2024版高考数学一轮复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练16利用导数研究函数的单调性.docx

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1、课时规范练16基础巩固组1.在下列区间中,函数f(x)=1+lnxx在以下哪个区间上单调递减()A.(0,1)B.(0,e)C.(1,e)D.1e,e答案:C解析:由于f(x)=(1+lnx)x-(1+lnx)(x)x2=-lnxx2,且当x(1,e)时,f(x)0)的单调递减区间是(0,4),则m=()A.3B.13C.2D.12答案:B解析:函数f(x)=mx3+3(m-1)x2-m2+1(m0),则导数f(x)=3mx2+6(m-1)x,令f(x)0,即3mx2+6(m-1)x0,f(x)的单调递减区间是(0,4),0,4是方程3mx2+6(m-1)x=0的两根,0+4=2(1-m)m,

2、04=0,m=13.3.已知函数f(x)=2x-log2x,则不等式f(x)0的解集是()A.(0,1)B.(-,2)C.(2,+)D.(0,2)答案:D解析:f(x)=2x-log2x的定义域为(0,+),因为在(0,+)上,f(x)=-2x21xln20的解集是(0,2).4.(2023重庆万州二中高三检测)已知函数f(x)=x33+ax22+ax+1存在三个单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,4)B.0,4C.(-,0)(4,+)D.(-,04,+)答案:C解析:函数f(x)=x33+ax22+ax+1,可得f(x)=x2+ax+a,因为函数f(x)存在三个单调区间,可得f(x)

3、有两个不相等的实数根,则满足=a2-4a0,解得a4,即实数a的取值范围是(-,0)(4,+).5.(2023广东广州模拟)已知函数y=f(x)的图象如图所示,f(x)是函数f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是()A.2f(2)f(4)-f(2)2f(4)B.2f(2)2f(2)f(4)-f(2)C.2f(2)2f(4)f(4)-f(2)D.f(4)-f(2)2f(4)2f(2)答案:A解析:由图可知,经过点(2,f(2)和点(4,f(4)的割线的斜率大于曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率,且小于曲线y=f(x)在点(4,f(4)处的切线斜率,即f(2)f(4)-f(2)4-2

4、f(4),所以2f(2)f(4)-f(2)2eB.ln 3eD.ln3ln0),f(x)=1x1e=e-xex,所以在区间(0,e)上,f(x)0,f(x)单调递增;在区间(e,+)上,f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(e)=lne-1=0,故f(x)0,当且仅当x=e时等号成立.即lnx-xe0,lnxxe,当且仅当x=e时等号成立.所以ln22e,lne,AC选项错误,ln30),g(x)=1-lnxx2,所以在区间(0,e)上,g(x)0,g(x)单调递增;在区间(e,+)上,g(x)g(),ln33lnln3ln3,D选项错误.故选ACD.7.(2023广东珠海高三

5、检测)已知函数f(x)=asin x+2cos x在区间-3,-4上单调递增,则a的取值范围为.答案:-2,+)解析:因为函数f(x)=asinx+2cosx在x-3,-4上单调递增,所以f(x)=acosx-2sinx0在区间-3,-4上恒成立,即a2tanx在x-3,-4上恒成立,由y=2tanx在-2,0上单调递增知,ymax=2tan-4=-2,所以a-2.8.(2023福建漳州高三检测)若函数f(x)=x33a2x2+4x+1在区间(1,4)上不单调,则实数a的取值范围是.答案:(4,5)解析:函数f(x)=x33a2x2+4x+1,f(x)=x2-ax+4.若函数f(x)在区间(1

6、,4)上不单调,则f(x)=x2-ax+4在(1,4)上存在变号零点,由x2-ax+4=0得a=x+4x,令g(x)=x+4x,x(1,4),g(x)=(x+2)(x-2)x2,g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,而g(2)=2+42=4,g(1)=1+41=5,g(4)=4+44=5,4a5.故a的取值范围是(4,5).9.已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-30时,f(x)0,则f(x)在(0,+)上单调递增;又f(1)=2-12=32,由2f(x)-30可得f(x)f(1),所以|x|1,解得-1x0,即ex-20,解得xln2;令f(x)0,即

7、ex-20,解得xbaB.bacC.abcD.acb答案:A解析:因为a=3132=1-132,构造函数h(x)=1-12x2-cosx,x0,2,则g(x)=h(x)=-x+sinx,g(x)=-1+cosx0,所以g(x)在0,2上单调递减,g(x)g(0)=0,即h(x)0,则h(x)在0,2上单调递减,所以h14=a-bh(0)=0,即ax,所以cb1,即bba.故选A.12.(2023河北石家庄高三检测)若函数f(x)=(x2+mx)ex在-12,1上存在单调递减区间,则m的取值范围是.答案:-,32解析:f(x)=(2x+m)ex+(x2+mx)ex=x2+(m+2)x+mex,则

8、原问题等价于f(x)0在-12,1上有解,即x2+(m+2)x+m0在-12,1上有解,即m-x2-2xx+1在-12,1上有解,设h(x)=-x2-2xx+1,x-12,1,因为h(x)=-x2-2xx+1=-(x+1)+1x+1,且h(x)=-(x+1)+1x+1在-12,1上单调递减,所以当x=-12时,h(x)max=-12+1+1-12+1=32,所以mf(s)+f(t).解:(1)由题得f(x)=exln(1+x)+ex11+x=exln(1+x)+11+x,故f(0)=e0ln(1+0)+11+0=1,f(0)=e0ln(1+0)=0,因此曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切

9、线方程为y=x.(2)由(1)知g(x)=f(x)=exln(1+x)+11+x,x0,+),则g(x)=exln(1+x)+21+x1(1+x)2=exln(1+x)+2x+1(1+x)2=exln(1+x)+11+x+x(1+x)2.由于x0,+),故ln(1+x)0,11+x0,x(1+x)20,所以对任意x0,+),g(x)0恒成立,故g(x)在0,+)上单调递增.(3)证明:设函数F(x)=f(x+t)-f(x)(x0),F(x)=f(x+t)-f(x)=g(x+t)-g(x).因为t0,所以x+tx0.因为g(x)在0,+)上单调递增,所以g(x+t)g(x),即g(x+t)-g(

10、x)0,F(x)0,所以F(x)在(0,+)上单调递增.又因为s0,所以F(s)F(0),即f(s+t)-f(s)f(t)-f(0).又f(0)=0,所以f(s+t)f(s)+f(t).创新应用组14.已知f(x)是奇函数,当x0时,f(x)-f(x)1,f(1)=3,则下列结论中不正确的是()A.f(4)ef(3)B.f(4)4e3-1C.f(-4)e2f(-2)D.f(-4)0时,f(x)-f(x)1,即f(x)-f(x)-10,则当x0时,有g(x)0,即g(x)在区间(0,+)上单调递增,依次分析选项:对于A,g(x)在区间(0,+)上单调递增,有g(4)g(3),即f(4)+1e4f

11、(3)+1e3,变形可得f(4)+1ef(3)+e,则有f(4)ef(3)+e-1ef(3),A正确;对于B,g(x)在区间(0,+)上单调递增,有g(4)g(1),即f(4)+1e4f(1)+1e1=4e,变形可得f(4)4e3-1,B正确;对于C,g(x)在区间(0,+)上单调递增,有g(4)g(2),即f(4)+1e4f(2)+1e2,变形可得f(4)+1e2f(2)+e2,又f(x)为奇函数,故-f(-4)+1-e2f(-2)+e2,则有f(-4)e2f(-2)+1-e24e3-1,即-f(-4)4e3-1,变形可得f(-4)1-4e3,而1-4e3-(-4e2-1)=2-4e3+4e2=2-4e2(e-1)0,则有f(-4)1-4e3-4e2-1,D正确.