2024版高考数学一轮复习第九章平面解析几何解答题专项五第3课时证明与探究问题.docx

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1、解答题专项五圆锥曲线中的综合问题第3课时证明与探究问题解答题专项练1.(2022江苏南京、盐城二模)双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)经过点(3,1),且渐近线方程为y=x.(1)求a,b的值;(2)点A,B,D是双曲线C上不同的三点,且B,D两点关于y轴对称,ABD的外接圆经过原点O.求证:直线AB与圆x2+y2=1相切.(1)解:由题意可得3a2-1b2=1,a=b,解得a=b=2,则C:x2-y2=2.(2)证明:易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+n,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(-x2,y2),y1y2,联立x2-y2=2,x=my+n,整理得

2、(m2-1)y2+2mny+n2-2=0,则y1y2=n2-2m2-1.由于外接圆过原点且关于y轴对称,故可设为x2+y2+Ey=0,则x12+y12+Ey1=0,x22+y22+Ey2=0,则y2(x12+y12)=y1(x22+y22),y2(2y12+2)=y1(2y22+2),则y1y2=1,所以y1y2=n2-2m2-1=1,n2=m2+1.则原点到直线AB的距离d=|n|m2+1=1,故直线AB与圆x2+y2=1相切,得证.2.(2022河北秦皇岛三模)已知抛物线C:y2=2px(p0)上的点M与焦点F之间的距离为9,点M到x轴的距离为4p.(1)求抛物线C的方程;(2)经过点F的

3、直线与抛物线C交于A,B两点,E为直线x=-1上任意一点,证明:直线EA,EF,EB的斜率成等差数列.(1)解:设点M(x0,y0),由题意可知|y0|=4p,所以(4p)2=2px0,解得x0=8.因为|MF|=x0+p2=8+p2=9,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明:设直线AB的方程为x=my+1,Ay124,y1,By224,y2,联立y2=4x,x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.设E(-1,n),则kEA+kEB=y1-ny124+1+y2-ny224+1=y1y24(y1+y2)+(y1+y2)-n(y124+y

4、224)-2n(y124+1)(y224+1)=-n(y124+y224+2)y124+y224+2=-n.又因为kEF=-n2,所以kEA+kEB=2kEF,即直线EA,EF,EB的斜率成等差数列.3.在平面直角坐标系Oxy中,动圆Q过点(0,1)且与直线y=-1相切,动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)直线l:y=kx+a(a0)交曲线C于M,N两点.y轴上是否存在一点P,使得当k变动时,都有OPM=OPN?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设动圆圆心Q(x,y),则点Q到定点(0,1)的距离等于到直线y=-1的距离,圆心Q的轨迹为抛物线x2=4y,

5、曲线C的方程为x2=4y.(2)存在.设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.联立y=kx+a,x2=4y,得x2-4kx-4a=0.=16k2+16a0,x1+x2=4k,x1x2=-4a.k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,k1+k2=0,直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,OPM=OPN,存在点P(0,-a),使得OPM=OPN.4.双曲线C2:x2a2y2b2=1(a0,b0)的顶点与椭圆C1:x23+y2=1长轴的两个端点重合,且一条渐

6、近线的方程为y=33x.(1)求双曲线C2的方程;(2)过双曲线C2右焦点F作直线l1与C2分别交于左右两支上的点P,Q,又过原点O作直线l2,使l2l1,且与双曲线C2分别交于左右两支上的点M,N.是否存在定值,使得|MN|MN=PQ?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解:(1)椭圆C1:x23+y2=1,a=3.又双曲线的一条渐近线方程为y=33x,ba=33,b=1,双曲线C2的方程为x23-y2=1.(2)存在定值,使得|MN|MN=PQ.MN与PQ同向,=|MN|2|PQ|.由题可知,直线l1,l2斜率存在.当直线斜率为零时,|MN|=|PQ|=23,=23.当直线斜率不为零时,

7、设l1:x=ty+2.联立x=ty+2,x2-3y2=3,得(t2-3)y2+4ty+1=0.t2-30,=16t2-4(t2-3)0,t3,y1+y2=-4tt2-3,y1y2=1t2-3,l1与l2分别交于左右两支上的点P,Q,x1x20.(ty1+2)(ty2+2)0,t3或t-3.|PQ|=1+t2(y1+y2)2-4y1y2=1+t2-4tt2-32-4t2-3=23(t2+1)t2-3.l2l1,l2:x=ty.联立x=ty,x2-3y2=3,得(t2-3)y2=3,y2=3t2-3,|MN|2=(1+t2|y-(-y)|)2=(1+t2)4y2=12(1+t2)t2-3,=|MN|2|PQ|=23,存在定值=23,使得|MN|MN=PQ.