项C,(2lnx)=2x,故C错误;对于选项D,(xlnx)=lnx+1,故D正确.故选ABC.3.(2022广东广州一模)曲线y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为()A.y=3x+3B.y=3x+1C.y=-3x-1D.y=-3x-3答案:A解析:因为y=f(x)=x3+1,所以f(x)=3x2,所以f(-1)=3,又当x=-1时,a=x3+1=-1+1=0,所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.4.(2023广东珠海高三检测)吹气球时,气球的

3、体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是V=43r3.当V=43 L时,气球的瞬时膨胀率为()A.14 dm/LB.13 dm/LC.3 L/dmD.4 L/dm答案:A解析:因为V=43r3,所以r=334V,所以r=341313V-23,所以当V=43时,r=34131343-23=3413133423=1334=14dm/L,故瞬间膨胀率为14dm/L.5.若f(x)=x2e1-mx+mx,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为2,则m=()A.1B.2或1C.-1或2D.2答案:B解析:f(x)=2xe1-mx+x2e1-mx(-m)+m=2xe1-mx-mx2

4、e1-mx+m,根据导数的几何意义可得f(1)=2e1-m-me1-m+m=2,所以(e1-m-1)(2-m)=0,所以e1-m-1=0或2-m=0,所以m=1或m=2.6.(2023湖北襄阳模拟)过点P(1,2)作曲线C:y=4x的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-8=0B.2x+y+4=0C.2x+y-4=0D.x+2y-4=0答案:A解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),y=-4x2,所以在A点处的切线方程为y-y1=-4x12(x-x1),将P(1,2)代入得2-y1=-4x12(1-x1),因为y1=4x1,化简得2x1+y1-8=0,同理可得2x

5、2+y2-8=0,所以直线AB的方程为2x+y-8=0.7.(2023贵州遵义高三检测)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k=()A.ln 2B.-ln 2C.2D.-2答案:C解析:设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为(x1,ex1+2),(x2,ex2+1),则切线方程分别为y-(ex1+2)=ex1(x-x1),y-ex2+1=ex2+1(x-x2),化简得,y=ex1x+ex1+2-x1ex1,y=ex2+1x-x2ex2+1+ex2+1,依题意上述两直线与y=kx+b是同一条直线,所以ex1=ex2+1,ex1+2-x1ex1

6、=-x2ex2+1+ex2+1,解得x1=ln2,所以k=ex1=eln2=2.8.(2023湖南衡阳高三检测)写出过点(2,1)与曲线y=x3+1相切的一条直线的方程:.答案:y=1或27x-y-53=0(写出其中一条即可)解析:设切点为(x0,x03+1),因为y|x=x0=3x02,所以切线方程为y-(x03+1)=3x02(x-x0),将点(2,1)代入得2x03-6x02=0,解得x0=0或x0=3.当x0=0时,切线方程为y=1;当x0=3时,切线方程为27x-y-53=0.9.(2023吉林长春高三检测)曲线f(x)=(x+1)ex+ln x在(1,a)处的切线与直线bx-y+2

7、=0平行,则b-a=.答案:e+1解析:由题意,函数f(x)=(x+1)ex+lnx,可得f(x)=(x+2)ex+1x,可得f(1)=3e+1,f(1)=2e,因为曲线y=f(x)在(1,a)处的切线与直线bx-y+2=0平行,可得b=f(1)=3e+1,a=f(1)=2e,所以b-a=e+1.10.(2022山东威海三模)已知曲线C1:y=ex+x,C2:y=-x2+2x+a(a0),若有且只有一条直线同时与C1,C2都相切,则a=.答案:1解析:设l与C1相切于P(x1,ex1+x1),与C2相切于点Q(x2,-x22+2x2+a),由C1:y=ex+x,得y=ex+1,则与C1相切于点

8、P的切线方程为y-ex1-x1=(ex1+1)(x-x1),即y=x(1+ex1)-x1ex1+ex1,由C2:y=-x2+2x+a,y=-2x+2,则与C2相切于点P的切线方程为y+x22-2x2-a=(-2x2+2)(x-x2),即y=-2x2x+x22+2x+a,即y=x(2-2x2)+a+x22,因为两切线重合,所以,1+ex1=2-2x2,ex1-x1ex1=a+x22,由得x2=1-ex12,代入得,4(1-x1)ex1=4a+1-2ex1+e2x1,化简得,e2x1-6ex1+4x1ex1=-1-4a,明显可见,x1=0,a=1时等式成立.综合提升组11.(2023河南郑州模拟)

9、已知f(x)=2x3+(a-2)x2-3x是奇函数,则过点P(-1,2)向曲线y=f(x)可作的切线条数是()A.1B.2C.3D.不确定答案:C解析:因为函数f(x)是奇函数,则由f(-x)+f(x)=0得2(a-2)x2=0恒成立,则a=2,即有f(x)=2x3-3x,f(x)=6x2-3,设过点P(-1,2)向曲线y=f(x)所作切线与曲线y=f(x)相切的切点为Q(x0,2x03-3x0),而点P(-1,2)不在曲线y=f(x)上,则6x02-3=2x03-3x0-2x0+1,整理得4x03+6x02-1=0,即(2x0+1)(2x02+2x0-1)=0,解得x0=-12或x0=-13

10、2,即符合条件的切点有3个,所以过点P(-1,2)向曲线y=f(x)可作的切线条数是3.12.(2023湖南长沙明德中学高三检测)已知函数f(x)的解析式唯一,且满足xf(x)+f(x)=ex,f(1)=2e,则函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为.答案:y=-ex+3e解析:由xf(x)+f(x)=xf(x),可得xf(x)=ex,设xf(x)=ex+m,又由f(1)=2e,有f(1)=e+m=2e,得m=e,可得f(x)=ex+ex,f(x)=xex-(ex+e)x2=(x-1)ex-ex2,f(1)=-e,故所求切线方程为y-2e=-e(x-1),整理为y=-ex+3e.1

11、3.(2022山东泰安三模)从抛物线x2=2y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA,PB,且A,B为切点,若直线AB的倾斜角为3,则P点的横坐标为.答案:3解析:抛物线x2=2y的准线l:y=-12,设A(x1,y1),B(x2,y2),Px0,-12,则kAB=y1-y2x1-x2=tan3=3,又y1=x122,y2=x222,kAB=x12-x222x1-x2=x1+x22=3,则x1+x2=23,由x2=2y,得y=x22,y=x,切线PA的方程为y-y1=x1(x-x1),切线PB的方程为y-y2=x2(x-x2),即切线PA的方程为y-x122=x1(x-x1),即x12-2x1

12、x+2y=0,切线PB的方程为y-x222=x2(x-x2),即x22-2x2x+2y=0,点Px0,-12在切线PA,PB上,x12-2x1x0-1=0,x22-2x2x0-1=0,可知x1,x2是方程x2-2x0x-1=0的两个根,x1+x2=2x0,得x0=3,即P点的横坐标为3.创新应用组14.(2022山东聊城二模)实数x1,x2,y1,y2满足:x12-ln x1-y1=0,x2-y2-4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为()A.0B.22C.42D.8答案:D解析:由x12-lnx1-y1=0,则y1=x12-lnx1,又x2-y2-4=0,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值转化为曲线y=x2-lnx(x0)上的点与直线x-y-4=0上的点的距离的平方的最小值,由y=x2-lnx,得y=2x-1x,与x-y-4=0平行的直线的斜率为1,2x-1x=1,解得x=1或x=-12(舍去),可得切点为(1,1),切点到直线x-y-4=0之间的距离的平方,即为(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为|-4|1+12=8.