2024版高考数学一轮复习第四章一元函数的导数及其应用解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点.docx

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1、解答题专项一函数与导数中的综合问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项练1.(2022广东广州一模)已知函数f(x)=ex+sin x-cos x,f(x)为f(x)的导数.(1)证明:当x0时,f(x)2;(2)设g(x)=f(x)-2x-1,证明:g(x)有且仅有2个零点.证明:(1)由f(x)=ex+cosx+sinx,设h(x)=ex+cosx+sinx,则h(x)=ex-sinx+cosx,当x0时,设p(x)=ex-x-1,q(x)=x-sinx,p(x)=ex-10,q(x)=1-cosx0,p(x)和q(x)在0,+)上单调递增,p(x)p(0)=0,q(x)q(0)=0,

2、当x0时,exx+1,xsinx,则h(x)=ex-sinx+cosxx+1-sinx+cosx=(x-sinx)+(1+cosx)0,函数h(x)=ex+cosx+sinx在0,+)上单调递增,h(x)h(0)=2,即当x0时,f(x)2.(2)由已知得g(x)=ex+sinx-cosx-2x-1,当x0时,g(x)=ex+cosx+sinx-2=f(x)-20,g(x)在0,+)上单调递增,又g(0)=-10,由零点存在定理可知g(x)在0,+)上仅有一个零点.当xm(0)=1,ex+cosx+sinx-20,g(x)=ex+cosx+sinx-20,g(x)在(-,0)上单调递减.又g(

3、0)=-10,由零点存在定理可知g(x)在(-,0)上仅有一个零点.综上所述,g(x)有且仅有2个零点.2.(2023天津南开中学高三检测)设函数f(x)=aexa-1-ln x-1,其中a0.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)证明:f(x)有唯一极值点x0,且f(x0)0.(1)解:当a=1时,f(x)=ex-1-lnx-1,定义域为(0,+),则f(x)=ex-1-1x,令g(x)=f(x),则g(x)=ex-1+1x20,所以f(x)在(0,+)上单调递增.又f(1)=0,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,所以f(x)在区间(1,+)上单调递增.综上,f(x)在(0,1)

4、上单调递减,在(1,+)上单调递增.(2)证明:由题意,f(x)=exa-11x,令p(x)=f(x),则p(x)=1aexa-1+1x20,则f(x)在(0,+)上单调递增,至多有一个零点.令(x)=lnx-x+1,其中x0,则(x)=1x-1=1-xx,当x(0,1)时,(x)0,(x)单调递增;当x(1,+)时,(x)0,(x)单调递减,所以(x)(1)=0,即lnx-x+10,于是lnxx-1,令f(x)=0,则xexa=e,两边取自然对数可得lnx+xa=1,令h(x)=lnx+xa-1,则h(x)在(0,+)上单调递增.故haa+1=lnaa+1+1a+1-1aa+1-1+1a+1

5、-1=-10,所以h(x)在(0,+)上有唯一零点x0,则f(x)有唯一零点x0,即f(x)有唯一极值点x0.下证f(x0)0:因为f(x0)=ex0a-11x0=0,所以ex0a-1=1x0,可得x0a-1=ln1x0=-lnx0,所以f(x0)=aex0a-1-lnx0-1=ax0+x0a-1-12ax0x0a-2=0,当且仅当x0=a时等号成立.综上,f(x)有唯一极值点x0且f(x0)0,得证.3.(2023湖南郴州高三期末)已知函数f(x)=x2-aln x(aR).(1)讨论函数f(x)的零点个数;(2)若函数f(x)存在两个不同的零点x1,x2,证明:x1x2e.(1)解:(方法

6、1)因为f(x)=2x-ax=2x2-ax(x0),当a0时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,()当a=0时,函数f(x)在(0,+)上无零点;()当a0,所以f(x)在(0,+)只有一个零点;当a0时,函数f(x)在区间0,a2上单调递减,在区间a2,+上单调递增(注意x0时,f(x)+,x+时,f(x)+).所以f(x)fa2=a2-alna2=a21-lna2,()当fa20,即0a2e时,f(x)无零点;()当fa2=0,即a=2e时,f(x)只有一个零点;()当fa22e时,f(x)有两个零点.综上所述,当a0或a=2e时,f(x)只有一个零点;当0a2e时,f(

7、x)有两个零点.(方法2)当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+)上无零点;当a0时,由f(x)=01a=lnxx2,令g(x)=lnxx2,则g(x)=1-2lnxx3(x0),由g(x)=1-2lnxx3=0x=e,则x(0,e)时,g(x)单调递增,x(e,+)时,g(x)单调递减,则g(x)g(e)=12e,作出简图,由图可知:(注意:x0时,g(x)-,x+时,g(x)0)当1a0或1a=2e,即a0或a=2e时,1a=lnxx2只有一个根,即f(x)在(0,+)只有一个零点;当01a2e时,1a=lnxx2有两个根,即f(x)在(0,+)有两个零点;当1a12e,即0a2e时,1

8、a=lnxx2无实根,即f(x)在(0,+)无零点.综上所述,当a0或a=2e时,f(x)只有一个零点;当0a2e时,f(x)有两个零点.(2)证明:由(1)可知a2e时,f(x)有两个零点,设两个零点分别为x1,x2,且x2x10,由f(x1)=f(x2)=0x12-alnx1=0,x22-alnx2=0,即x12=alnx1,x22=alnx2,所以x12+x22=a(lnx1+lnx2),x22x12=a(lnx2-lnx1),即lnx2+lnx1=lnx2-lnx1x22-x12(x12+x22),要证明x1x2e,即证lnx1+lnx21,需证lnx2-lnx1x22-x12(x12

9、+x22)1,即证lnx2-lnx1x22-x12x22+x12,即证lnx2x1(x2x1)2-1(x2x1)2+10,设x2x1=x,则x1,即证lnx-x2-1x2+10,即证lnx+2x2+1-10.令h(x)=lnx+2x2+1-1(x1),则h(x)=1x4x(x2+1)2=(x2+1)2-4x2x(x2+1)2=(x2-1)2x(x2+1)20,故函数h(x)在(1,+)上单调递增,所以h(x)h(1)=0,即有lnx+2x2+1-10,所以x1x2e.4.(2022广东深圳一模)已知函数f(x)=2ln x-(a+1)x2-2ax+1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(

10、2)若函数f(x)有两个零点x1,x2.求实数a的取值范围;求证:x1+x221a+1.解:(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-2(a+1)x-2a=-2(x+1)(a+1)x-1x,当a-1时,有f(x)0恒成立,函数f(x)的单调递增区间是(0,+),无单调递减区间;当a-1时,由f(x)0,解得x0,1a+1,由f(x)-1时,函数f(x)的单调递增区间为0,1a+1,单调递减区间是1a+1,+.(2)由(1)知:当a-1时,f(x)在(0,+)上单调递增,函数f(x)不可能有两个零点;当a-1时,因为f(x)在0,1a+1上单调递增,在1a+1,+上单调递减,且当x0+

11、,f(x)-,当x+,f(x)-.因此,要使函数f(x)有两个零点,只需f1a+10,即2ln1a+1-(a+1)1a+12-2a1a+1+10,化简,得2ln(a+1)+aa+1-1),因为g(x)=2x+1+1(x+1)20,所以函数g(x)在(-1,+)上单调递增,又g(0)=0,故不等式2ln(a+1)+aa+10的解为a(-1,0),因此,实数a的取值范围是(-1,0).证明:因为-1a1,2a+121a+1,下面证明x1+x22a+1,根据(1)的结果,不妨设0x11a+12a+1-x2,因为f(x)在0,1a+1上单调递增,且x10,1a+1,2a+1-x20,1a+1,于是只需

12、证明f(x1)f2a+1-x2,因为f(x1)=f(x2),所以即证f(x2)-f2a+1-x20,记F(x)=f(x)-f2a+1-x,x1a+1,+,F(x)=f(x)+f2a+1-x=2x+22a+1-x-4(a+1)=4(a+1)x(2a+1-x)-4(a+1)4(a+1)(1a+1)2-4(a+1)=0,所以F(x)在1a+1,+上单调递增,则F(x)F1a+1=0,即证得x1+x22a+121a+1,原命题得证.5.设函数f(x)=aex+sin x-3x-2,e为自然对数的底数,aR.(1)若a0,求证:函数f(x)有唯一的零点;(2)若函数f(x)有唯一的零点,求a的取值范围.

13、(1)证明:当a0时,f(x)=aex+cosx-30恒成立,所以f(x)单调递减,又f(0)=a-2aea3-1-3a3-1-3=aea3-1-a0,所以存在唯一的x0a3-1,0,使得f(x0)=0,命题得证.(2)解:由(1)知,a0符合题意.()当a=2时,由f(x)=2ex+sinx-3x-2,得f(x)=2ex+cosx-3.当x0时,f(x)2ex-20时,设h(x)=f(x),则h(x)=2ex-sinx2ex-10,所以f(x)在(0,+)上单调递增,从而,当x0时,f(x)f(0)=0,所以f(x)单调递增,于是f(x)f(0)=0,当且仅当x=0时取等号,故此时f(x)有

14、唯一的零点x=0.()当a2时,f(x)2ex+sinx-3x-20,此时f(x)无零点;()当0ax22.设g(x)=ex-x22,x0,则g(x)=ex-x,设p(x)=g(x),则p(x)=ex-10,所以g(x)在0,+)上单调递增,故g(x)g(0)=10,所以g(x)在0,+)上单调递增,因此g(x)g(0)=10,即当x0时,exx22.当x0时,f(x)aex-3x-3a2x2-3x-3,令a2x2-3x-3=0,得x=39+6aa.取x0=3+9+6aa0,则f(x0)0.又f(0)=a-20,因此,当0a0-6x0x0,f(x)0,f(x)在(-,0)内单调递增,在(0,+

15、)内单调递减,若a0,则f(x)0x2a,f(x)00x2a,f(x)在(-,0)内单调递增,在0,2a内单调递减,在2a,+内单调递增,若a02ax0,f(x)0x0,f(x)在-,2a内单调递减,在2a,0内单调递增,在(0,+)内单调递减.(2)可知f(x)要有三个零点,则a0,且f(0)f2a0,由题意,即f(0)f2a0的解集就是(-3,-2)(-2,0)(0,1),也就是关于a的不等式(a+b)a+b-4a20(a+b)(a3+ba2-4)a20的解集就是(-3,-2)(-2,0)(0,1),令h(a)=(a+b)(a3+ba2-4)a2,h(1)=(b+1)(1+b-4)=(b+1)(b-3)=0,所以有b=-1或b=3,当b=3时,h(a)=(a+3)(a3+3a2-4)a20(a+3)(a3-a2+4a2-4)a20,(a+3)(a-1)(a2+4a+4)a20的解是(-3,-2)(-2,0)(0,1),满足条件,当b=-1时,h(a)=(a-1)(a3-a2-4)a20,不满足条件,故b-1,综合上述b=3.