2024版高考数学一轮复习第九章平面解析几何解答题专项五第2课时最值与范围问题.docx
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1、解答题专项五圆锥曲线中的综合问题第2课时最值与范围问题解答题专项练1.设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点P(m,2)(m0)在抛物线C上,且满足|PF|=3.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点G(0,4)的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值.解:(1)由抛物线定义,得|PF|=2+p2=3,得p=2,抛物线C的标准方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+4,联立y=kx+4,x2=4y,得x2-4kx-16=0,0,x1+x2=4k,x1x2=-16.设A,B处
2、的切线斜率分别为k1,k2,由y=x24,得y=x2,则k1=x12,k2=x22,切线AQ的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2x124,同理,切线BQ的方程为y=x2x2x224.设Q(xQ,yQ),由得xQ=x1+x22=2k,代入中可得yQ=kx1-x124=y1-4-y1=-4,Q(2k,-4),即Q在定直线y=-4上.设点G关于直线y=-4的对称点为G,则G(0,-12).由(1)知P(22,2),|PQ|+|GQ|=|PQ|+|GQ|GP|=251,当P,Q,G三点共线时,等号成立.三角形PQG周长最小值为|GP|+|GP|=23+251.2.(2022广东茂名一模
3、)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且过点1,32.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1且互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于A,B两点和M,N两点,求|AB|+|MN|的取值范围.解:(1)由题意可得,c=1.又由a2=b2+1,1a2+94b2=1,得a=2,b=3,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)当l1垂直于x轴时,|AB|=2b2a=3,|MN|=2a=4,|AB|+|MN|=7.同理,当l2垂直于x轴时,|AB|+|MN|=7.当l1,l2均不垂直于x轴时,设l1的方程为y=k(x+1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y
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