2024年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第10讲导数中函数的构造问题.docx

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1、第10讲导数中函数的构造问题导数问题中已知某个含f(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题例1(1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为_答案(，4)(0,4)解析构造F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)，当x0时，f(x)xf(x)0，可以推出当x0时，F(x)0的解集为(，4)(0,4)(2)已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，2f(x)xf(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析构造F(x)，则F(x)，当x0时，xf(x)

2、2f(x)0时，F(x)0的解集为(1,0)(0,1)例2(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)恒成立，若x1f(x1)Bf(x2)0，所以g(x)在R上单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即f(x1)(2)已知定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)fBf(1)fD.f0，g(x)为增函数，gg，即，ff(x)，则以下判断正确的是()Af(2021)e2021f(0)Bf(2021)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在R上单调递减，g(2021)g(0)，f(2021)e2021f(0)故选B.2已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f(x)满

3、足x1，则下列结论正确的是()A对于任意xR，f(x)0C当且仅当x(，1)时，f(x)0答案B解析因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以f(x)0.因为xf(x)，所以f(x)(x1)f(x)0，构造函数g(x)(x1)f(x)，则g(x)f(x)(x1)f(x)0，所以函数g(x)在R上单调递增，又g(1)(11)f(1)0，所以当x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，所以f(x)0.因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(1)0.综上，对于任意xR，f(x)0，故选B.3设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)0，当x0恒成立，则不等式f(x)0的解集为_答案(，1)(1，)

4、解析构造F(x)，则F(x)，当x0，可以推出当x0，F(x)在(，0)上单调递增，f(x)为偶函数，F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递增，根据f(1)0可得F(1)0.根据函数图象(图略)可知f(x)0的解集为(，1)(1，)4设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2020)2f(x2020)4f(2)0的解集为_答案(，2022)解析由2f(x)xf(x)x2，x0，得2xf(x)x2f(x)x3，即x2f(x)x30，令F(x)x2f(x)，则当x0时，F(x)0，即F(2020x)F(2)又F(x)在(，0)上是减函数，所以2 020x2，即x2 022.