2024高考数学一轮复习小练21利用导数研究函数的零点.docx

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1、2024高考数学一轮复习小练(21)一、单项选择题1函数f(x)2xx32在区间(0，1)内的零点个数为()A0B1C2 D3答案B2若a，则方程ln xax0的实根有()A0个 B1个C2个 D无穷多个答案A3已知函数f(x)eax存在两个零点，则正数a的取值范围是()A. B.C. D.答案C二、解答题4(2021四川，理)已知函数f(x)ax3bx在x1处有极值2.(1)求a，b的值；(2)若x，函数g(x)mf(x)有零点，求实数m的取值范围答案(1)a1，b3(2)2，2解析(1)由题意得f(x)3ax2b，因为函数f(x)在x1处有极值2，可得解得a1，b3，所以函数f(x)x33

2、x，此时f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；当1x0，f(x)单调递增所以当x1时，函数取得极大值2，符合题意综上，a1，b3.(2)当x时，函数g(x)mf(x)有零点，即x时，函数g(x)0有根，即x时，函数ym与yf(x)的图象有交点，又由(1)知，当x2，1时，函数f(x)单调递减；当x时，函数f(x)单调递增，所以在上，当x1时，函数f(x)取得最小值为f(1)2，又由f(2)2，f，可得f(2)f，所以函数的最大值为2，即在上，函数f(x)的值域为2，2，要使得函数ym与yf(x)的图象在此区间上有交点，可得2m2，即实数m的取值范围是2，2

3、5(2021东北四校联考)已知f(x)3，F(x)ln x3x2.(1)判断f(x)在(0，)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，)上零点的个数答案(1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)3个解析(1)f(x)，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)3f(x)(x0)，由(1)得f(x)minf(1)1，当x0时，f(x)，当x时，f(x)，所以x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，)上大于0，即F(x)在(0，x1)上

4、单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，当x0时，F(x)，当x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如图所示故F(x)在(0，)上的零点有3个6(2021全国甲卷)已知a0且a1，函数f(x)(x0)(1)当a2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围答案(1)f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)(1，e)(e，)解析(1)当a2时，f(x)(x0)，f(x)(x0)，令f(x)0，得0x，此时函数f(x)单调递增，令f(x)，此时函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)曲线yf(x)与直线y1有且仅有两个交点，可转化为方程1，即xaax(x0)有两个不同的解，即方程有两个不同的解设g(x)(x0)，则g(x)(x0)，令g(x)0，得xe，当0x0，函数g(x)单调递增，当xe时，g(x)e时，g(x)，所以0，即g(1)g(a)g(e)，结合g(x)的单调性可知1ae，即a的取值范围为(1，e)(e，)